A461. Factorielles en Diophantie La factorielle d'un entier x quelconque ≥ 1 est désignée par : x ! = 1*2*....*(x 1)*x

A461. Factorielles en Diophantie

La factorielle d'un entier x quelconque ≥ 1 est désignée par : x ! = 1*2*....*(x 1)*x‒

Q1 Déterminer sept entiers strictement positifs a,b,c,d,e,f et n qui satisfont les cinq équations:

n! + a² = b², (n + 1)! + b² = c² , n! + c² = d², (n + 1)! + d² = e² et (n+1)! + e² = f².

Q2 Démontrer que pour tout entier n > 4, il existe un entier k indépendant de n tel que:

n!/(n - k)! + 1 est un carré parfait.

En déduire qu'il existe trois entiers a, b et c dont l'écriture utilise des chiffres tous distincts tels que a!/b! + 1 = c²

Nota: les deux questions sont indépendantes

Solution proposée par Bernard Grosjean

Q1 L’équation n! + a² = b² peut s’écrire : n! = b² – a² = (b + a)(b – a)

n! est par définition le produit des n premiers nombres, qui peut s’écrie n! = k*m (k>m) On aura alors a + b = k et a – b = m, soit a = (k+m)/2 et b = (k – m)/2

a et b étant entiers k et m sont de même parité.

Examinons quelles sont les valeurs possibles pour a et b, pour les valeurs de n.

- n = 2

n ! = 1x2 Pas de solution - n = 3

n ! = 1x2x3 Pas de solution - n = 4

n ! = 1x2x3x4

2 solutions : k = 12, m = 2, a = 5, b = 7 k = 6 , m = 4, a = 1, b = 5 - n = 5

n ! = 1x2x3x4x5

4 solutions : k = 60, m = 2,

a = 29, b = 31

k = 30, m = 4, a = 13, b = 17 k = 20, m = 6, a = 7, b = 13 k = 12, m = 10,

a = 1, b = 11

- n = 6

n ! = 1x2x3x4x5x6

9 solutions : k = 360, m = 2, a = 179, b = 181 k = 180, m = 4, a = 88, b = 92 k = 120, m = 6, a = 57, b = 63 k = 90, m = 8,

a = 41, b = 49

k = 72, m = 10,

a = 31, b = 41

k = 60, m = 12, a = 24, b = 36 k = 40, m = 18,

a = 11, b = 29

k = 36, m = 20, a = 8, b = 28 k = 30, m = 24, a = 3, b = 27

Dans les 5 équations de l’énoncé, b, c et d figurent dans n ! et (n+1)!

Si n = 4 pas de solution

Mais avec n = 5 et (n+1) = 6, on trouve aisément la solution suivante, (valeurs repérées en couleur et en gras) :

a = 1 ; b = 11 ; c = 29 ; d = 31 ; e = 41 ; f = 49 Vérification :

5 ! = 120 et 120 + 1² = 121 = 11²

6 ! = 720 et 720 + 11² = 720 + 121 = 841 = 29² 5 ! = 120 et 120 + 29² = 120 + 841 = 961 = 31² 6 ! = 720 et 720 + 31² = 720 + 961 = 1681 = 41² 6 ! = 720 et 720 + 41² = 720 + 1681 = 2401 = 49² CQFD

Q2 n!/(n-k)! + 1 = a² peut s’écrire n!/(n-k)! = a² – 1 = (a + 1)(a – 1) - n = 5

avec k = 5, nous avons 5 !/0 ! = 5x4x3x2 = 12x10 = (11 + 1)(11 – 1) soit a = 11 - n = 6

avec k = 3, nous avons 6 !/3 ! = 6x5x4 = 12x10 = (11 + 1)(11 – 1) soit a = 11 avec k = 4, nous avons 6 !/2 ! = 6x5x4x3 = 20x18 = (19 + 1)(19 – 1) soit a = 19 et, dans tous les cas, avec n>4 :

avec k = 4, nous avons n !/(n-4) ! = n(n-1)(n-2)(n-3) = [(n-1)(n-2)][n(n-3)]

= (n² – 3n + 2)(n² - 3n)

= [(n² – 3n + 1) + 1][(n² – 3n + 1) – 1] soit a = n² – 3n +1 Nous avons donc, si a !/b ! + 1 = c^{2 :}

b = a – 4 et c = a² – 3a + 1

Exemples d’entiers répondant à la question (chiffres tous différents) :

a = 6 ; b = 2 ; c = 19 a = 7 ; b = 3 ; c = 29