La factorielle d'un entier x quelconque ≥ 1 est désignée par x! = 1*2*..*(x ‒ 1)*x
Q₁ Déterminer sept entiers strictement positifs a,b,c,d,e,f et n qui satisfont les cinq équations n! + a² = b², (n + 1)! + b² = c² , n! + c² = d², (n + 1)! + d² = e² et (n+1)! + e² = f².
Q₂ Démontrer que pour tout entier n > 4, il existe un entier k indépendant de n tel que n!/(n-k)!+1 est un carré parfait. En déduire qu'il existe trois entiers a, b et c dont l'écriture utilise des chiffres tous distincts tels que a!/b! + 1 = c²
Nous avons n!=b2-a2=d2-c2, (n+1)!=c2-b2=e2-d2=f2-e2. 5!=120=12*10=20*6=30*4=2*60
5!=112-12=132-72=172-132=312-292.
6!=720=2*360=4*180=6*120=8*90=10*72=12*60=18*40=20*36=24*30
6!=1812-1792=922-882=632-572=492-412=412-312=362-242=292-112=282-82=272-32 D’où la solution a=1, b=11, c=29, d=31, e=41, f=49 ; n=5.
Q2 : On a n(n-1)(n-2)(n-3)+1=n4-6n3+11n2-6n+1=(n2-3n+1)2. Donc pour k=4, n!/(n-4)!+1=(n2-3n+1)2
Il existe plusieurs trios (a, b, c) s’écrivant avec des chiffres tous distincts, tels que a!/b!+1=c2 : avec b=a-4 et un seul chiffre pour a, on obtient : (6, 2, 19) et (7, 3, 29).
Avec deux chiffres pour a, on ne trouve que (31, 27, 869).
En raisonnant sur le nombre de chiffres, on voit immédiatement qu’il n’existe pas de solution à plus de deux chiffres pour a.
