avec les chiffres et 2 : a

(1)

A136 – Comment approcher le nombre π=3,141592653589793238462….

Solution

Question n°1 : approximation de π avec les premiers chiffres successifs de ce nombre.

- avec le chiffre 3 : a = 3 ₁

- avec les chiffres 3 et 1 : a = 3*1 = 3 ₂

- avec les chiffres 3,1 et 4 : a = 3 + 1/4 = 3,25 ₃

- avec les chiffres 3,1,4 et 1 : a = 41 / 13 = 3,1538… Une bonne décimale. ₄

- avec les chiffres 3,1,4,1 et 5 : a = ₅ 31¹^/ ⁴^⁵ = 31¹^/³ = 3,14138…Trois bonnes décimales.

- avec les chiffres 3,1,4,1,5 et 9 : a = 311 / (95 + 4) = 311 / 99 = 3,141414… Trois ₆ bonnes décimales.

- avec les chiffres 3,1,4,1,5,9 et 2 : a = ₇ 4(19)/3 2(15) = 3,141533… Quatre bonnes décimales.

- avec les chiffres 3,1,4,1,5,9,2 et 6 : a = ₈ 2143/(5*619)  2143/22 = 3,1415926525… Huit bonnes décimales.

- avec les chiffres 3,1,4,1,5,9,2,6 et 5 : a = ₉ 2143/(5*569*1)  2143/22 = 3,1415926525… Huit bonnes décimales.

- avec les chiffres 3,1,4,1,5,9,2,6,5 et 3 : a = ₁₀ (359^⁶*2⁴)/113= 3,14159265392… Neuf bonnes décimales.

- avec les chiffres 3,1,4,1,5,9,2,6,5,3 et 5: a = 355 / 113 - ₁₁ (9*6-5*2)^-⁴ = 3,14159265355.. Dix bonnes décimales.

- ……

- avec les chiffres 3,1,4,1,5,9,2,6,5,3,5,8,9,7,9 et 3: a = ₁₆ 381 719/265 833

1)

* 9

* 5) - (9 345 719/(265

833   = 3,14159265358…. Onze bonnes

décimales.

- avec les chiffres 3,1,4,1,5,9,2,6,5,3,5,8,9,7,9,3 et 2: a = 263*7529 / 349*(1819 – 5 – 5 – ₁₇ 3) = 1 980 127 / 630 294 = 3,14159265358.. Onze bonnes décimales.

- ……

Question n°2 : approximation de π avec deux chiffres utilisés une fois et une seule ou deux fois chacun.

On a .9/ .1 = 3,141522… soit une approximation avec quatre bonnes décimales.

Par ailleurs 3*(3 5)/5(9 9*5)/5 = 3,14164078…. avec un écart par rapport à π <

10^5.

A noter que 3*(3 5)/5 s’exprime en fonction du carré du nombre d’or ( 51)/2sous la forme 3*(3 5)/5(6/5)*(( 51)/2)²

Question n°3 : représentation pan-digitale (avec tous les chiffres de 1 à 9) Il existe au moins trois expressions donnant de bonnes approximations :

(2)

- 3⁴19²/(7856)  2143/22 = 3,1415926525… Cette expression a déjà été utilisée dans la 1^ère question avec a₈et a₉ qui donnent huit bonnes décimales.

- 34/28-1/(7905/6)= 3,14159265392…. Neuf bonnes décimales.

- 3(1-(9-8^-⁵)^-⁶)/(72^⁴)= 3,141592653… Neuf bonnes décimales également.

Question n°4 : : approximation de π avec successivement les chiffres de 1 à 9

4-1 parenthèses permises mais nombres décimaux exclus, chiffre 0 permis.

On utilise les propriétés de la fraction 355/113 = 3,14159292… qui donne une excellente approximation deπ avec un écart inférieur à 2,7. 10^⁷ et a onc six décimales correctes. Il y a trois façons parmi d’autres d’exprimer cette fraction en utilisant les chiffres de 0 à 9 et en respectant les règles fixées. Luc Kumps a trouvé les deux premières. La seconde est remarquable car tous les chiffres de 9 à 0 sont utilisés dans l’ordre décroissant.

Solution n°1 : 3 + 4 / (5*( 6 – 7 / (1 + 2 + 8 + 9))) Solution n°2 : (9 + 8 / ( ( -7/6) + (5*4) ) )/3 + (2 + 1)*0 Solution n°3 : 85910 / 27436

Si la concaténation des chiffres est autorisée, on peut écrire : 3 + 67 / 485 + 1 / 290 = 3,14159260575… . L’écart est de 4,8.10^⁸ ou

9 / (62 – 4/107 + 8/5 ) + 3 = 3,141592660… L’écart est de 6,5. 10^⁹ ou encore mieux grâce à Nick Gardner :

3 + 1/7 – 6/ ( (9480/2) + 5) = 3,14159265392….. L’écart est de 3,3. 10^¹⁰

4-2 parenthèses et nombres décimaux permis.

- avec le chiffre 1 : b = 1 ₁

- avec les chiffres 1 et 2 : b = 1+2 = 3 ₂

- avec les chiffres 1,2 et 3 : b = (1/.3) – 2 = 3,13. Une bonne décimale. ₃

- avec les chiffres 1,2,3 et 4 : b = ₄ 4^.3/.21=3,1416855… Trois bonnes décimales.

- avec les chiffres 1,2,3,4 et 5 : b =₅ 3.2/(.4^.1.5)=3,14159858… Cinq bonnes décimales.

- avec les chiffres 1,2,3,4,5 et 6 : b = ₆ (46/3^.2^*^.1)^.5=3,1415926397…Sept bonnes décimales.

- avec les chiffres 1,2,3,4,5,6 et 7 : b = ₇ 31/(74⁶⁵^²) = 3,1415926945..Sept bonnes décimales.

- avec les chiffres 1,2,3,4,5,6,7 et 8 : b = ₈ 2⁵^.⁴ .6.1³⁸^/⁷ = 3,141592654105…Huit bonnes décimales.

- avec les chiffres 1 à 9 : b = ₉ 2⁵^.4 .6(.3^9/7)^.8^.1 = 3,1415926535904….Dix bonnes décimales. Ecart <6.60.10^¹³.