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La distribution de la température dans un coin
rectangulaire
Philippe Bock
To cite this version:
LA DISTRIBUTION DE LA
TEMPÉRATURE
DANS UN COIN RECTANGULAIREPar PHILIPPE BOCK.
Brno (C. S. R.).
Sommaire. 2014 Recherche de la distribulion de latempérature dans un coin indéfini limilé par deux plans rectangulaires, puis dans un quart de cylindre de révolution, les distributions des températures sur les faces étant données.
Dans la
première
partie
de cetravail,
ils’agit
de larecherche de distribution de la
température
dansun coin
rectangulaire
infini,
c’est-à-dire limité par deuxdemi-plans
normaux l’un surl’autre,
ensupposant
quela
température
soit une fonction donnée lelong
d’une facey - 0
et une fonction donnée eivt.g(y)
lelong
de l’autre face x ==- 0. La solutiongénérale
del’équation
de la conduction de la chaleur estrepré-srntée,
avec les conditions aux limitesdonnées,
parsuperposition
de deux solutionspartielles
qui
sontexprimées
en formed’intégrales
de Fourier.Dans la seconde
partie
de cetraité,
ils’agit
de lahe de la distribution de la
température
dans unquart
decylindre
d’unelongueur
infinie sous descondi-tions ou limites
particulières
et de ladescription
expli-cite de la solution.
1.
L’équation
de la conduction de la chaleur est :zi
représentant
latempérature,
x, y les coordonnéesrectangulaires
de Descartes dans leplan
desection,
t latempérature
et k la conductibilitéthermique.
La solution satisfaisant aux conditions aux limites ci-dessusmentionnées de
l’équation
(1)
a la forme :de manière que le facteur
d’espace complexe
U(x, y)
sunit àl’équation
différentielle :
La soluticn U
(x, y)
estcomposée
de deuxparties,
dont lapremière
y)
doit satisfaire aux conditimsaux limites :
et dont la seconde
~T2(x,
y)
doit satisfaire am condi-tions aux limites :En
premier
lieu nousformons
lasolution,
àpartir
des solutions
élémentaires
de la forme :en
multipliant
par une fonction1 ()~)
’ et enintégrant
’Comme solution
générale
del’équation
(3)
sati&-faisant aux conditions aux limites(4a),
nous obtenons :Nous destinons la fonction
-~ (i,)
à l’aide du théorèmed’intégrale
de Fourier selon la seconde condition auxiimites Selon celle-ci :
et par
conséquent :
Donc,
il en résulte commepremière
solntionpar-tielle
l’expression :
De la même manière nous trouvons la seconde
solu-tion
partielle
U2
(x,
y)
sous la forme :1
«
-U2 (XI ?J) = - -î f
_Il u
Les solutions
(G)
et(7)
peuvent
êtrereprésentées
d’une manière
sommaire,
si nous calculons les noyaux :Ce
calculréussit à l’aide
de lafonction
cylindrique
242
de Hankel de
première
espèce
d’indice 0. Nous consi-donc la fonction :-4
--et posons : Il vient :
’J:..
d’où résulte par la substitution :
Par une différentiation
partielle
de cetteéquation
parrapport
à v, nous pouvons écrire la formulesui-oc
A
présent
nous posons en(6’) :
et obtenons
quatre
intégrales qui,
deux à deux selaissent réduire à une
intégrale qui
s’étend de à p Le calcul de la valeur de ces deuxintégrales
donne :
U,) même :
La solution totale r =
~T1
+T’., apparaît
alors sousla forme:
.r
avec les noyaux donnés
par
(f"
et(7")
uù,
cnmmcd’habitude,
lapaitii, r1lle
r.préseiii>
latempérature.
:2.
La distribution de latempérature
dans unquart de
cylindre
d’unelongueur
infinie. - Le.long
des faces ducoin,
donnons-nous
latempérature
comme
l’indique
lafigure 1,
et cela lelong
de la face= a par la fonction
f (x),
lelong
de la faceOB
= a, par la fonctiong (y)
et lelong
de l’arc de cercle ~4ÈFig. 1.
par la fonction La
température
totale,
nous la coinposons par lestempératures
de trois solutionspar-tielles :
La
première
solutionpartielle
est alors :La seconde solution
partielle
est alors :Quant
à la troisième solutionpartielle,
il fautqu’elle
satisfasse aux conditions aux limites :("’ est -à -dire:
et elle
peut
être écrite sous la forme :Tenant
compte
et243
t,ielles
prennent
sur l’arc .t R de la manière suivante :(a
cos 1’, a. sin9)
=U~
~,~~) i ~
=On obtient les coenicients cn par la théorie des séries
de Fourier.
