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Dépôt Institutionnel de l’Université libre de Bruxelles / Université libre de Bruxelles Institutional Repository

Thèse de doctorat/ PhD Thesis Citation APA:

Brotcorne, L. L. (1998). Approches opérationnelles et stratégiques des problèmes de trafic routier (Unpublished doctoral dissertation). Université libre de Bruxelles, Faculté des sciences, Bruxelles.

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UNIVERSITÉ LIBRE DE BRUXELLES

APPROCHES OPÉRATIONNELLES ET STRATÉGIQUES DES PROBLÈMES DE TRAFIC ROUTIER

Luce Brotcorne

Institut de Statistique et de Recherche Opérationnelle Service de Mathématiques de la Gestion

Faculté des Sciences

Thèse présentée en vue de l’obtention du grade de Docteur en Sciences

Année académique 1997-1998

A Frédéric Julien, N

et à mes parents

Remerciements

Je tiens tout d’abord à remercier mon directeur de thèse, Martine Labbé, pour les conseils, l’attention et les encouragements qu’elle m’a prodigués pendant mes recherches.

C’est avec un grand plaisir que j’exprime mes remerciements aux professeurs Patrice Marcotte et Gilles Savard qui m’ont initié à la programmation mathématique à deux niveaux et dont le soutien constant tant scientifique qu’amical m’a été précieux au cours de ce travail.

Je remercie vivement les membres de mon jury et en particulier mes deux examinateurs externes, les professeurs Stefano Pallottino et Philippe Toint, pour leurs remarques et commentaires enrichissants.

Je désire également exprimer ma gratitude au professeur Gilbert Laporte pour l’at­

tention qu’il m’a prodigué lors de la réalisation de ma thèse annexe.

À ceux qui ont contribué à cette recherche par leurs conseils et leurs intuitions, no­

tamment Michel Gendreau, Daniel De Wolf, j’exprime mes remerciements.

Ma reconnaissance va également au professeur Teodor Gabriel Crainic, directeur du Centre de Recherche sur les Transports (C.R.T.) de l’Université de Montréal pour l’accueil qu’il m’a accordé au sein de son Centre.

Cette recherche a bénéficié partiellement de l’appui des Services Fédéraux des Affaires Scientifiques et Culturelles (S.S.T.C.) dans le cadre du programme Transport et Mobilité.

Nous les en remercions vivement.

Que madame Denise Desjardin qui a relu très attentivement cette thèse et madame Nicole Paradis qui m’a aidé pour la dactylographie, soient remerciées.

Qu’il me soit permis de remercier mes collègues et amis pour les moments de détente et de rire qui ont agrémenté mon travail.

Je remercie Frédéric Julien pour son aide, sa compréhension et son soutien permanents.

J’exprime également toute ma gratitude à ma famille qui m’a encouragée tout au long de mes études et à laquelle je dois chaque réussite.

Enfin que tous celles et ceux qui m’ont apporté leur appui trouve ici l’expression de

ma gratitude.

Résumé

De nos jours, le besoin d’intervention dans la planification du système de transport est devenu primordial suite aux impacts très lourds tant au niveau de la qualité de la vie qu’au niveau économique de la croissance spectaculaire du trafic routier et de la conges­

tion résultante. L’objectif de cette thèse est de développer des modèles et des méthodes de résolution permettant d’analyser l’incidence sur le système de transport des mesures choisies qu’elles soient opérationnelles ou stratégiques.

Nous proposons tout d’abord, dans les chapitres 2 et 3, trois modèles dynamiques d’équilibre de l’utilisateur pour l’affectation du trafic en milieu urbain. Ces modèles peu­

vent être utilisés pour étudier les effets de mesures opérationnelles telles que la réduction de la vitesse sur certains axes, la modification du plan de circulation d’une ville, ou encore les effets de mesures plus stratégiques telles que la flexibilité du temps de travail.

Étant donné le nombre d’usagers voyageant de la même origine à la même destination et ayant la même heure d’arrivée désirée, les modèles permettent de déterminer le chemin et l’heure de départ des usagers de façon à ce qu’aucun d’entre eux ne puisse diminuer son désagrément en changeant unilatéralement d’heure de départ ou de chemin.

La principale différence entre ces modèles porte sur l’interprétation des heures de départ. Pour le modèle décrit dans le chapitre 2, les usagers ayant le même premier arc de chemin et le même heure de départ sont chargés instantanément sur le réseau en cet instant, alors que dans les modèles décrits dans le chapitre 3, ils sont chargés progressivement sur le réseau durant un intervalle de temps débutant à l’heure de départ commune. Après avoir formulé ces trois modèles sous forhae de problèmes d’inégalité variationnelle de dimension finie, nous prouvons l’existence d’un équilibre de l’utilisateur pour les modèles décrits au chapitre 3. Deux méthodes heuristiques ont été proposées pour le calcul d’un équilibre de l’utilisateur défini par le modèle du chapitre 2 et pour un des deux modèles du chapitre 3. Les résultats numériques obtenus sur de petits réseaux sont encourageants bien que l’accroissement du réalisme des modèles du chapitre 3 rend plus difficile l’obtention de bonnes solutions.

Dans la seconde partie de cette thèse, nous nous plaçons au niveau stratégique en

présentant un modèle qui permet de définir une politique de tarification. Plus précisément

dans le chapitre 4, nous nous intéressons au problème de la détermination des péages

routiers interurbains sur un ensemble prédéfini de tronçons d’un réseau de manière à

maximiser le revenu du gouvernement ou de sociétés privées. Une politique de tarifica-

tion optimale consiste à déterminer des niveaux de péages d’une part, suffisamment bas pour favoriser l’utilisation des routes tarifées et, d’autre part, assez élevés pour engen­

drer des profits importants. Afin de tenir compte de cette interaction, le problème de la détermination des péages routiers est formulé comme un problème de programmation mathématique à deux niveaux. Deux heuristiques sont proposées. La première fixe les péages séquentiellement sur les tronçons, tandis que la seconde est basée sur une ap­

proche primale-duale. La qualité des solutions fournies par les heuristiques a été mesurée par rapport à la résolution d’une forriiulation linéaire mixte du problème. L’heuristique primale-duale a montré son efficacité en fournissant des solutions de très bonne qualité en des temps de calcul modérés pour des problèmes où la résolution exacte du modèle mixte s’avérait très difficile.

Finalement, dans le chapitre 5, nous examinons un autre aspect d’une politique de réduction de la congestion qui vise à favoriser le transport multimodal de marchandises.

Nous considérons ainsi le problème de la détermination des tarifs concurrentiels sur un ensemble prédéfini de tronçons d’un réseau de façon à maximiser le profit d’une société de transport (transport ferroviaire ou fluvial) en compétition avec d’autres entreprises pour l’acheminement de la marchandise d’un de ses clients. Ce problème est formulé sous forme d’un problème bi-niveau de façon à prendre en considération le fait que l’entreprise de pro­

duction désire minimiser son coût de transport et a le choix entre différents modes. Nous avons proposé trois heuristiques basées sur une approche primale-duale pour résoudre ce problème. De nouveau, la qualité des solutions produites par les trois heuristiques a été mesurée par rapport à la résolution d’une formulation linéaire mixte du problème.

L’efficacité de deux des méthodes heuristiques proposées a pu être mise en évidence, des

solutions de très bonne qualité étant obtenues en des temps de calcul négligeables par

rapport à ceux de la méthode exacte sur un ensemble de problèmes tests.

