J 146. Le parc arboré.
Zig vient de planter dans son parc onze ginkgos biloba à l'intérieur d'une parcelle carrée (bords compris) dont un des sommets est l'origine O et deux côtés adjacents partant de O sont pris pour axes des abscisses et des ordonnées. Trois sommets de la parcelle au moins sont occupés par un arbre. Sachant que Zig peut admirer six alignements de quatre arbres, comment a-t-il opéré pour que les arbres soient plantés en des points de coordonnées entières (exprimées en mètres) ?
Montrer que les plantations ont pu être réalisées dans une parcelle dont la surface est de 3600 m² De son côté, dans un autre coin du parc, Puce a opéré de la même manière que Zig en plantant onze sycomores à l'intérieur d'une parcelle rectangulaire non carrée (bords compris) de même surface que la parcelle de Zig avec deux sommets de la parcelle exactement occupés par un arbre et six alignements de quatre arbres. Comment s'y est-il pris pour que les arbres soient plantés en des points de coordonnées entières (exprimées en mètres) ?
Solution proposée par Michel Lafond.
Les 11 points visibles ci-dessus répondent à la première question, les 6 droites d’alignement ayant pour équations :
Trois sommets du carré sont plantés et son aire est
0 ; 0
15 ; 15
20 ; 20
30 ; 30
0 ; 20 0 ; 30 0 ; 60
45 ; 15 36 ; 12
60 ; 0 30 ; 10
La plantation ci-dessus, respecte les contraintes : 6 alignements de 4 arbres.
Ceci dans un rectangle de côtés 60 et 30 donc d’aire 1800.
Deux sommets exactement sont occupés.
Si on effectue une affinité de rapport 2, de support Oy, le rectangle verra sa longueur doubler, mais les coordonnées des 11 points resteront entières et les contraintes d’alignement seront maintenues.
L’aire doublera et passera à 3600, ce qui répond à la seconde question.
0 ; 0
15 ; 15
20 ; 20
30 ; 30
45 ; 15 36 ; 12
60 ; 0 30 ; 10
24 ; 12
30 ; 15
40 ; 20 y
