La Poste de Diophantie vient de lancer 8 collections de timbres sur différents thèmes : art, animaux, littérature, mathématiques,etc... Dans la collection n° i il y a deux timbres de valeurs faciales entières ai et bi exprimées en centimes d’euro. Les valeurs faciales des 16 timbres ainsi émis sont toutes distinctes entre elles.
Je constate qu’avec les deux timbres de la collection n° i, je peux effectuer n’importe quel affranchissement dont la valeur entière en centimes d’euro est supérieure à un certain entier Ni
mais il m’est impossible de réaliser exactement l’affranchissement de Ni centimes d’euro.
Sachant que les Ni ( i=1 à 8) forment une suite croissante d’entiers impairs consécutifs ≤ 99, déterminer les valeurs faciales des 16 timbres selon les 8 collections.
Soient a et b les valeurs des deux timbres : si a et b sont premiers entre eux, et seulement dans ce cas, on peut obtenir toute valeur supérieure à ab-a-b=(a-1)(b-1)-1.
Les (ai -1)(bi -1) forment donc une suite de valeurs paires consécutives inférieures à 100.
Les ai etbi étant tous distincts, en supposant ai<bi, la plus grande de ces valeurs est au moins égale à 8*9=72. Toutes sont supérieures ou égales à 58, soit 22 valeurs possibles.
Les factorisations où a et b ne sont pas premiers entre eux doivent être éliminées, tels 2*32, 8*8, 2*35, 5*14, 2*38, 4*19, 2*41, 2*44, 8*11, 2*47, 4*24, 5*20 et 10*10.
Ainsi, 76, 82, 94 n’ont qu’une factorisation possible (1*x) , 58, 62, 74, et 86, en ont deux : (1*x, 2*y), 64, 68, 88, 92 et 100 au plus trois (1*x, 2*y, 4*z) : dans la suite de huit
nombres consécutifs, il ne peut y avoir plus de trois de ces nombres (en gras) : 58, 60, 62, 64, 66, 68, 70, 72, 74, 76, 78, 80, 82, 84, 86, 88, 90, 92, 94, 96, 98, 100 La seule suite admissible est celle allant de 66 à 80 : on trouve effectivement 66=6*11, 68=4*17, 70=7*10, 72=8*9, 74=2*37, 76=1*76, 78=3*26, 80=5*16, soit les couples (7,12), (5,18), (8,11), (9,10), (3,38), (2, 77), (4, 27), (6, 17).