Abstract

Nowadays, a better planning of transportation is urgently required because of the im­

portant effects it bas on the quality of livimg and on the economy of the increasing road traffic and the resulting congestion. This thesis aims at developing models and tools to analyze the impact of the selected measures (operational or strategie) on the transporta­

tion System.

We first présent in chapter 2 and 3, three dynamic user equilibrium models for traffic assignment in urban areas. These models can be used to evaluate the impact of varions operational strategies such as speed limits, urban planning changes, or the impact of more strategie measures as the flexibility of working starting time. The transportation demand is the number of users leaving their origin to reach their destination in a window of time around the desired arrivai time. We model the problem of the détermination of both path and departure time of commuters in order that no user can increase his satisfaction by unilaterally changing his path or/and his departure time.

Variational inequality formulations of the models are given. The departure time mo- delling is the main différence between these models. In the model of chapter 2 users with the same departure time and the same first arc of the selected path are simultaneously loaded on the network at that time whereas in the models of chapter 3 these users are uniformly loaded on the network during a time interval wich lower bound is the depar­

ture time. For both models of chapter 3 the existence of a dynamic user equilibrium can be proved. Two heuristics methods are proposed to compute a dynamic user equilibrium defined by the model of chapter 2 and one of the models of chapter 3. Numerical results on small networks are promising even if more realistic models make good solutions more difficult to achieve.

In the second part of this thesis, we focus on a strategie transportation policy related

to tarification. In chapter 4, we consider the problem of setting tolls on a specified subset

of arcs of a transportation network in order to maximize the revenue of the government

or a private company. An optimal toll policy is such that toll levels are sufficiently low

not to deter the users from taking toll arcs rather than alternative roads, simultaneously

generating high revenues. Taking these interactions into account, the model is formulated

as a bilevel program. Two heuristics are proposed. The first one détermines sequentially

the tolls whereas the second one is a primal-dual method. To evaluate the efficiencies of

these methods, a mixed integer linear formulation of the problem has to be solved to

optimality. The primal-dual heuristic produces good results in moderate CPU times for instances difficult to solve with the mixed linear formulation.

Finally, in chapter 5, we consider another policy involving multimodal freight trans­

portation to reduce congestion. More precisely we pay attention to the problem of setting tolls on a specified subset of arcs of a transportation network to maximize the revenue of a carrier company (railway or waterway transportation) competing with other societies to deliver the freight of a client. The model is formulated as a bilevel program taking into account the potential mode choice of the production company to minimize its trans­

portation cost. Three primal-dual heuristics are proposed to solve the problem. A mixed

integer linear formulation can also be solved to optimality to evaluate the efficiency of the

proposed methods. Two of them produce good solutions on a set of test problems in very

short CPU times compared to the times required by the exact method.

Table des matières

1 Introduction 1

2 Premier Modèle : AflFectation par Paliers 5

2.1 Introduction... ... . 5

2.2 Revue de la littérature... 7

2.2.1 Des modèles statiques vers les modèles dynamiques... 7

2.2.2 Modèles d’évolution temporelle ... 12

2.2.3 Modèles dynamiques basés sur les généralisations des conditions d’équilibre... 13

2.2.4 Modèles dynamiques d’équilibre de l’utilisateur comprenant les choix de cherriin et d’heure de départ... 17

2.3 Modèle... 26

2.4 Algorithme ... 34

2.4.1 Calcul d’un choix optimal... 36

2.4.2 Algorithme de chargement... 44

2.4.3 Réallocation des usagers... 50

2.5 Exemple numérique... 52

2.6 Conclusion et discussion...- 54

3 Second Modèle : Affectation Uniforme sur un Intervalle 59 3.1 Introduction... 59

3.2 Modèle... 60

3.3 Existence d’un équilibre de l’utilisateur... 68

3.4 Algorithme ... : • • • 70

3.4.1 Calcul d’un choix optimal ... 71

3.4.2 Algorithme de chargement... ... 76

3.4.3 Réallocation des usagers... 89

3.5 Stratégie d’élimination des interactions asymétriques du modèle... 90

3.5.1 Exemple illustrant les interactions asymétriques... 91

3.5.2 Nouvelle fonction de temps de trajet d’arc... 92

3.6 Résultats numériques... 99

3.7 Conclusion... 108

4 Problème de Tarification Routière 111 4.1 Introduction...111

4.2 Généralités sur la programmation mathématique à deux niveaux... 114

4.3 Modèle... 119

4.4 Formulation sous la forme d’un problème linéaire mixte... 126

4.5 Calcul d’un chemin de coût minimum et de profit maximum...129

4.6 Recherche séquentielle par arc... 130

4.6.1 Cas d’un seul arc tarifable...130

4.6.2 Cas général... 131

4.7 Heuristique primale-duale... 135

4.7.1 Présentation générale... 135

4.7.2 Détermination des variables de taxation T et des variables duales A 141 4.7.3 Résolution du sous-problème de Frank et Wolfe ... 146

