Voyage spatial en Diophantie
Problème G224 de Diophante
Dans la galaxie Diophantie, l’espace (à trois dimensions) est partagé par un certain nombre de plans tels que trois d’entre eux ont toujours un point commun mais quatre ou plus ne passent jamais par le même point. On dénombre 2164 régions
ouvertes sur l’infini. Calculer le nombre de polyèdres disjoints deux à deux (1) délimités par ces plans.
Pour les plus courageux : déterminer le nombre de plans partageant l’espace de Diophantie tel que le nombre de polyèdres disjoints deux à deux (1) délimités par ces plans est le plus grand carré parfait possible.
(1) un même polyèdre ne contient pas deux points séparés par un des plans. G224.
Solution
Le nombre 2164 de régions ouvertes sur l’infini, nous permet de savoir qu’il y a 47 plans en jeu.
En effet, n plans passant par l’origine partitionnent l’espace en n2 – n + 2 polyèdres infinis, dont les intérieurs sont disjoints.
Pour s’en convaincre, voici une représentation de n plans, qui découpent la sphère unité en Rn régions limitées par des grands cercles (en rouge). Un grand cercle (en noir), correspondant à un plan supplémentaire, rencontre les autres cercles en 2n points, auxquels correspondent 2n arcs, qui eux-mêmes dédoublent 2n régions, sur la shère.
Ainsi Rn+1 = Rn + 2n, avec R1 = 2. D’où : R2 = 4, R3 = 8, R4 = 14, R5 = 22, etc.
et la formule Rn = n2 – n + 2, qui donne 2164 = R47. Autre approche
Dimension 1 : sur une même droite, n points distincts délimitent 2 intervalles ouverts sur l’infini et n-1 intervalles fermés.
Dimension 2 : dans le plan, n droites distinctes, qui se coupent deux à deux et jamais par trois ou plus, délimitent 2n régions ouvertes sur l’infini et (n-1)(n-2)/2 régions fermées.
En effet, cette assertion vaut pour n = 1 et une n+1éme droite apporte deux régions ouvertes sur l’infini et n-1 régions fermées supplémentaires. D’où, par récurrence, le résultat énoncé.
Dimension 3 : dans l’espace, n plans distincts, tels que trois d’entre eux ont toujours un point commun mais quatre ou plus ne passent jamais par le même point, délimitent n2-n+2 régions ouvertes sur l’infini et (n-1)(n-2)(n-3)/6 régions fermées.
En effet, cette assertion vaut pour n = 1 et un n+1ème plan apporte 2n régions ouvertes sur l’infini et (n-1)(n-2)/2 régions fermées supplémentaires. D’où, par récurrence, le résultat énoncé.
Tous ces résultats peuvent être consignés dans un tableau, ou apparaît la réponse à la première question posée : 15 180.
Ci-dessous, chaque case orange contient la somme des contenus des cases vertes de la ligne au-dessus.
Droite Plan Espace
n ouvertes fermées ouvertes fermées ouvertes fermées
1 2 0 2 0 2 0
2 2 1 4 0 4 0
3 2 2 6 1 8 0
4 2 3 8 3 14 1
5 2 4 10 6 22 4
6 2 5 12 10 32 10
7 2 6 14 15 44 20
8 2 7 16 21 58 35
9 2 8 18 28 74 56
10 2 9 20 36 92 84
11 2 10 22 45 112 120
12 2 11 24 55 134 165
13 2 12 26 66 158 220
… … … …
47 2 46 94 1035 2164 15180
48 2 47 96 1081 2258 16215
49 2 48 98 1128 2354 17296
50 2 49 100 1176 2452 18424
51 2 50 102 1225 2552 19600
52 2 51 104 1275 2654 20825
53 2 52 106 1326 2758 22100
Avec tout mon courage, je remarque que, pour n = 51, le nombre19 600 est le carré de 140 et en prolongeant le tableau, jusqu’à n= 10 000, il n’apparaît plus d’autre carré.
