A461. Factorielles en Diophantie
La factorielle d'un entier x quelconque ≥ 1 est désignée par x ! = 1*2*....*(x ‒ 1)*x Q1 Déterminer sept entiers strictement positifs a, b, c, d, e, f et n qui satisfont les cinq équations:
n! + a² = b², (n + 1)! + b² = c² , n! + c² = d², (n + 1)! + d² = e² et (n+1)! + e² = f².
Q2 Démontrer que pour tout entier n > 4, il existe un entier k indépendant de n tel que:
n!/(n - k)! + 1 est un carré parfait.
En déduire qu'il existe trois entiers a, b et c dont l'écriture utilise des chiffres tous distincts tels que a!/b! + 1 = c²
Nota: les deux questions sont indépendantes Solution proposée par Daniel Collignon Q1 :
L'équation (x-y)(x+y)=n! admet pour solution x = (d+n!/d)/2
y = (n!/d-d)/2
où d est un diviseur de n! de sorte que n!/d ait même parité que d
Les cas n = 1, 2 et 3 étant évacués, on peut se concentrer sur d diviseur pair de n! tel que n!/d soit pair.
Assez rapidement nous trouvons une séquence a=1, b=11, c=29, d=31, e=41, f=49 et n=5 puisque :
5!+1^2=11^2 6!+11^2=29^2 5!+29^2=31^2 6!+31^2=41^2 6!+41^2=49^2
Q2 : k=4 puisque n(n-1)(n-2)(n-3)+1 = n^4-6n^3+11n^2-6n+1 = (n^2-3n+1)^2 la vérification sur le cas n=5 montre que ce k est unique
En utilisant ce qui précède, cherchons alors a=n, b=n-4 et c=n^2-3n+1.
a se termine alors par 0, 1, 2 ou 3 pour éviter que a et b aient en commun le même chiffre des dizaines
De plus, inutile d'aller au-delà de n>103 car 11 chiffres au moins seraient nécessaires pour écrire, a, b et c (répétition de chiffres d'après le principe des tiroirs).
Seul a=31, b=27 et c=869 convient (mais rien n'empêcherait une autre solution pour un k dépendant de n cette fois-ci).
