Problème G224. Voyage spatial en Diophantie
Louis ROGLIANO
Pour les besoins de la démonstration, nous étudions le nombre de régions du plan déterminées par des droites en position générale (pas de couples parallèles et pas de triplets passant par un même point) ainsi que le nombre de régions infinies du plan qu’elles déterminent.
Notons: n le nombre de droites,intD(n)le nombre d’intervalles découpés sur la droiten par lesn−1 droites déja tracées,inf D(n) le nombre de demi-droites sur la droite n, P(n) le nombre total de régions du plan découpées par les n droites etinf P(n) le nombre de régions infinies du plan découpées par lesn droites. Nous avons :
intD(n) = n,inf D(n) = 2,P(1) = 2etinf P(1) = 2.
Lanième droite ajoutée augmente donc le nombre total de régions du plan de n unités et le nombre de régions infinies de2unités. Deux relations de récurrence s’en déduisent:
(A) :P(n) =P(n−1) +net(B) :inf P(n) =inf P(n−1) + 2. Après calcul nous trouvons:
P(n) = n(n+ 1)
2 + 1etinf P(n) = 2n.
Passons à l’espace avec des notations supplémentaires suivantes: E(n)est le nombre total de régions de l’espace déterminées parnplans,inf E(n)le nombre de régions infinies etpolyE(n)le nombre de polyèdres.
Nous avons :
E(1) = 2,inf E(1) = 2etpolyE(n) =E(n)−inf E(n).
Le nième plan ajouté, découpé enP(n−1) = n(n−1)
2 + 1 régions par lesn−1plans augmente donc le nombre total de régions deP(n−1)et le nombre de régions infinies de inf P(n−1) = 2n −2. Deux relations de récurrence s’en déduisent:
(A) : E(n) = E(n−1) + n(n−1)
2 + 1et(B) : inf E(n) = inf E(n−1) + 2n−2. Après calcul, nous trouvons:
E(n) = n3+ 5n+ 6
6 et inf E(n) =n2−n+ 2
inf E(n) = 2164a pour solutionn= 47. Il y a doncE(47)−2164 = 15180polyèdres.
Les moyens n’étant pas à la hauteur de la motivation, je me contenterai d’annoncer, avec l’aide d’un logiciel de programmation, que le nombre de plans demandé pour que le nombre de polyèdres soit le plus grand carré possible est51pour19600 = 1402 polyèdres.
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