4.7.4 Détermination des variables fx... 153

4.7.5 Exemple numérique... 157

4.8 Résultats numériques... 160

4.9 Conclusion... 172

5 Problème de Tarification pour le Transport de Marchandises 175

5.1 Introduction... 175

5.2 Modèle... 179

5.3 Formulation sous forme d’un problème d’un seul niveau bilinéaire... 183

5.4 Heuristique primale-duale... 187

5.4.1 Présentation de l’algorithme... 187

5.4.2 Comparaison avec le cas bi-niveau linéaire linéaire...189

5.5 Heuristique primale-duale avec diversification ... 191

5.6 Heuristique primale-duale basée sur la méthode de Gauss-Seidel... 193

5.7 Résultats numériques... 195

5.8 Conclusion... 202

Liste des tableaux

2.1 Modèles dynamiques d’affectation du trafic... 7

2.2 Notations... 30

2.3 Description des arcs... 53

2.4 Description des produits... 53

2.5 Solutions de l’algorithme pour des produits de 500 usagers. ... 55

2.6 Solutions de l’algorithme pour des produits de 600 usagers. ... 55

3.1 Description de l’arc...100

3.2 Description du produit... 100

3.3 Solution de l’algorithme... 100

3.4 Description des arcs... 103

3.5 Description des produits... 103

3.6 Solutions de l’algorithme pour des produits de 500 usagers... 105

3.7 Solutions de l’algorithme pour des produits de 600 usagers... 106

4.1 Notations...121

4.2 Description des produits... 157

4.3 Bases du suiveur considérées...158

4.4 Réseaux sj'^métriques - 10 paires origine-destination... 166

4.5 Réseaux symétriques - 20 paires origine-destination... 167

4.6 Réseaux asymétriques - 10 paires origine-destination... 168

4.7 Réseaux eisymétriques - 20 paires origine-destination... 169

4.8 Réseaux symétriques avec autoroutes - 10 paires origine-destination. . . . 170

4.9 Réseaux symétriques avec autoroutes - 20 paires origine-destination. .... 171

5.1 Notations... ... . 180

5.2 Réseaux comprenant 50 noeuds et 250 arcs... 198

5.3 Réseaux comprenant 50 noeuds et 250 arcs... 199

5.4 Réseaux comprenant 75 noeuds et 1400 arcs... 200

5.5 Réseaux comprenant des autoroutes tarifables...201

Liste des figures

2.1 Vitesse et temps de trajet en fonction du flot... 11

2.2 Vitesse et temps de trajet en fonction de la charge... 11

2.3 Définition de Da{t)... 28

2.4 Fonction borne inférieure pour l’évaluation de (7*(0)... 42

2.5 Fonction borne inférieure remise à jour... 43

2.6 Mise à jour de la charge d’un arc... 45

2.7 Forme générale de la fonction de temps de trajet... 45

2.8 Mise à jour de la fonction de temps de trajet d’un arc : cas 1. ... 46

2.9 Mise à jour de la fonction de temps de trajet d’un arc : cas 2a... 47

2.10 Mise à jour de la fonction de temps de trajet d’un arc: cas 2b... 47

2.11 Mise à jour de la fonction de temps de trajet d’un arc : cas 3...47

2.12 Mise à jour de la fonction de temps de trajet d’un arc: cas 4. . ... 48

2.13 Un réseau simple... 52

2.14 Fonction charge de l’arc a = (o, d) : cas 1... 56

2.15 Fonction charge de l’arc a = (o,d) : cas 2... 57

2.16 Temps de trajet de l’arc (o, d) pour t = T

par rapport à ... 57

3.1 Entrée d’usagers sur le premier arc pour le modèle à taux de départ constant. 62 3.2 Entrée d’usagers sur le premier arc pour le modèle à intervalles de départ de longueur fixe... 62

3.3 Taux d’entrée pour le modèle à taux de départ constant... 65

3.4 Taux d’entrée pour le modèle à intervalles de départ de longueur fixe. ... 65

3.5 Fonction de charge de l’arc a = (o, d)... 68

3.6 Temps de trajet de l’arc (o, d) pour t = T2 + 1 en fonction de n^j 69

3.7 Réseau illustrant la non-additivité des temps de trajet moyen... 73

3.8 Fonctions de temps de trajet des arcs... 74

3.9 Mise à jour de la fonction charge d’un arc a... 84

3.10 Mise à jour de la fonction de temps de trajet d’un arc: cas 1...86

3.11 Mise à jour de la fonction de temps de trajet d’un arc: cas 2a... 87

3.12 Mise à jour de la fonction de temps de trajet d’un arc: cas 2b... 87

3.13 Mise à jour de la fonction de temps de trajet d’un arc: cas 3a... 87

3.14 Mise à jour de la fonction de temps de trajet d’un arc: cas 3b... 88

3.15 Mise à jour de la fonction de temps de trajet d’un arc: cas 4...88

3.16 Terme de la fonction de charge pour le choix ri... 93

3.17 Terme réel de la fonction de charge concernant le choix ti ... 94

3.18 Variation de la fonction charge du choix T2... 95

3.19 Sortie du choix ti , entrée du choix T

... 97

3.20 Présence du choix ti , entrée du choix T2... 98

3.21 Critère moyen avant la définition de fa{t)... 101

3.22 Critère moyen après la définition de fa{t)... 102

3.23 Un réseau simple... 103

3.24 Évolution du critère maximum relatif... 109

4.1 Exemple pour lequel la borne supérieure sur le profit n’est pas atteinte. . . 122

4.2 Exemple où la solution optimale n’est pas unique... 122

4.3 Exemple illustrant la présence de taxes négatives...123

4.4 Exemple comprenant un seul arc tarifable... 125

4.5 Fonction profit de l’exemple de la Figure 4.4 ... 125

4.6 Exemple illustrant le calcul du profit global...132

4.7 Schéma décrivant l’algorithme primal-dual...138

4.8 Exemple illustrant la présence de sauts de dualité... 145

4.9 Évolution du saut de dualité au cours des itérations... 145

4.10 Chemins du suiveur pour un niveau de taxe donné par S!^... - • • 146

4.11 Illustration de la construction du graphe résiduel... 150

4.12 Illustration de l’impact des définitions des valeurs potentielles des racines. 156 4.13 Sous-graphes pour les produits 1 et 2. . ... 156

4.14 Réseau comprenant 11 noeuds et 25 arcs... ...158

4.15 Fonction objectif du problème pénalisé... ...159

4.16 Fonction objectif du problème pénalisé : itérations 1 à 200... 159

4.17 Définition d’une autoroute tarifable...163

Chapitre 1 Introduction

De nos jours, les automobilistes ont appris à supporter les encombrements qui paralysent quotidiennement les routes. Depuis quelques années le trafic connaît une croissance spec­

taculaire et la situation menace d’échapper à tout contrôle. Ainsi, en Belgique entre 1970 et 1990, le nombre des voyageurs est passé de plus de 52 milliards de yoyageurs/km à 105 milliards de voyageurs km et le trafic de marchandises s’est accru de 27 milliards de tonnes km à 45 milliards de tonnes km (De Baere [30]). De plus, il y a de fortes chances pour que cette tendance se poursuive dans les années à venir. Or, cette augmentation du trafic et de la congestion qu’elle entraîne se traduit par une perte de temps importante dans les embouteillages : 14 minutes par jour et par automobiliste en moyenne en Belgique, par une insécurité routière: 50.000 décès par an dans la Communauté Européenne, par une détérioration de l’environnement : pollution de l’air et du sol, nuisances sonores, par une consommation vaine d’énergie, et par une dégradation du cadre de vie : parkings sauvages dans les lieux publics, désagréments divers pour les piétons (De Baere [30], Jones et Hervik [70]). Tous ces facteurs ont un impact très lourd aussi bien au niveau de la qualité de vie qu’au niveau économique. En effet, il est aujourd’hui admis que l’efficacité du système de transport a une influence directe sur la productivité et la compétitivité d’une économie.

Or, la perte économique totale due à la congestion urbaine et inter-urbaine a été chiffrée à 50 milliards d’écus par an dans la Communauté Européenne (Jones et Hervik [70]). Par conséquent, les autorités tant au niveau local que national s’intéressent de plus en plus à la question de la diminution des coûts occasionnés par la congestion.

Certains pays comme le Canada, les États-Unis, la France ou le Royaume-Uni ont

décidé de construire de nouvelles routes ou d’élargir certains tronçons existants. Toutefois,

ces solutions sont coûteuses et ne peuvent de l’avis de tous les gouvernements suffire à elles

seules à résoudre le problème de la congestion. Dès lors, les planificateurs recherchent au­

jourd’hui des solutions alternatives permettant une meilleure utilisation de l’infrastructure existante et des moyens de transports actuellement disponibles. Différentes mesures aussi bien opérationnelles que stratégiques peuvent être envisagées. Au niveau opérationnel, les interventions possibles concernent notamment la réduction de la congestion, la limitation du parking urbain, la modification des plans de circulation urbains, le contrôle de l’accès aux routes, le covoiturage, la coordination des feux de circulation, la mise en place de système d’information des usagers en temps réel. D’autres actions pouvant être entre­

prises afin de limiter les nuisances dûes à la congestion sont la réduction de la vitesse sur certains axes, l’implantation de pistes cyclables, la mise en place de murs anti-bruit, la promotion de carburants moins polluants,___D’un point de vue stratégique, les mesures de lutte contre la congestion peuvent se traduire par l’instauration de politiques favori­

