A461. Factorielles en Diophantie **
La factorielle d'un entier x quelconque ≥ 1 est désignée par x ! = 1*2*....*(x ‒ 1)*x
Q1 Déterminer sept entiers strictement positifs a, b, c, d, e, f et n qui satisfont les cinq équations:
n! + a2 = b2, (n + 1)! + b2 = c2 , n! + c2 = d2, (n + 1)! + d2 = e2 et (n+1)! + e2 = f2. Q2 Démontrer que pour tout entier n > 4, il existe un entier k indépendant de n tel que:
n!/(n - k)! + 1 est un carré parfait.
En déduire qu'il existe trois entiers a, b et c dont l'écriture utilise des chiffres tous distincts tels que a!/b! + 1 = c2
Q1
Les sept entiers répondant à la question sont : 1, 11, 29, 31, 41, 49 et enfin n = 5.
Qui donnent 5! + 1² = 11² 6! + 11² = 29² 5! + 29² = 31² 6! + 31² = 41² 6! + 41² = 49²
Q2
Quelques essais numériques :
n=5 5*4*3*2 +1 = 11² et nous avons 11 = 5*2 + 1 n=6 6*5*4*3 + 1 = 19² et nous avons 19 = 6*3 + 1 n=7 7*6*5*4 + 1 = 29² et nous avons 19 = 7*4 + 1 n=8 8*7*6*5 +1 = 41² et nous avons 19 = 8*5 + 1 D’où l’idée d’essayer avec k=4 pour n quelconque.
Nous allons vérifier avec le carré de n(n-3) +1 n!/(n - k)! + 1 = n(n-1)(n-2)(n-3) +1
= ( n² -1)(n² -5n +6) +1 = n4 - 6n3 +11n² - 6n + 1 ET
[n(n-3) +1]² = n²(n-3)² +1 +2n(n-3) = n4 - 6n3 +11n² - 6n + 1 Nous avons bien n!/(n - k)! + 1 = [n(n-3)+]² La réponse est
k=4 .
Nous allons maintenant chercher la question suivante avec a=n, b= n- 4 et enfin c=n(n-3)+1 tout en imposant des chiffres différents.
Je trouve plusieurs solutions pour lesquelles les nombres ont des chiffres tous distincts :
6! / 2! + 1 = 19² 7! / 3! + 1 = 29²
et enfin a=31 ; b=27 et c=869
