G287 - Numismatique en Diophantie ! ! !!

G287 - Numismatique en Diophantie

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prolifération des pièces de monnaie, a émis une série limitée de 12 pièces dont les valeurs faciales sont des entiers distincts d’ouros de telle sorte que n’importe quel montant entier de 1 ouro à N ouros – N fixé par décret – peut être payé avec 8 pièces ou moins, tout ou partie de ces pièces pouvant avoir la même valeur faciale.

Q₁ Sans l’aide d’un quelconque automate, trouver une série de 12 pièces qui satisfait N = 6543 Ŏ (1).

Q₂ Avec l’aide d’un automate, trouver une série de 12 pièces qui satisfait N = 13000 Ŏ.

Q₃ Pour les plus courageux disposant d’un puissant automate : déterminer le plus grand entier N tel qu’il existe au moins une série de 12 pièces distinctes telles que toute somme comprise entre 1 et N inclus peut être réglée avec au maximum 8 pièces pas nécessairement distinctes.

! Si l’on peut payer toutes les sommes de 1 à N avec n pièces parmi v valeurs, on pourra payer les sommes de 1 à (N+1)

-1 avec 2n pièces parmi 2v valeurs, les v premières étant les pièces précédentes, et les autres de valeur multipliée par N+1.

Ainsi, on peut payer une somme de 88 avec un ensemble symétrique de 6 pièces (1, 3, 11, 19, 21, 22) - sans que cette solution soit optimale (je qualifie cet ensemble de symétrique, car payer une somme avec n pièces au plus, revient à considérer que l’on paye avec exactement n pièces quitte à rajouter des pièces de valeur nulle).

On peut alors payer toute somme de 1 à 89

-1 =7910, avec les pièces : (1, 3, 11, 19, 21, 22, 89, 267, 979, 1691, 1869, 1958)

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