J146. Le parc arboré

J146. Le parc arboré

Zig vient de planter dans son parc onze ginkgos biloba à l'intérieur d'une parcelle carrée (bords compris) dont un des sommets est l'origine O et deux côtés adjacents partant de O sont pris pour axes des abscisses et des ordonnées. Trois sommets de la parcelle au moins sont occupés par un arbre. Sachant que Zig peut admirer six alignements de quatre arbres, comment a-t-il opéré pour que les arbres soient plantés en des points de coordonnées entières (exprimées en mètres)? Montrer que les plantations ont pu être réalisées dans une parcelle dont la surface est de 3600 m2?

De son côté,dans un autre coin du parc, Puce a opéré de la même manière que Zig en plantant onze sycomores à l'intérieur d'une parcelle rectangulaire non carrée (bords compris) de même surface que la parcelle de Zig avec deux sommets de la parcelle exactement occupés par un arbre et six alignements de quatre arbres.Comment s'y est-il pris pour que les arbres soient plantés en des points de coordonnées entières (exprimées en mètres)?

On s'en sort en examinant la multiplicité des diviseurs de 60. Avec a et b les ordonnées des 2 points sur le côté gauche et avec c et d les abscisses (et ordonnées, par conséquent) des 2 points sur la grande diagonale de la parcelle, on arrive à pas moins de 7 solutions différentes pour le quadruplet (a,b,c,d).

a=15 b=20 c=30 d=40 a=15 b=30 c=30 d=40 ( cas de l'illustration) a=20 b=45 c=15 d=40 a=20 b=30 c=30 d=40

a=20 b=30 c=30 d=45 a=20 b=30 c=40 d=45 et a=30 b=40 c=20 d=30

Pour Puce, il suffit de prendre le rectangle associé de même surface pour satisfaire aux

conditions de l'énoncé vu qu'il n'est pas précisé que sa parcelle est découpée selon les axes.