EXAMEN D’ETAT CONGO BRAZZAVILLE : B. E. P. C. 2006, Epreuve de Mathématiques PDF Gracieusement mis à disposition
AMID CONGO// Site internet : www.amidcongo.org // E-mail : [email protected] 1. Simplifions les expressions =
𝑀 =25 𝑋 2−3 𝑋 (26)−1
8 𝑋 24 =25 𝑋 2−3 𝑋 2−6 23 𝑋 24 =
=25 𝑋 2−3 𝑋 (26)−2
8 𝑋 24 =25 𝑋 2−3 𝑋 2−6 23 𝑋 24
=25−3−6 23+4 =2−4
27 = 2−4 𝑋 2−7= 2−4−7= 2−11
𝑀 = 1
211 𝑜𝑢 𝑀 = 2−11
𝑁 = 3−4 𝑋 83
(−2)6 𝑋 37 = 83 𝑋 (23)3 (−2)6 𝑋 37
(−2)6= (−2)𝑋(−2)𝑋(−2)𝑋(−2)𝑋(−2)𝑋(−2) = 26
𝑁 =3−4 𝑋 26
66𝑋37 = 3−4 𝑋 3−7= 26
𝑁 = 1
211 𝑜𝑢 𝑁 = 2−11
2. a) Calculons S= - A + B – C
S = −(2𝑥2+ 5𝑥 + 1) + (−5𝑥2− 8𝑥 + 9) − (4𝑥2− 𝑥 − 7) = −2𝑥2− 5𝑥 − 1 − 5𝑥 − 8𝑥 + 9 − 4𝑥2+ 𝑥 + 7
𝑆 = −11𝑥2− 12𝑥 + 15
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AMID CONGO// Site internet : www.amidcongo.org // E-mail : [email protected] b) Calculons P = A X B
P = −(2𝑥2+ 5𝑥 + 1)𝑋(−5𝑥2− 8𝑥 + 9)
= −10𝑥4− 16𝑥3+ 18𝑥2− 25𝑥3− 40𝑥2+ 45𝑥 − 5𝑥2− 8𝑥 + 9
𝑃 = 10𝑥4− 41𝑥3− 27𝑥2+ 37𝑥 + 9
3. Traçons un vecteur 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗
a).
A B
b). 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ =5
2𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗
C D A B
c). 𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ =1
2𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗
A B F E
4. Trouvons les deux nombres {𝑥 − 𝑦 = 45
𝑥 = 5𝑦 + 5 Calculons 𝑦 𝑥(−1) {𝑥 − 𝑦 = 45
𝑥 − 5𝑦 = 5⟹ {−𝑥 + 𝑦 = −45 𝑥 − 5𝑦 = 5
−4𝑦 = −40 ⟹ 4𝑦 = 40
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AMID CONGO// Site internet : www.amidcongo.org // E-mail : [email protected] 𝑦 = 10
Calculons 𝑥 𝑥(−5) {𝑥 − 𝑦 = 45
𝑥 − 5𝑦 = 5⟹ {−5𝑥 + 5𝑦 = −225 𝑥 − 5𝑦 = 5
−4𝑥 = −220 ⟹ 4𝑥 = 220 𝑥 =220
4 𝑥 = 55
5. A = (𝑥 − 8)2− 16𝑥2 a) Factorisons A
𝑎2− 𝑏2= (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏) 𝐴 = [(𝑥 − 8) − 4𝑥][(𝑥 − 8 + 4𝑥]
= (𝑥 − 8 − 4𝑥)(𝑥 − 8 + 4𝑥) = (−3𝑥 − 8)(5𝑥 − 8) = −(3𝑥 + 8)(5𝑥 − 8)
b) Résolvons dans ℝ, 𝐴 ≤ 0 ⟺ (𝑥 − 8)2− 16𝑥2≤ 0 ⟺
−(3𝑥 + 8)(5𝑥 − 8) ≤ 0 (−3𝑥 − 8)(5𝑥 − 8) ≤ 0
−3𝑥 − 8 = 0 5𝑥 − 8 = 0
−3𝑥 = 0 5𝑥 = 8
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AMID CONGO// Site internet : www.amidcongo.org // E-mail : [email protected] 3𝑥 = −8 5𝑥 = 8
𝑥 = −8 3𝑥 =8
5
𝑥 −∞ −8
3 8
5 +
∞
−3𝑥 − 8 + − −
5𝑥 − 8 − − +
𝐴 − + -
𝑆 = ]−8 ; −8 3] 𝑈 [8
5 ; +∞[
6. 𝐴 (1
2; 2) 𝐵 (−35; 5)