sant le transport multimodal des personnes et des marchandises, la flexibilité du temps de travail, ou encore de politiques de tarification du réseau routier. Une politique intégrée des transports passe par exemple par la construction de parkings aux entrées des villes ou par la mise en place de tarifs incitatifs pour le transport de marchandises ferroviaire ou fluvial. Une politique sociale promouvant la flexibilité du temps de travail permet d’étaler la demande en transport lors des périodes de pointe. Finalement, les politiques de tarification du réseau routier permettent d’atteindre un triple objectif : premièrement de réduire la congestion en modifiant les itinéraires de certains usagers ou les périodes de la journée où sont réalisés les voyages (Morrison [92], Arnot et al. [5]), deuxièmement de récolter des fonds pour financer toute mesure opérationnelle telle que la construction de nouveaux tronçons et l’entretien de l’infrastructure existante, et finalement de lutter contre la pollution. Le développement de telles politiques est favorisé aujourd’hui au ni- veau technologique par la mise au point des systèmes de péages électroniques. A titre • \ d’exemples, des politiques de tarification sont mises en place ou appliquées depuis 1975 à Singapour (Hau [56], Holland et Watson[59], Watson et Holland [129]), depuis 1986 à Bergen (Jones et Hervik [70]), depuis 1993 à Toronto (Mekky [88]) et depuis 1996 en Hollande (Stoelhorst et Zanderbergen [115]).

Quelque soient les mesures choisies, il est important de disposer de modèles afin d’an­

alyser l’incidence des changements envisagés sur le système de transport. Dans cette thèse, nous nous intéressons d’abord à un modèle d’affectation du trafic en milieu urbain qui peut être utilisé pour étudier les effets de mesures opérationnelles ou stratégiques sur le ni­

veau de congestion. Puis nous proposons des modèles permettant de définir des politiques

de tarification du réseau routier interurbain et d’établissement de tarifs favorisant le trans­

port multimodal de marchandises.

Un modèle d’affectation du trafic permet de décrire la distribution des flux dans un réseau de transport. Plus précisément, étant donné un réseau de transport, une affectation du trafic répartit les usagers sur les itinéraires de manière à satisfaire les demandes de chacun tout en minimisant un certain paramètre d’impédance, par exemple le temps de trajet. Historiquement, les premiers modèles d’affectation du trafic étaient des modèles statiques (Wardrop [128]). Comme l’exprime le terme “statique”, cette modélisation ne tient pas compte de la variation dans le temps du phénomène de congestion. Or, il suffit d’examiner les situations d’heures de pointe pour se rendre compte que cette simplifica­

tion se fait au détriment du réalisme. Pour remédier à cette inadéquation des modèles statiques, un certain nombre d’études ont proposé des modèles intégrant la composante dynamique. La démarche la plus simple pour tenter d’incorporer les effets dynamiques consiste à tenir compte explicitement de la variation de la demande dans le temps. Le problème d’affectation dynamique du trafic revient alors à déterminer la variation des flux en fonction de la variation temporelle de la demande. Dans cette approche, le navetteur ne possède qu’une variable de décision : l’itinéraire suivi pour se rendre à sa destination.

Toutefois, dans la réalité, l’usager dispose d’une seconde variable de décision ; le choix de l’heure de départ. Aussi, le modèle d’affectation du trafic que nous proposons sera un modèle dynamique prenant explicitement en considération le choix de l’heure de départ.

Afin de compléter sa description, il nous faut préciser la règle sur laquelle est basée l’af­

fectation du trafic. Plusieurs stratégies sont en effet possibles. Certains modèles se basent sur des règles comportementales des usagers (Mahmassani et al. [83], Toint et al. [117]), d’autres déterminent les flux sur les arcs de façon à minimiser le temps de trajet passé dans le réseau (optimum du système) (par exemple, Merchant et Nemhauser [89, 90]), enfin d’autres modèles sont des modèles d’équilibre de l’utilisateur (par exemple, Priesz et al. [45]). Dans ce dernier cas, une situation d’équilibre est atteinte lorsqu’aucun usager ne peut diminuer son temps de trajet en changeant unilatéralement de route ou d’instant de départ. Le modèle que nous proposons se base sur cette troisième approche.

Dans la seconde partie de cette thèse, nous nous plaçons au niveau stratégique en

présentant un modèle qui permet de définir une politique de tarification. Plus précisément,

nous nous intéressons au problème de la détermination des péages routiers interurbain de

manière à maximiser le revenu du gouvernement ou de sociétés privées. En effet, jusqu’à

récemment l’opinion publique considérait la construction des autoroutes du ressort de

l’état. Toutefois, compte-tenu de leurs situations budgétaires actuelles de nombreux pays

tels que le Canada, les États-Unis et la France doivent recourir aux services du secteur privé.

Ce problème de la détermination des péages revêt un aspect crucial pour les gouver­

nements ou les sociétés privées car des évaluations erronées des taxes peuvent avoir des conséquences désatreuses. Ainsi, à Alesund en Norvège, des péages trop bas combinés à des rabais élevés ont engendré des pertes de l’ordre d’un milliard de couronnes en 1989 (Jones et Hervik [70]). Une politique de tarification optimale consiste à déterminer des ni­

veaux de péages d’une part suffisamment bas pour favoriser l’utilisation des routes tarifées et d’autre part assez élevés pour engendrer des profits importants. Afin de tenir compte de cette interaction, le problème de la détermination des péages routier sera formulé comme un problème de programmation mathématique à deux niveaux, c’est-à-dire comme une situation où deux pouvoirs de décision interagissent de manière hiérarchique.

Finalement, nous examinons un autre aspect d’une politique en transport visant à réduire la congestion par la diminution du transport routier de marchandises. Nous con­

sidérons ainsi le problème de la détermination de tarifs favorisant le transport multimodal.

En effet, le transport routier ne peut être réduit qu’à travers une politique de prix adaptée des sociétés exploitant des modes alternatifs tels que le chemin de fer ou les voies fluviales.

Ce problème sera formulé sous la forme d’un programme bi-niveau de façon à prendre en

considération le fait que les entreprises de production désirent minimiser leur coût de

transport et ont le choix entre des modes différents.

Chapitre 2

Premier Modèle :

Affectation par Paliers

2.1 Introduction

Le problème d’aflFectation dynamique du trafic en milieu urbain étudié dans ce chapitre consiste à déterminer le chemin et l’heure de départ des usagers du réseau de façon à atteindre une situation d’équilibre de l’utilisateur. Le modèle proposé pourra être utilisé pour étudier les effets de mesures opérationnelles et stratégiques sur le niveau de conges­

tion. De telles mesures comprennent par exemple la modification des plans de circulation urbains, la réduction de la vitesse sur certains axes, ou d’un point de vue plus stratégique, la flexibilité des horaires de travail.

La demande en transport est caractérisée par le nombre d’usagers ayant non seule­

ment les mêmes origine et destination mais également la même préférence quant à l’heure d’arrivée à destination. Une affectation d’usagers à des choix de chemin et d’heure de départ est dans une situation d’équilibre si aucun usager ne peut diminuer sa valeur de désagrément en changeant unilatéralement son heure de départ et/ou son chemin. Au­

trement dit, nous supposons que chaque usager désire minimiser sa propre fonction de désagrément. Cette dernière comprend le temps de trajet et une pénalité pour des ar­

rivées en dehors d’une fenêtre de temps autour de l’heure d’arrivée désirée à destination.

Le temps de trajet dépendant de la charge du réseau est défini de façon à satisfaire l’hy­

pothèse “FIFO” selon laquelle un usager ne peut pas arriver plus tôt à sa destination

qu’un autre usager ayant quitté son origine plus tôt que lui et utilisant le même chemin.

