G267. Affranchissements en Diophantie

G267. Affranchissements en Diophantie

Toute combinaison linéaire des entiers a > b > 0 sera un multiple de d = gcd (a, b). Sid >1, alorsNplus grand entier irréalisable n’existerait pas puisque tous les entiers congrus à 1 modulodseraient irréalisables. De plus, si b = 1, tous les entiers seront réalisables. D’oùd= 1 eta > b>2.

Montrons alors queN=ab−a−b.

En effet, s’il existait 2 entiers x et y tels que ax +by = ab−a−b, alors a | y+ 1 et b | x+ 1, d’où y + 1 > a et x+ 1 > b. Nous aurions alors ab=a(x+ 1) +b(y+ 1)>2ab, d’où la contradiction.

Soit à présent un entiern > N. Par l’identité de Bézout, il existe 2 entiersxet ytels queax+by=n. Nous pouvons supposer 06x6b−1 quitte à remplacer xparx−kbetypary+ka. Alorsn6a(b−1) +by < n+b(y+ 1), d’oùy>0.

Les valeurs Ni = (ai−1) (bi−1)−1 forment une suite croissante d’entiers impairs consécutifs6 99 : parmi ai ou bi, au moins un est impair, et l’écart maxN_i−minN_i= 14 .

Ordonnons la suite desb_i, de sorte que 26b₁<· · ·< b₈< a₈. Alors 99>N₈>

(b₈−1)²−1. D’où b₈ = 9 ou 10. Construisons le tableau suivant à l’aide de l’encadrement 71 = (10−1) (9−1)−16(a_i−1) (b_i−1)−1699, les valeurs acceptablesa_iétant celles sans diviseur commun avec b_i.

bi a^min_i a^max_i ai(Ni) acceptables

6 13 21 13 (59), 17 (79), 19 (89)

7 11 17 11 (59), 12 (65), 13 (71), 15 (83), 16 (89), 17 (95)

8 10 15 11 (69), 13 (83), 15 (97)

9 9 13 10 (71), 11 (79), 13 (95)

10 8 12 11 (89)

Casb₈= 9, alorsbi=i+ 1 pour touti= 1 à 8

• a8= 10 – a7= 11

∗ a₆= 12

· a5 = 13 ; mais 57 6 (a3−1) (b3−1)−1 6 73 entraîne a3 = 21⇒ N3 = N5 = 59, a3 = 23 ⇒ N3 = N6 = 65 ou a3= 25⇒N3=N8= 71

· a5 = 17, d’où la solution a4 = 18 et N4 = 67, a3 = 27 et N₃= 77,a₂= 38 etN₂= 73,a₁= 77 etN₁= 75.

∗ a6= 15 ;a5= 17 ; mais 696(a4−1) (b4−1)−1683 entraîne a4= 19⇒N4=N8= 71 ou a4= 21⇒N4=N5= 79

– a₇= 13 ;a₆= 15⇒N₆=N₇= 83

• a8 = 11 ; a7 = 13 ; a6 = 16 ; a5 = 17 ⇒ N5 =N8 = 79 et a5 = 19⇒ N5=N6= 89

1

• a8 = 13 ; a7 = 15 ; a5 = 19 ; a6 = 16 ⇒ N6 =N5 = 89 et a6 = 17⇒ N6=N8= 95

Casb8= 10 ; parmi les 2 valeursbi= 6 ou 9, une seule sera présente car l’écart entre lesNi vaut 95−79>14; nous auronsai = 17 en regard de bi = 7 pour éviter une répétition (cfb_i+1= 8) ; mais alors, nous aboutissons à une répétition dea₅=a₆= 17 ou deN₇=N₅= 95.

b_i a_i(N_i) acceptables

6 17 (79)

7 15 (83), 17 (95) 8 13 (83), 15 (97)

9 13 (95)

Conclusion : les 8 collections sont (7,12), (5,18), (8,11), (9,10), (3,38), (2,77), (4,27) et (6,17) formant la suite des entiers impairs consécutifs de 65 à 79.

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