J 146. Le parc arboré.
Zig vient de planter dans son parc onze ginkgos biloba à l'intérieur d'une parcelle carrée (bords compris) dont un des sommets est l'origine O et deux côtés adjacents partant de O sont pris pour axes des abscisses et des ordonnées. Trois sommets de la parcelle au moins sont occupés par un arbre. Sachant que Zig peut admirer six alignements de quatre arbres, comment a-t-il opéré pour que les arbres soient plantés en des points de coordonnées entières (exprimées en mètres) ?
Montrer que les plantations ont pu être réalisées dans une parcelle dont la surface est de 3600 m² De son côté, dans un autre coin du parc, Puce a opéré de la même manière que Zig en plantant onze sycomores à l'intérieur d'une parcelle rectangulaire non carrée (bords compris) de même surface que la parcelle de Zig avec deux sommets de la parcelle exactement occupés par un arbre et six alignements de quatre arbres. Comment s'y est-il pris pour que les arbres soient plantés en des points de coordonnées entières (exprimées en mètres) ?
Solution proposée par Marie Christine Piquet Q1: Le parc de Zig .
3 arbres sont plantés dans 3 coins de parc carré . Appelons les A , B & C . Les coordonnées de ces 3 points sont :
B ( 0 , 0 ) , A ( 0 , 60 ) , C ( 60 , 60 ) .
Pour placer 11 points sur 6 droites on peut s'y prendre ainsi : 6 droites tracées aléatoirement génèrent C62 = 15 points distincts .
On en conclut que pour n'avoir que 11 points , 2 points devront se trouver à l'intersection de 3 droites . C'est à dire que Zig plantera 2 arbres qui seront chacun communs à 3 alignements de 4 arbres. Et tous les autres arbres seront communs à 2 alignements .
Le dessin en page 2 est une illustration du parc arboré de Zig. On remarque que la droite (AQ) est l'axe de symétrie .
Le point P est l'intersection des 2 droites (BF) et (EC) d'équations respectives y = 60x/f & y = fx/60 + 60 - f ( f est l'abscisse du point F)
Mais comme le point P doit avoir des coordonnées entières , alors : x = (3600f - 60f²) / (3600 - f²) donnent 4 triplets entiers : (f , x , y)
(f , x , y) = { ( 40 , 24 , 36 ) , ( 30 , 20 , 40 ) , ( 20 , 15 , 45 ) , ( 12 , 10 , 50 ) }
Dans ce cas les 4 solutions sont obtenues avec des droites symétriques par rapport à la droite (AQ) . Ces 4 solutions possibles donnent la position des 2 points P et Q . Il faut donc choisir 2 couples de droites symétriques / (AQ) afin que les 2 autres points d'intersections R & S soient à coordonnées entières.
Un rappel concernant les équations de droites solutions : y = 3x/2 ; y = 2x ; y = 3x ; y = 5x .
Les équations des 4 droites symétriques /(AQ) à ces 4 droites : y = 2x/3 + 20 ; y = x/2 + 30 ; y = x/3 + 40
; y = x/5 + 48 .
L'intersection des 2 droites y = 3x/2 & y = x/2 + 30 donne le point S ( 30 , 45 ) .
Et donc par symétrie les 2 droites y = 2x & y = 2x/3 + 20 donnent le point d'intersection R ( 15 , 30 ) symétrique/(AQ) du point S.
Zig a pu donc planter ses onze ginkgos biloba aux 11 points de coordonnées :
POINTS A B C D E F G P Q R S x 0 0 60 0 0 30 40 20 24 15 30 y 60 0 0 20 30 60 60 40 36 30 45
Mais Zig a pu aussi utiliser les droites d'équation : y = 2x ; y = 3x ; x/3 + 40 ; y = x/2 + 30 Il a ainsi obtenu le tableau et le parc arboré suivants :
POINTS A B C D E F G P Q R S x 0 0 60 0 0 20 30 15 20 12 24 y 60 0 60 30 40 60 60 45 40 36 48
Q2 : Le parc de Puce .
Zig a plutôt utilisé les derniers tableau et schéma .
En regardant le tableau et le dessin ci-dessus de Zig , Puce a observé plusieurs choses . 1) Son parc rectangulaire est un 120 x 30
2) Il a remarqué aussi que les 11 arbres de Zig tenaient dans un rectangle ( incliné à 45°) de longueur 60√2 et de largeur 60/√2 .Ce rectangle a pour sommets adjacents B et C .
3) Les coordonnées x & y de chacun des arbres ont même parité .
4) En multipliant la longueur 60√2 par √2 et en divisant la largeur 60/√2 par √2 , il obtenait les dimensions de son parc ( 120 x 30)
5) Il lui suffisait ensuite d'effectuer une rotation de centre B(0,0) et d'un angle de -45° pour l'aligner sur la grille .
N.B. √2 est la racine carrée de 2 .
Il peut ainsi calculer ses propres coordonnées X & Y . X = √2 . [x.cos(-45°) - y.sin(-45°)] = x + y
Y = [x.sin(-45°) + y.cos(-45°)] / √2 = ( y - x ) / 2 ---> d'où l'importance de la même parité pour x & y Ainsi le tableau de Puce est le suivant :
POINTS A B C D E F G P Q R S X = x + y 60 0 120 30 40 80 90 60 60 48 72 Y = (y-x)
/2 30 0 0 15 20 20 15 15 10 12 12 Le parc arboré de Puce est celui-ci :