Notons que l’appellation temps de trajet désigne ici un coût généralisé comprennant le coût monétaire, le temps de parcours, le coût lié à la pollution, etc.

Comme mentionné précédemment, les modèles dynamiques introduisent explicitement une composante temporelle dans leur formulation. Deux types de méthodes permettent de décrire la variation dans le temps du problème d’affectation du trafic. Les modèles en temps discret nécessitent une division de la période d’étude en sous-intervalles de longueur donnée durant lesquels les paramètres régissant l’état du réseau de transport sont constants. Bien qu’ils conduisent à un développement plus aisé d’algorithmes pour résoudre le problème d’affectation dynamique du trafic, ces modèles possèdent un certain nombre d’inconvénients liés aux problèmes d’arrondis des conditions de trafic entre deux périodes successives. Les modèles continus, considérant les paramètres du trafic comme des fonctions continues dans le temps, permettent une bonne description du problème d’affectation dynamique qui est un phénomène intrinsèquement continu. Toutefois, un des défauts majeurs de ces modèles est que leur résolution nécessite une discrétisation du temps. Ce faisant, ils perdent les avantages du caractère continu de la formulation.

Par conséquent, afin d’obtenir une description réaliste de la dépendance dans le temps du problème d’affectation du trafic et de simplifier le développement d’un algorithme résolvant ce problème, le modèle décrit dans ce chapite utilise des variables discrètes pour représenter les heures de départ et des fonctions de temps de trajet continues dans le temps. La propagation des usagers sur le réseau sera donc décrite de façon continue.

Comme nous le verrons dans la section 2.3, le problème d’affectation dynamique d’équilibre de l’utilisateur décrit ci-dessus peut être formulé sous forme d’un problème d’inégalité variationnelle de dimension finie. Cette formulation fait intervenir un nombre fini de choix de chemin et d’heure de départ possibles pour chaque usager. L’algorithme proposé pour résoudre le problème est une procédure itérative qui simule les ajustements des choix de chemin et d’heure de départ que font les usagers empruntant régulièrement le réseau de transport.

Ce chapitre est organisé de la façon suivante. Dans la section 2.2, nous présentons une revue de la littérature pour les problèmes d’affectation dynamique du trafic incluant un survol détaillé des articles décrivant des modèles comportant les choix de chemin et d’heure de départ. Dans la section 2.3, une formulation basée sur la théorie des inégalités variationnelles du problème d’affectation dynamique d’équilibre du trafic est donnée. Une méthode heuristique pour le résoudre est décrite dans la section 2.4. Finalement, nous dis­

cutons les résultats numériques et tirons quelques conclusions dans les sections 2.5 et 2.6.

2.2 Revue de la littérature

Dans cette section, nous décrivons la littérature traitant du problème dynamique d’affec­

tation du trafic. Nous commençons par décrire le problème statique d’affectation du trafic et motivons l’introduction des modèles dynamiques dans la section 2.2.1. Ensuite, nous présentons les deux types de problème dynamique d’affectation du trafic étudiés dans la littérature. En l’occurence, les modèles d’évolution temporelle du trafic (c/. section 2.2.2) et les modèles dynamiques basés sur des généralisations des conditions d’équilibre de l’uti­

lisateur ou de l’optimum social (c/. section 2.2.3). Notre but étant de définir un nouveau modèle dynamique d’équilibre de l’utilisateur traitant du choix de chemin et d’heure de départ, la dernière partie de la section 2.2.3 sera consacrée à une revue de la littérature plus détaillée de ce type de modèles. Nous donnons dans le Tableau 2.1 une représentation schématique des differents types de modèles existants.

Modèles djmamiques d’affectation du trafic

Modèles d’évolution temporelle Modèles dynamiques d'EU ou d'OS

Temps de trajet instantané - Temps de trajet réel Choix de chemin - Choix de chemin et d’heure

de départ Formulation basée sur :

- le contrôle optimal

- la théorie des inégalités variationnelles - la programmation mathématique Méthodes de résolution :

- méthode analytique - simulation

Tableau 2.1: Modèles dynamiques d’affectation du trafic.

2.2.1 Des modèles statiques vers les modèles dynamiques

Le problème d’affectation du trafic, c’est-à-dire la détermination de la distribution des flux

dans un réseau de transport pour une demande donnée, a suscité l’intérêt des ingénieurs

responsables de la planification des transports depuis plus de 40 ans. Les premiers modèles

proposés prenaient uniquement en considération le choix de chemin pour se rendre à

destination. De plus, ces modèles, appelés modèles statiques, ne tenaient pas compte de

la variation dans le temps des flots et des temps de trajet des arcs. Les deux critères de choix de route sur lesquels se basent ces modèles furent proposés en 1952 par Wardrop [128]. Ces deux critères supposent qu’une fonction de coût est associée à chaque usager.

Cette fonction représente les inconvénients liés à son déplacement tels que le temps de trajet, le coût monétaire, les risques d’accidents, les coûts dûs à la pollution. Par la suite, nous appellerons ce coût : temps de trajet. Selon le premier principe, appelé optimum social {OS), les flux sur le réseau de transport sont définis de façon à ce que le temps de trajet total soit minimisé sur le réseau. Alors que selon le second principe, nommé équilibre de l’utilisateur {EU), les flux sont déterminés de sorte que chaque usager ne puisse plus diminuer son temps de trajet en changeant unilatéralement de chemin. Ces deux critères peuvent encore être caractérisés de la façon suivante. Une affectation du trafic est un OS si pour chaque paire origine-destination, les temps de trajet marginaux des chemins utilisés sont égaux entre eux et inférieurs ou égaux à ceux des chemins non utilisés, alors qu’une affectation du trafic satisfait les conditions à'EU si pour chaque paire origine-destination, les temps de trajet des chemins utilisés sont égaux entre eux et inférieurs ou égaux à ceux des chemins non utilisés. L’affectation basée sur un équilibre de l’utilisateur est qualifiée de descriptive car elle permet de décrire le comportement des usagers dans le réseau alors que l’affectation basée sur l’optimum social, qualifiée de normative, permet d’obtenir une situation idéale pour le réseau.

Ces deux concepts d’équilibre sont fondamentalement différents car dans le cas d’un OS certains usagers peuvent être amenés à choisir une route qui leur est moins favorable.

La meilleur illustration de la différence entre des affectations basées sur les notions d'EU et d^OS est donnée par le fameux paradoxe de Braess (Sheffi [108]). Celui-ci illustre le fait qu’en présence de congestion, la construction d’une nouvelle route motivée par une approche d'OS peut conduire à la détérioration de la performance du réseau si on suppose que chaque usager optimise son propre temps de trajet selon les principes d'EU. Ce para­

doxe met en évidence qu’une étude approfondie est nécessaire avant toute restructuration du réseau de transport.

Alors que la formulation du problème d’05 sous forme d’un problème de programma­

tion mathématique peut être facilement obtenue, celle du problème d'EU est nettement plus complexe. La première formulation du problème {EU) avec demande fixée sous forme d’un problème d’optimisation (Beckman [10]) a permis d’une part d’obtenir des conditions d’existence et d’unicité en terme de flots sur les arcs des solutions satisfaisant les con­

ditions d’équilibre de l’utilisateur, et d’autre part de développer les premières méthodes

de résolution du problème d'EU. Les procédures de résolution du problème d’05 sont

identiques à celles développées pour le problème d’EU sauf qu’elles diffèrent dans la spécification des fonctions de temps de trajet sur les arcs : fonction de temps de trajet marginal pour le problème d’05, fonction de temps de trajet pour le problème d'EU.

