G267. Affranchissements en Diophantie
La Poste de Diophantie vient de lancer 8 collections de timbres sur différents thèmes : art, animaux, littérature, mathématiques, etc... Dans la collection n° i il y a deux timbres de valeurs faciales entières ai et bi exprimées en centimes d’euro. Les valeurs faciales des 16 timbres ainsi émis sont toutes distinctes entre elles.
Je constate qu’avec les deux timbres de la collection n° i, je peux effectuer n’importe quel affranchissement dont la valeur entière en centimes d’euro est supérieure à un certain entier Ni mais il m’est impossible de réaliser exactement l’affranchissement de Ni centimes
d’euro.
Sachant que les Ni ( i = 1 à 8) forment une suite croissante d’entiers impairs consécutifs ≤ 99, déterminer les valeurs faciales des 16 timbres selon les 8 collections.
Solution de Jean Nicot
Dans une collection avec les valeurs faciales a et b, on ne peut avoir a=1 car N doit exister. a et b ne peuvent avoir un facteur commun qui serait commun à toutes les valeurs réalisables. PGCD(a,b) =1. On peut alors supposer que a<b.
Les b progressions arithmétiques de raison a et débutant par 0, b, 2b,,.. ,(a-1)b recouvrent toutes les valeurs entières au-delà d’une valeur N qui est (a-1)b - a.
N = ab-a-b
Si a = 2, b est impair et N = b-2 . Toutes ces valeurs N sont de la forme 2p+1 Si a = 3, b est non multiple de 3 et N = 2b-3 Toutes ces valeurs de la forme 6p±1 Si a = 4, b est impair et N =3b-4 Toutes ces valeurs sont de la forme 6p+5
Un tableur permet d’obtenir les valeurs de N. Avec la limite de 99 , il suffit de a<11 et b<102
col b ligne a
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
3 1 -
4 - 5 -
5 3 7 11 -
6 - - - 19 -
7 5 11 17 23 29 -
8 - 13 - 27 - 41 -
9 7 - 23 31 - 47 55 -
10 - 17 - - - 53 - 71 -
11 9 19 29 39 49 59 69 79 89 -
12 - - - 43 - 65 - - - 109
13 11 23 35 47 59 71 83 95 107
14 - 25 - 51 - - - 103
15 13 - 41 - - 83 97
16 - 29 - 59 - 89 -
17 15 31 47 63 79 95 111
18 - - - 67 - 101
19 17 35 53 71 89
20 - 37 - - -
21 19 - 59 79 -
22 - 41 - 83 -
23 21 43 65 87 109
24 - - - 91
25 23 47 71 -
26 - 49 - 99
27 25 - 77 103
28 - 53 -
29 27 55 83
30 - - -
31 29 59 89
32 - 61 -
33 31 - 95
34 - 65 -
35 33 67 101
36 - - -
37 35 71
38 - 73
39 37 -
40 - 77
41 39 79
42 - -
43 41 83
44 - 85
45 43 -
46 - 89
47 45 91
48 - -
49 47 95
50 - 97
51 49 -
52 - 101
53 51
2p+1 2p-1
101 99
Quelques essais permettent de déterminer les valeurs distinctes de a et b pour la plage N=65 à 79 N Valeurs possibles pour a et b
79 2_81 3_41 6_17 9_11
77 2_78 3_40 4_27
75 2_77
73 2_75 3_38
71 2_73 3_37 5_19 7_13 9_10
69 2_71 8_11
67 2_69 3_35 5_18
65 2_67 4_23 7_12
C’est-à-dire les 8 couples 2_77 , 3_38 , 4_27 , 5_18, 6_17, 7_12, 8_11, 9_10.
