A461. Factorielles en Diophantie
Q1
Par essai syst´ematique dans les intervalles n ∈ [1..10], a ∈ [1..100] et b∈[1..100], on trouve un grand nombre de solutions de la premi`ere ´egalit´e.
En ajoutant la 2`eme ´egalit´e, le choix se r´eduit `a 3 possibilit´es, puis `a une seule avec la 3`eme ´egalit´e et les 2 suivantes. Finalement :
n= 5,a = 1, b= 11, c= 29, d= 31,e= 41et f = 49.
Q2
n(n−1)(n−2)(n−3) + 1 = (n(n−3) + 1)2
doncn!/(n−4)! + 1est le carr´e den(n−3) + 1 On a 3 solutions pour les entiers a, b et c :
6!/2! + 1 = 192 7!/3! + 1 = 292 31!/27! + 1 = 8692
Poura= 104et au-del`a, le nombre total de chiffres de a, b et c est plus grand que 10, et il y a donc n´ecessairement au moins un doublon. Il y a donc une centaine de calculs `a faire pour trouver les solutions et prouver qu’il n’y en a pas d’autres.
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