A628. Les entiers séparables
Si l'entier n est séparable, avec a2 + b2 + c2 = n(n + 1)/2 – (a + b + c), on a aussi : a(a +1) + b(b + 1) + c(c + 1) = n(n + 1)/2
Chacun des termes de gauche est pair. Pour que n soit séparable, n(n + 1)/2 doit être pair, c'est-à-dire n = 4 k – 1 ou n = 4 k
Après vérification jusqu'à 2000, les seuls nombres pairs non réalisables par addition de termes en a(a + 1) sont : 4, 10, 16, 24, 46 et 66. Au delà de 2000, la couverture complète des nombres pairs s'étend de proche en proche.
Donc les entiers non séparables de type 4k-1 ou 4k dans l'intervalle [1..8] sont 4 (Σ=10) et 11 (Σ=66).
k = 1 n = 3: séparable 22 = 1 + 3 n = 4: pas de solution
k = 2 n = 7: séparable 12 + 22 + 42 = 3 + 5 + 6 + 7 n = 8: séparable 22 + 52 = 1 + 3 + 4 + 6 + 7 + 8 k = 3 n = 11: pas de solution
n = 12: séparable 22 + 82 = 1 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 9 .. 12
A partir de k = 4, tous les nombres en 4k–1 ou 4k sont séparables, et de plusieurs façons.
k = 4 n = 15: 52 + 92 = 120 – (5 + 9)
n = 15: 22 + 62 + 82 = 120 - (2 + 6 + 8) n = 16: 22 + 42 + 102 = 136 – (2 + 4 + 10) n = 16: 1 + 22 + 72 + 82 = 136 – (1 + 2 + 7 + 8)
n = 16: 1 + 22 + 52 + 62 + 72 = 136 – (1 + 2 + 5 + 6 + 7) n = 16: 22 + 32 + 42 + 62 + 72 = 136 - (2 + 3 + 4 +6 + 7)
