A461. Factorielles en Diophantie
La factorielle d'un entier x quelconque ≥ 1 est désignée par x ! = 1*2*....*(x ‒ 1)*x Q1 Déterminer sept entiers strictement positifs a, b, c, d, e, f et n qui satisfont les cinq équations:
n! + a² = b², (n + 1)! + b² = c² , n! + c² = d², (n + 1)! + d² = e² et (n+1)! + e² = f².
Q2 Démontrer que pour tout entier n > 4, il existe un entier k indépendant de n tel que:
n!/(n - k)! + 1 est un carré parfait.
En déduire qu'il existe trois entiers a, b et c dont l'écriture utilise des chiffres tous distincts tels que a!/b! + 1 = c²
Nota: les deux questions sont indépendantes Solution de Paul Voyer
Q1
5! = 120 = 31²-29² = 17²-13² = 13²-7² = 11²-1²
6! = 720 = 49²-41² = 41²-31² = 36²-24² = 29²-11² = 28²-8² = 27²-3²
5! b, d a,c 11 1 13 7
17 13
31 29
6! c,e,f b,d,e 27 3 28 8 29 11
36 24
41 31
49 41
a= 1 5! + 1² = 11²
b= 11 6! + 11² = 29²
c = 29 5! + 29² = 31²
d = 31 6! + 31² = 41²
e = 41 6! + 41² = 49²
f = 49 Q2
k = 4 répond à la question car
n!/(n-4)! = n(n-1)(n-2)(n-3) = n4-6n³+11n²-6n+1 = (n²-3n+1)².
6!/2! +1 = 361 = 19² utilise 1, 2, 6, 9 7!/3! +1 = 841 = 29² utilise 2, 3, 7, 9
31!/27!+1 = 755161 = 869² utilise 1, 2, 3, 6, 7, 8, 9
Les valeurs plus élevées n'ont pas tous leurs chiffres distincts.