Sheffi [108] donne une étude extensive des problèmes d’équilibre de l’utilisateur et d’op­

timum social statique. Il considère d’une part les aspects conceptuels, algorithmiques et de calcul des problèmes d'EU et d’05' classiques. D’autre part, il discute de nombreuses extensions et variantes telles qu’une demande élastique, plusieurs classes d’utilisateurs, des choix de chemin généralisés, des interactions symétriques et asymétriques entre les arcs et le caractère stochastique du choix d’itinéraire.

Par la suite, il a été observé que le problème d’équilibre de l’utilisateur correspond à un point d’équilibre de Nash dans un jeu non coopératif entre différents usagers. Cette constatation a conduit à une formulation du problème d'EU sous forme d’un problème d’inégalité variationnelle (c/. Smith [111], Dafermos [27], Dafermos et Nagurney [28]). Un survol récent du problème d’équilibre statique et de ses extensions selon cette approche, de ses applications et des méthodes algorithmiques de calcul est donné par Patrickkson [97].

Bien que les modèles d’affectation statique puissent être utilisés pour les études de pla­

nification à long terme, ils se sont révélés tout à fait inadéquats pour décrire le phénomène d’heure de pointe puisqu’ils ne tiennent pas compte de la variation dans le temps de la congestion. Par conséquent, un certain nombre d’études ont proposé des modèles intégrant la composante dynamique^ c’est-à-dire, tenant compte explicitement de la variation dans le temps de la demande en transport et/ou des caractéristiques du réseau. Un des premiers modèle de ce type fut donné par Merchant et Nemhauser [89, 90]. Supposant les héures de départ données de façon exogène, ils calculent un optimum social dynamique sur un réseau ne contenant qu’une seule destination.

Un premier problème lié aux modèles dynamiques est l’usage générique de la termi­

nologie “dynamique” pour désigner tout problème différent des hypothèses d’affectation statique {EU) et {OS) standard. Cette confusion fait que de nombreux problèmes ayant des objectifs différents ont été regroupés génériquement sous le terme d’affectation dyna­

mique. La plupart des modèles d’affectation du trafic possèdent une structure commune composée des trois éléments suivants. Le premier est un modèle de demande décrivant le comportement des usagers. Ce modèle prend en compte non seulement les choix de che­

min et d’heure de départ que les usagers font avant de quitter leur origine mais également

les changements d’itinéraires en cours de route. Le second élément est un modèle d’offre

permettant de déterminer les nombres d’usagers présents sur les arcs et les temps de tra­

jet de ces arcs étant donné la demande en transport et les caractéristiques topologiques du réseau. Finalement, le troisième élément est un modèle d’interaction entre l’offre et la demande. Il permet de définir les règles sur lesquelles les usagers se basent pour faire leurs choix. Notons que les seules variables de décisions des usagers que nous considérerons par la suite sont le choix de chemin et d’heure de départ.

Une seconde confusion, décrite par Jayakrishnan [67], existant au sein des modèles dynamiques d’affectation porte sur la considération de la variable de flot sur un arc comme variable d’état d’un arc plutôt que la charge de cet arc. Définissons d’abord ces deux types de variables. D’une part le flot sur un arc est le nombre d’usagers passant par un point précis de l’arc par unité de temps. Le point de l’arc considéré est généralement l’origine de l’arc, sa destination ou le point milieu. D’autre part la charge sur un arc en un instant donné est le nombre d’usagers présents sur l’arc en cet instant. Dans les modèles dynamiques, le nombre d’usagers présents sur un arc n’est pas une fonction constante dans le temps. Ainsi, la dérivée par rapport au temps de la fonction charge de tout arc a n’est pas nulle, c’est-à-dire que les nombres d’usagers entrant et sortant de l’arc par unité de temps ne sont pas égaux. Par conséquent, dans le cas dynamique, le flot d’un arc dépendra fortement de l’endroit sur l’arc où on le mesure. Il importe donc de considérer la charge d’un arc, qui est une mesure spatiale, comme variable d’état de cet arc et non le flot qui est une mesure temporelle. De plus, l’utilisation des variables de flot comme variable d’état peut également engendrer un problème dans la définition des temps de trajet des arcs.

Plus précisément, le temps de trajet d’un arc n’est pas une fonction monotoniquement croissante en le flot de cet arc. En effet, pour des valeurs de flot plus petites qu’une borne supérieure, la vitesse moyenne sur un arc décroît par rapport au flot moyen. Mais au delà du flot maximum, le flot décroît et les vitesses deviennent très basses (c/. Figure 2.1).

Ceci résulte en des fonctions de temps de trajet qui se retournent et atteignent de grandes valeurs pour de petits flots. De telles fonctions ne permettent bien sûr pas de décrire les aspects dynamiques du problème d’affectation du trafic. Ceci ne fait que mettre en évidence les avantages de l’utilisation des charges d’arc comme variables d’état car dans ce cas, le temps de trajet est une fonction monotoniquement croissante en la charge (c/.

Figure 2.2).

La recherche dans le domaine de la modélisation du problème d’affectation du trafic

peut être classée dans deux catégories. La première décrite dans la section 2.2.2 consiste

à étudier l’évolution temporelle des charges sur les arcs. La seconde développée dans la

section 2.2.3 consiste à généraliser dans le contexte dynamique les conditions d'EU et

Vitesse

Temps de trajet

Flot

Figure 2.1: Vitesse et temps de trajet en fonction du flot.

Vitesse

trajet

Charge

Figure 2.2: Vitesse et temps de trajet en fonction de la charge.

d’05 définies par Wardrop, et à déterminer les charges d’arcs dépendant du temps selon ces conditions.

2.2.2 Modèles d’évolution temporelle

La première catégorie de modèles d’affectation dynamique étudie l’évolution temporelle des charges présentes sur les arcs dans un système de transport. Au lieu de déterminer les choix des usagers étant donné un certain objectif (Et/) ou (OS), ces modèles simulent les ajustements des choix d’heure de départ et de chemin des usagers en réponse à la con­

gestion expérimentée et à des informations extérieures. Ces modèles nécessitent donc une modélisation explicite des méchanismes d’ajustement des choix des usagers comprenant non seulement la mémorisation de situations passées, leurs habitudes, leur processus d’ap­

prentissage, mais également les interactions entre ces éléments et les systèmes de contrôle du trafic ou les modifications de la topologie du réseau. Notons que le choix de chemin peut intervenir en deux moments différents : choix de chemin en l’origine avant le départ et choix de chemin en route. Les processus de choix peuvent être déterministes ou sto­

chastiques. Ces derniers permettent de traiter les caractères aléatoires de la demande et de l’offre. La théorie des systèmes dynamiques peut être utilisée pour étudier l’évolution de ces systèmes décrivant les ajustements de choix de chemins des usagers vers un point d’équilibre de l’utilisateur ou d’autres attracteurs (c/. Cantarella et Cascetta [23]).

