L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB1−2010-2011
D. Blotti`ere Math´ematiques
Intervalles dans R
D´efinition (intervalle deR) :SoitIun sous-ensemble deR. On dit queIest un intervalle deRsi et seulement si tout r´eel compris entre deux ´el´ements deI est lui aussi dansI, ce qui s’´ecrit formellement :
∀x∈I ∀y∈I ∀z∈R x≤z≤y⇒z∈I . Exemples de parties de R´etant ou non des intervalles
1. [1; 4[={x∈R : 1≤x <4} et ]− ∞; 5] ={x∈R : x≤5}sont des intervalles deR.
2. {1,2}n’est pas un intervalle deRcar 1 et 2∈ {1,2}, 1≤ 3
2 ≤2 et 3
2 ∈ {1,/ 2}.
3. [2; 3]∪[5; 6] n’est pas un intervalle deRcar 3 et 5∈[2; 3]∪[5; 6], 3≤4≤5 et 4∈/ [2; 3]∪[5; 6].
Th´eor`eme (liste des diff´erents types d’intervalles dans R) : Les sous-ensembles deRsuivants sont des intervalles deRet r´eciproquement tout intervalle deRest de l’un de ces types.
1.∅(ensemble vide)
2. [a;b] ={x∈R : a≤x≤b}aveca, b∈Rtels quea≤b 3. [a;b[={x∈R : a≤x < b} aveca, b∈Rtels quea < b 4. ]a;b] ={x∈R : a < x≤b}aveca, b∈Rtels quea < b 5. ]a;b[={x∈R : a < x < b} aveca, b∈Rtels quea < b 6. [a; +∞[={x∈R : x≥a} aveca∈R
7. ]a; +∞[={x∈R : x > a} aveca∈R 8. ]− ∞;a] ={x∈R : x≤a}aveca∈R 9. ]− ∞;a[={x∈R : x < a}aveca∈R 10. ]− ∞; +∞[=R
a b
−∞ +∞
a b
−∞ +∞
a b
−∞ +∞
a b
−∞ +∞
a
−∞ +∞
a
−∞ +∞
a
−∞ +∞
a
−∞ +∞
−∞ +∞
Remarques
1. Tout singleton (ensemble ne contenant qu’un seul ´el´ement){a}, o`u a∈R, est un intervalle deR. On a [a;a] ={a}.
2. ≪En g´en´eral≫, la r´eunion de deux intervalles n’est pas un intervalle (cf. exemple 3. donn´e ci-dessus).
Pour s’assurer que l’on a bien compris la d´efinition d’intervalle, on peut r´esoudre l’exercice suivant.
⋆ Exercice :SoientI etJ deux intervalles deR.
1. Montrer queI∩J est un intervalle.
2. Montrer l’implication :I∩J 6=∅ ⇒ I∪J est un intervalle. La r´eciproque est-elle vraie ?
