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La Poste de Diophantie vient de lancer 8 collections de timbres sur différents thèmes : art, animaux, littérature, mathématiques,etc... Dans la collection n° i il y a deux timbres de valeurs faciales entières ai et bi exprimées en centimes d’euro . Les valeurs faciales des 16 timbres ainsi émis sont toutes distinctes entre elles.
Je constate qu’avec les deux timbres de la collection n° i, je peux effectuer n’importe quel affranchissement dont la valeur entière en centimes d’euro est supérieure à un certain entier Ni mais il m’est impossible de réaliser exactement l’affranchissement de Ni centimes d’euro.
Sachant que les Ni ( i = 1 à 8) forment une suite croissante d’entiers impairs consécutifs ≤ 99, déterminer les valeurs faciales des 16 timbres selon les 8 collections.
Si les ai et bi avaient un diviseur commun d>1, les affranchissements réalisables à partir de la collection i seraient tous multiples de d. Donc ai et bi sont premiers entre eux.
Le nombre N = ab – a – b est il de la forme ua + vb avec u ≥ 0 et v ≥ 0 ? ab – a – b = ua + vb implique (v+1)b≡0 mod a et (u+1)a ≡0 mod b puis v+1≡0 mod a, et u+1≡0 mod b car a et b sont premiers entre eux,
avec u ≥ 0 et v ≥ 0 , cela donne v ≥ a – 1 et u ≥ b – 1 puis ua+vb ≥ (b – 1)a + (a – 1)b = 2ab – a – b d'où ua+vb ≥ N + ab.
Conclusion : l'affranchissement ab – a – b n'est pas réalisable avec les timbres de valeurs faciales a et b où a et b sont premiers entre eux.
Supposons maintenant a < b. Modulo a tout entier X appartient à l'une des classes 0, 1, 2, 3, …. , (a-1) ou encore 0, b, 2b, 3b, …. , (a – 1)b .
Soit X > ab – a – b et v, 0 ≤ v ≤ a – 1 , tel que X ≡ vb mod a.
0 ≤ vb ≤ (a – 1 )b, – vb ≥ (1 – a)b d'où X – vb > – a .
X – vb est un multiple de a, strictement supérieur à – a, donc il existe u ≥ 0 tel que X – vb = ua.
Donc pour tout entier X, strictement supérieur à ab – a – b , il existe 0 ≤ v ≤ a – 1 et u ≥ 0 tels que X = ua + vb.
Désormais on sait que Ni = aibi – ai – bi ou encore Ni + 1 = (ai – 1)(bi – 1).
Inversement, pour N donné, on peut chercher les diviseurs de N + 1, et pour chaque couple (A,B) tel que N + 1 = AB, conserver les couples (a,b) définis par a = A + 1 et b = B + 1 sous réserve qu'ils soient premiers entre eux. (a<b).
Après un inventaire complet des couples (a,b) associés aux N compris entre 5 et 99, il apparaît de nombreuses valeurs de N pour lesquelles on a exclusivement a = 2 ou 3 ou 5.
Appelons les « les nombres N' ». Selon le principe des tiroirs, il faut trouver 8 nombres N, impairs et consécutifs parmi lesquels il y a au plus 3 nombres tels que N'.
Plusieurs intervalles ont cette propriété : [41,55],[47,61], [65,79].
Mais les deux premiers ne conviennent pas car ils contiennent plus de 5 valeurs de N pour lesquelles on a exclusivement a= 2 ou 3,ou 4,ou 5, ou 7.
L'intervalle [65,79] convient :
79 (2,81) (3,41) (5,21) (6,17) (9,11)
77 (2,79) (3,40) (4,27)
N'=75 Un seul couple (2, 77)
N'=73 (2, 75) (3, 38)
71 (2,73) (3,37) (4, 25) (5,19) (7,13) (9,10)
69 (2,71) (8,11)
N'=67 (2,69) (3,35) (5,18)
65 (2,67) (3,34) (4,23) (7,12)
(suite en page 2) Les valeurs faciales des 16 timbres ainsi émis sont
N 65 67 69 71 73 75 77 79
a 7 5 8 9 3 2 4 6
b 12 18 11 10 38 17 27 17