En ce qui concerne les choix de chemin et d’heure de départ avant le voyage, les critères sur lesquels ils se basent sont multiples. Par exemple, la théorie des choix discrets suppose que les usagers lorsqu’ils doivent prendre une décision, peuvent uniquement choisir entre un nombre fini de possibilités. Chaque usager possède une fonction d’utilité et on suppose que ses choix sont effectués afin de maximiser cette fonction. La représentation de plusieurs facteurs non quantifiables tels que le statut social, la personnalité de l’usager etc, est réalisée en intégrant un terme probabiliste dans la fonction d’utilité. Ben Akiva et Lerman [15] proposent une étude extensive de ces modèles. Un second exemple de critère d’ajustement des choix des usagers est l’approche de “rationalité bornée”, un usager changera de chemin et/ou d’heure de départ si la diminution de son désagrément : somme du temps de trajet et de pénalités pour arrivée hors délai dépasse une certaine borne (c/.

Mahmassani [85]).

Comme mentionné précédemment l’autre dimension de choix pouvant être intégrée

au sein de ces modèles qui étudient l’évolution temporelle du trafic est la possibilité de

changer d’itinéraire en cours de route. Cette possibilité a été motivée par le développement

des systèmes d’information embarqués à bord des véhiculés dans le contexte de Systèmes Intelligents de Transport (SIT). La description du processus de choix de l’utilisateur en temps réel est un élément primordial dans ces modèles (c/., par exemple, Dynasmart [66], Intégration [120]).

Plus récemment, les modèles proposés pour décrire l’évolution temporelle du trafic prennent en compte les deux types de choix décrits ci-dessus. Ils se composent de deux sous-modules : le premier pour les choix avant le départ, le second pour les choix en route. Les méthodes de résolution proposées sont essentiellement basées sur la simulation.

Ces méthodes essaient de décrire les choix des usagers et sont centrées sur les interac­

tions entre les véhicules pour mesurer la performance du réseau. Elles sont qualifiées de microscopiques ou macroscopiques. Dans le cas de la simulation microscopique, les inte­

ractions entre les véhicules sont modélisées avec un grand niveau de détail (pa;r exemple, changement de bande de circulation, interaction entre deux voitures qui se suivent). Par contre, dans les approches de simulation macroscopique, les véhicules sont regroupés en paquets et leurs interactions sont modélisées d’une façon plus agrégée, notamment en utilisant des relations vitesse/densité. Par exemple, Mahmassani et al [83] ont développé un modèle basé sur le principe de rationalité bornée pour déterminer les choix avant le voyage et utilisent le logiciel Dynasmart [66] pour simuler les ajustements d’itinéraires en route. Toint et al. [117] proposent un modèle où le comportement n’est plus représenté par l’optimisation d’une fonction d’utilité mais par l’application de règles comportementales avant le départ ou en cours de route. Ces règles sont considérées comme descriptives du comportement et non comme le résultat d’un calcul approfondi. Toutefois, une difficulté majeure de ce type de modèles axés sur l’usager est la mise en évidence des règles de comportement significatives. Un survol de la littérature de ces modèles est proposé dans les thèses de Jha [69] et de Peeta [98].

2.2.3 Modèles dynamiques basés sur les généralisations des con­

ditions d’équilibre

La seconde catégorie de modèle d’affectation dynamique consiste à généraliser dans le con­

texte dynamique les conditions d’équilibre de l’utilisateur et de l’optimum social définies

par ’Wardrop et énoncées précédemment, et à déterminer les charges d’arcs dépendant du

temps selon ces conditions. La matrice origine-destination est alors connue a priori. Les

heures de départ sont supposées connues ou elles résultent d’un choix lié à l’heure d’arrivée

désirée à destination. Les modèles de cette catégorie permettent donc de déterminer les

décisions des usagers étant donné leurs objectifs propres (par exemple arriver au travail à l’heure sans perdre trop de temps en route) ou un objectif plus social (l’amélioration de la performance du réseau). Comme dans le cas statique, la reconnaissance des différences de comportement des usagers a conduit à l’introduction d’un terme stochastique dans la fonction de temps de trajet associée à chaque usager. Dans ce cas on parle d’équilibre stochastique de l’utilisateur, ou d’optimum social stochastique. Dans la suite de ce survol, nous ne considérerons que les modèles d’affectation dynamique déterminant un équilibre de l’utilisateur ou un optimum social déterministe.

Certains modèles d'EU ou d’05 considèrent uniquement le choix de chemin et sup­

posent la connaissance de la matrice origine-destination en fonction du temps (Merchant et Nemhauser [89, 90], Carey [24], Ran et al. [100] , Wie [132, 133], Friesz et al. [44], Papageorgiou [96], Janson [63, 64], Wie et al. [134, 135], Drissi Kaitouni et Benchekroun [35], Smith [113], Wu [139], Ran et al. [103]). Toutefois, l’heure de départ est une va­

riable de décision importante pour les usagers et doit être jointe à celle du choix de route dans les modèles dynamiques. En effet, puisque les choix d’heure de départ et de chemin dépendent des temps de trajet courants, chaque changement d’heure de départ d’un usa­

ger affectera les charges d’arc du réseau de telle sorte que les choix de route et d’heure de départ des autres usagers pourront être modifiés. Les premiers modèles tenant compte du choix d’heure de départ ignoraient le choix d’itinéraire. Citons Hendrickson et Kocur [58], Smith [112], Daganzo [29], Newell [94], Alfa et Minh [2], de Palma et al. [32], Ben akiva et al. [13]. Finalement, un certain nombre de recherches ont proposé des modèles prenant en considération les choix de route et d’heure de départ. Comme Friesz et al. [45]

l’ont remarqué, cette généralisation semble être la plus appropriée du concept d’équilibre de l’utilisateur. Puisque notre but est de développer un tel modèle, nous ferons une revue de la littérature plus détaillée de cette catégorie dans la section 2.2.4.

La généralisation des notions d'EU et d’05 dans un contexte dynamique peut porter à confusion. En effet, il existe deux définitions possibles du temps de trajet d’un chemin.

Plus précisément, le temps de trajet instantané d’un chemin reliant une origine (O) à une destination {D) en un instant t est égal à la somme des temps de trajet des arcs du chemin évalués à l’instant t. Ainsi, une affectation dynamique du trafic satisfait les condi­

tions d'équilibre instantané si pour chaque paire origine-destination 0-D, en tout instant

t, les temps de trajet instantanés sur tous les chemins utilisés reliant n’importe quel noeud

i d’un chemin de O à D, à la destination D sont égaux au temps de trajet instantané

minimum de i à O. Autrement dit, l’hypothèse sous-jacente à ces modèles est que chaque

usager choisi le chemin qui en n’importe quel instant a un temps de trajet instantané

minimum. Comme l’ont mentionné Priesz et al. [45], le concept d’équilibre instantané de l’utilisateur ne conduit pas à un vrai équilibre (dans le sens où il s’agit d’un point fixe d’un processus dynamique) mais représente le comportement d’usagers qui recherchent les meilleurs choix possibles au cours d’une journée étant donné les informations courantes qu’ils ont sur le réseau. Friesz et al. [45] ont appellé le principe d’équilibre instantané de l’utilisateur un “équilibre du trafic de Boston”. En effet, il s’applique à des situations comparables à celles de cette ville où d’une part les capacités des arcs (et donc les fonc­

tions de temps de trajet des arcs) ainsi que la demande en transport varient fortement de jours en jours et où une bonne information sur le trafic est disponible pour tout le réseau.

