G277 – Cent chiffres à éliminer
On détermine respectivement le plus grand entier naturel n₁ puis le plus petit entier naturel n₂ en supprimant 100 chiffres dans l’entier N obtenu par concaténation des entiers naturels 1,2,3, ... jusqu’à 100 : N =1234567891011....9899100. L’ordre des chiffres non supprimés est respecté.
Recenser tous les chiffres de la différence n₁ – n₂.
Solution par Patrick Gordon
On trouve aisément que le nombre N a 192 chiffres répartis en : - 11 zéros
- 21 uns
- 20 de chacun des chiffres de 2 à 9.
Pour former n1, il faut commencer par autant de 9 que possible. Il faut naturellement
commencer par le premier, sauf à épuiser inutilement le contingent de 100 suppressions – et ce d'autant que le premier 9 ne "coûte" que 8 suppressions. De même, on ne gagne rien à sauter des 9.
Pour atteindre le premier 9, il faut supprimer les 8 chiffres de 1 à 8.
Pour atteindre le deuxième 9, il faut supprimer les 18 chiffres de 10 à 18, plus le 1 de 19, soit 19 chiffres.
Pour atteindre le troisième 9, il faut supprimer les 18 chiffres de 20 à 28, plus le 2 de 29, soit 19 chiffres.
Pour atteindre le quatrième 9, il faut supprimer les 18 chiffres de 30 à 38, plus le 3 de 39, soit 19 chiffres.
Pour atteindre le cinquième 9, il faut supprimer les 18 chiffres de 40 à 48, plus le 4 de 49, soit 19 chiffres.
À ce stade, on a supprimé 8 + 4 × 19 = 84 chiffres. On n'a donc plus le droit d'en supprimer que 16 et il n'est donc pas possible de continuer de la même manière.
On a retenu 5 "neufs" et supprimé 84 chiffres. La prochaine séquence (jusqu'au prochain 9) commence donc au 90ème chiffre. C'est la séquence 50 à 59, dont les chiffres sont :
5 0 5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 6 5 7 5 8 5 9
À défaut de pouvoir atteindre le 9 (ce qui demanderait 19 suppressions) ni le 8 (ce qui en demanderait 17), on se contentera du 7 (ce qui demande 15 suppressions) et, comme il reste une suppression, on supprimera le 5 qui suit ce 7.
Le nombre n1 commencera donc par : 999997859
et se poursuivra par la séquence des chiffres de 60 à 100, soit les 83 derniers chiffres de N.
Pour former n2, il faut commencer par 1 (par lequel commence N), puis par autant de 0 que possible.
Pour atteindre le premier 0 à partir du 1, il faut supprimer les 8 chiffres de 2 à 9, ainsi que le 1 de 10, soit 9 chiffres
Pour atteindre le deuxième 0, il faut supprimer 19 chiffres.
Pour atteindre le troisième 0, il faut supprimer 19 chiffres.
Pour atteindre le quatrième 0, il faut supprimer 19 chiffres.
Pour atteindre le cinquième 0, il faut supprimer 19 chiffres.
À ce stade, on a supprimé 9 + 4 × 19 = 85 chiffres. On n'a donc plus le droit d'en supprimer que 15 et il n'est donc pas possible de continuer de la même manière.
On a retenu 1 "un" et 5 zéros et supprimé 85 chiffres. La prochaine séquence (jusqu'au prochain 0) commence donc au 92ème chiffre. Ses chiffres sont (les surlignements en jaune seront expliqués ci-après) :
5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 6 5 7 5 8 5 9 6 0
Sauter directement au prochain 0 ou sauter par-dessus ce 0 demanderait au moins 19 suppressions, ce qui n'est pas possible. On est donc confiné à la séquence ci-dessus dont il faut supprimer 15 chiffres en en gardant 5.
On gardera donc le premier 1, puis le premier 2, puis le premier 3, puis le premier 4, et l'on constate que le premier 0 est alors accessible. Comme, à part le 5, ces chiffres ne se
représentent pas en-deçà du 0 final, on ne peut faire mieux et le nombre n2 commencera donc par :
10000012340
et se poursuivra par la séquence des chiffres de 61 à 100, soit les 81 derniers chiffres de N.
Récapitulons.
n1 = 999997859, suivi des 83 derniers chiffres de N.
n2 =10000012340, suivi des 81 derniers chiffres de N
Pour calculer la différence n₁ – n₂, explicitons les chiffres de rangs 83 et 82 (de la fin) de N.
Ce sont ceux de 60, soit 6 et 0.
Comme n₁ et n₂ ont dès lors leurs 81 derniers chiffres identiques, la différence n₁ – n₂ vaut donc :
99 999 785 960 – 10 000 012 340 = 89 999 773 620 suivi de 81 zéros.