Après
la substitution de la valeur de cn, la solutionUs peut
être aussi écritp de la sorte :Do la condition aux limites
(5)
Donc,
suivant(6) :
-.Pour calculer les
intégrales
qui
surgissent ici,
nousemployons
pour les noyaux lesreprésentations (6")
et(7")
pour les fonctionscylindriques
de Hankel de pre-mier ordre. Le second terme en(6)
se transforme en : -.1
Les deux
intégrales
doubles se laissent facilementréduire à une
intégrale unique,
enposant
dans lapre-mière
intégrale : _
’L
et dans la secondeintégrale :
La contraction des deuxintégrales
donne :iT 7- (1.
Par une
intégration partielle
de
l’expression :
noues obtenons :
Dans cette
intégrale
nousemployons
le tlléorémed’addition de fonctions
cylindriques
de Hankel :L’intégrale
disparaît
pour des Epairs,
2~c et a pourdes valeurs
impaires
positives
etnégatives
de s la valeurégale
contraire. +2 >1,
cettemtésrale
a la même valeur
244
De
plus,
nous tenonscompte
de :et :
Par
conséquent,
la somme se réduit à un membre.Nous pouvons donc écrire définitivement le second
terme en cn de la manière suivante :
Le calcul du troisième terme
(2)
se fait d’une manièresemblable et fournit la valeur :
Par
eonséquent Cn
peut
v
Si le
quart
decylindre
estplacé
dans unchamp
detempérature
symétrique
de sorte que :les coefficients cn
disparaissent
pour des npairs.
L’interprétation
de la solutionprécédente
est à reconnaître par la considération suivante : On sait que les fonctionscylindriques
de Hankel d’indice 1repré-sentent des ondes
cylindriques.
Les noyauxKi (r, 1 ; y)
eth’9 (x; y,
.(1)
de notre solution sontcomposés
de telles fonctions. La fonction de Hankelreprésente
une fonctioncylindrique
sortant dupoint
(~,
0).
Chaque
point
de l’axe xpeut
donc êtreconsidéré
commepoint
source d’une ondecylindrique,
dontl’intensité
estproportionnelle
à latempérature f ( 1 )
de ce
point.
Par réflexion à laparoi
x = 0 se formeune nouvelle
onde,
dont la sourceapparente
est située àl’image mirage
dupoint
de source,donc. du
point
.(2013 ~
0)
de lapremière
ondecylindrique.
Cette onderéfléchie est
représentée
par lapartie :
,, ,---
,,
._ - ,/(x - )2 -+- y2
.Hi’)
k
x/x
+
)2
+Y2
, du noyau. Une considérationanalogue
est aussi valablepour le noyau
K~ (x; y, r,).
On devrait supposer d’avance que la solution aurait
une telle structure. C?r selon le
principe
deHuyghens,
chaque
point
de lasuperficie
du coin atteint par les oscillations detempérature
ua = t devientcentre d’excitation d’ondes
secondaires, qui
sontjuste-ment les ondes
cylindriques
discutées ci-dessus. ,J’exprime
ma reconnaissance à 1VI. le ProfesseurR.
Weyrich qui
rri’,i donné l’idée de cetravail,
et Si l1’l, A.Erdélyi
pour sespréciejx
conseils.Manuscrit 20 J9:!’).
ilIlùIJI>lR-lPJlllfl
(’~ R,. WEyRir,H, dans son ouvrage « Die Zylinderfunkhonpn
und ihre Anwendungen » (B. C. Tenhner, Leipzig’, 9 93 î, 4, p. 92,
donne :
IB’}- 1
-avec nos notations :
11B
(~) Nous ren1plaçons dans
Par ces remplacement, les deux intégrales sont transformées
P r -B B ( Il T: 1.
1 .1B1’( lili-Id
Olll1‘!’O iniLi.d (rtO 1B B’~).
Fig. B.
1)(,Ill[ yo - iiiiiiii [>b,
Fig. L.
plaquette _Bu. ( lty.
1 iz 1). e