Toutefois, bien que la définition d’un équilibre instantané du trafic conduit à une formu­

lation élégante du problème d’affectation dynamique d'EU sous forme d’un problème de contrôle optimal, notamment dans le cas où on ne considère pas le choix d’heure de départ (Priesz et al. [45]), elle semble acceptable uniquement dans les situations où tous les usa­

gers reçoivent et suivent une guidance en temps réel. Dans le cas contraire, il est facile de trouver des situations où le chemin de temps de trajet minimum pour un départ en un certain instant n’est pas forcément le chemin reliant O k D le plus court en n’importe quel instant.

Cette constatation a conduit à une nouvelle définition du temps de trajet d’un chemin.

Plus précisément, le temps de trajet réel d’un chemin reliant O k D pour un départ de O

en l’instant t est égal à la somme des temps de trajet des arcs évalués en les instants en

lesquels les usagers montent sur les arcs du chemin. Dans ce cas, une affectation dynamique

du trafic est dans une situation à’ équilibre réel si pour chaque paire origine-destination,

pour chaque choix de chemin et d’heure de départ utilisé, le temps de trajet réel de tous

les usagers ayant fait ce choix est égal au temps de trajet minimum réel de la paire. Cette

définition semble être une généralisation plus appropriée des conditions d’équilibre de

l’utilisateur statique (Friesz et al. [45]). En effet, dans la plupart des milieux urbains, les

capacités des arcs (et donc les temps de trajet) et la demande en transport sont stables de

jour en jour. Par conséquent, les usagers étudient le meilleur choix à travers l’exploration

journalière. Lorsque ce processus d’apprentissage s’est produit suffisamment longtemps,

nous pouvons supposer que le trafic atteindra une situation d’équilibre réel de l’utilisateur

c’est-à-dire, une situation où les usagers ayant les mêmes caractéristiques de voyage (même

origine, même destination) ne peuvent plus modifier unilatéralement leur choix de chemin

et/ou d’heure de départ de façon à minimiser leur temps de trajet. Dans le cas général, les

usagers peuvent choisir des heures de départ différentes et voyager sur différentes routes,

ce qui engendrent des charges d’arc et des niveaux de congestion dépendant du temps

mais tous les usagers ayant les mêmes caractéristiques de voyage auront le même temps de trajet réel. Notons que les définitions du temps de trajet réel ou instantané d’un chemin ont également conduit à deux définitions de l’optimum social . Nous proposerons par la suite une revue de la littérature plus détaillée des modèles résultant de la généralisation dans un contexte dynamique des conditions d’affectation de Wardrop pour un équilibre de l’utilisateur. En ce qui concerne la littérature traitant de l’optimum social, un survol est donné dans la thèse de Peeta [98].

Les modèles dynamiques d’affectation du trafic déterminant un EU ou un OS peuvent être classés en différents groupes selon le type de formulation mathématique utilisée. Pour le problème d’OS", deux types de formulation peuvent être considérées: la première est basée sur le contrôle optimal, la seconde sur la programmation mathématique. Pour le problème d'EU nous distinguons trois classes: formulation sous forme de problème de contrôle optimal, de problème de programmation mathématique, de problème d’inégalité variationnelle. Notons que dans un récent article, Priesz et al. [45] donnent une théorie unifiée de ces trois groupes de modèles en s’appuyant sur la théorie des systèmes dyna­

miques. Dans ce cas, un équilibre de l’utilisateur est considéré comme un point fixe vers lequel converge le processus d’ajustement des choix de chemin et d’heure de départ des usagers (c/. par exemple, Drissi-Kaitouni et Gendreau [36]).

La plupart des modèles d'EU et d’O^ proposés sont résolus par des méthodes ana­

lytiques. Ces dernières décrivent par des relations mathématique les choix des usagers et la propagation du trafic dans les réseaux de transport : utilisation de fonction de per­

formance d’arc ou de fonction de sortie d’arc pour calculer la performance du réseau.

Certaines approches peuvent toutefois être qualifiées d’hybrides, dans le sens où les in­

teractions entre les véhicules sont décrites en utilisant un simulateur de trafic de façon à pouvoir prendre en considération les changements d’itinéraires des usagers en cours de route mais la détermination des choix de chemin et d’heure de départ se fait de façon à at­

teindre une situation {EU) ou {OS) {cf. Bernstein et al. [17] et Mahmassani et Peeta [86]).

Les approches basées sur la simulation permettent d’une part d’implanter plus facilement des stratégies de contrôle du trafic et d’autre part d’étudier l’influence des systèmes d’in­

formation embarqués. Toutefois, d’un point de vue théorique, aucun résultat concernant

l’existence et l’unicité des solutions ou la convergence des algorithmes ne peuvent être

obtenus avec de telles méthodes alors que les méthodes analytiques le permettent.

2.2.4 Modèles dynamiques d’équilibre de l’utilisateur compre­

nant les choix de chemin et d’heure de départ

Avant de décrire les différents modèles dynamique d’équilibre de l’utilisateur comprenant les choix de chemin et d’heure de départ proposés dans la littérature, remarquons que les choix des heures de départ des usagers sont fortement influencés par les préférences relatives à l’heure d’arrivée désirée à destination (c/. Fargier [38]). D’où l’intégration, dans certains modèles, d’un terme de pénalité sur les arrivées à destination dans la fonction de coût optimisée par les usagers. Nous parlerons alors de fonction de désagrément. Celle-ci peut revêtir différentes formes. En effet, elle pénalise toujours une arrivée en retard mais peut inclure une pénalité associée soit à une arrivée en avance (Bernstein et al. [18], Priesz et al. [45], Wie et al. [136], Janson [65]) soit à un départ hâtif (Gendreau et Bouzaiene- Ayari [49]) ou encore un départ tardif (Ran et al. [101, 102, 104]). De plus, Ran et al.

[101, 102] ont introduit un bonus pour une arrivée à l’avance. Dans le cas de pénalités portant exclusivement sur l’heure d’arrivée, la connaissance du nombre d’usagers ayant la même paire origine-destination et la même heure d’arrivée désirée à destination suffit à la détermination de la demande en transport alors que dans les autres, la connaissance d’une heure de départ désirée est également nécessaire. Si ces différentes formulations de la fonction de désagrément mettent l’accent sur l’importance de l’heure d’arrivée à destination, seule la première modélisation laisse une totale liberté quant à l’heure de départ. Ceci semble mieux correspondre à la réalité vu que l’heure de départ présente une grande variabilité et que son choix est souvent plus flexible que le choix d’itinéraire (Jou et Mahmassani [71]).

Les modèles que nous allons maintenant décrire peuvent être formulés soit en termes de temps de trajet sur les arcs soit en termes de désagrément sur les chemins. Une modélisation par rapport aux arcs possède un avantage par rapport à une modélisation en termes de chemin car elle ne présuppose pas l’énumération de tous les chemins entre chaque paire origine-destination. Par contre, cela conduit à considérer des modèles où les choix simultanés de chemin et d’heure de départ sont basés sur l’optimisation de critères différents : le désagrément pour le choix d’heure de départ et le temps de trajet pour le choix de chemin. Dans les modèles basés sur les chemins, un seul critère de choix, en l’occurence le désagrément, est employé.

Le premier modèle analytique de choix simultané de route et d’heure de départ fut

développé par Mahmassani et Herman [84]. Ils ont utilisé un modèle de flux du trafic

pour obtenir les conditions d’équilibre de l’utilisateur comprenant le choix de route et