A’ image de A par l’homothétie de center B et de rapport 3 ⟹ 𝐵𝐴′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐴′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑥𝐴′−𝑥𝐵
𝑦𝐴′−𝑦𝐵) ⟹ (𝑥 − (−3 4) 𝑦 − 5 )
𝐵𝐴′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑥 +3 4 𝑦 − 5)
𝐵𝐴 (𝑥𝐴−𝑥𝐵
𝑦𝐴−𝑦𝐵) ⟹ 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ( 1 2 − (−
3 4) 𝑦 − 5 )
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ( 1 2 +
3
2 − 54) ⟹ 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ( 5
−34 )
𝐵𝐴′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑥 +5 4
𝑦 − 5) = 3 ( 5 4
−3) ⟹ 1. 𝑥 +3
4= 3 𝑋 5
4
𝑥 +3 4=15
4
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4 4 4 4
𝑥 = 3
𝑦 − 5 = 3 𝑋 (−3) 𝑦 − 5 = −9 𝑦 = −9 + 5 𝑦 = −4
𝐴′ = (3 ; −4)
PROBLEME
𝐴 = (−7; 3) 𝐵 = (1; 7) 𝐶 = (4; 1) 1. a) Plaçons les points dans le repère b) Traçons le triangle
B
A
1 C -7 1 4
2. a) Calculons les distances 𝑑(𝐴; 𝐵) = √(𝑥𝐴−𝑥𝐵)2+ (𝑦𝐴−𝑦𝐵)2 = √[(1 − (−7)2+ (7 − 3)2
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AMID CONGO// Site internet : www.amidcongo.org // E-mail : [email protected] = √(1 + 7)2+ (7 − 3)2
= √(8)2+ (4)2 = √64 + 16 = √80
𝑑(𝐴; 𝐶) = √(𝑥𝐶−𝑥𝐴)2+ (1 − 3)2
= √[4 − (−7)]2+ (1 − 3)2 = √(4 + 7)2+ (1 − 3)2 = √(11)2+ (−2)2 = √121 + 4 = √125
𝑑(𝐴; 𝐶) = √125
𝑑(𝐵; 𝐶 = √(𝑥𝐶−𝑥𝐵)2+ (𝑦𝐶−𝑦𝐵)2
= √(4 − 1)2+ (1 − 7)2 = √(3)2+ (−6)2 = √9 + 36 = √45
𝑑(𝐵; 𝐶) = √45
b) Montrons que le triangle A, B, C est rectangle en B.
𝐴𝐶2= (√125)2= 125 𝐴𝐵2= (√80)2= 80
𝐵𝐶2= (√45)2= 45 ⟺ 𝐴𝐵2+ 𝐵𝐶2 = 80 + 45 = 125 𝐴𝐵2+ 𝐵𝐶2= 125
Nous remarquons que 𝐴𝐶2= 𝐴𝐵2 ⟹ le triangle A, B, C est rectangle en B.
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AMID CONGO// Site internet : www.amidcongo.org // E-mail : [email protected] 𝑥𝐼=𝑥𝐴+ 𝑥𝐵+ 𝑥𝐶
3 =−7 + 1 + 4
3 𝑥𝐼= −2 3 𝑦𝐼=𝑦𝐴+ 𝑦𝐵+ 𝑦𝐶
3 =3 + 7 + 1
3 ⟹ 𝑦𝐼=11 3 𝐼 = (−2
3;11 3)
Déterminons la mesure du rayon de ce cercle 𝑑(𝐼; 𝐶) = √(𝑥𝐶−𝑥𝐼)2
= √[4 − (−2
3)]2+ (1 −11
3)2
= √(4 +2
3)2+ (3−11
3 )2= √(12+2
3 )2+ (3−11
3 )2
= √(14
3)2+ (−8
3)2= √260
9
𝑑(𝐼; 𝐶) = √260 9
Trouvons une équation de la droite (AC)
(𝑥 − 𝑥𝐴)(𝑦𝐶−𝑦𝐴) + (𝑥 − 𝑥𝐴)(𝑦 − 𝑦𝐴) = 0 [𝑥 − (— 7)](1 − 3) − [4 − (— 7)](𝑦 − 3) = 0 (𝑥 + 7)(1 − 3) − (4 + 7)(𝑦 − 3) =0
−2(𝑥 + 7) − 11(𝑦 − 3) = 0 ⟹ −2𝑥 − 14 − 11𝑦 + 33 = 0
−2𝑥 + 11𝑦 = 14 − 33 − 2𝑥 − 11𝑦 = −19 2𝑥 + 11𝑦 = 19 ⟹ 11𝑦 = −2𝑥 + 19 𝑦 = − 2
11𝑥 +19 11
Si le point Dest l’intersection de l’axe des coordonnées, cela signifie que.
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AMID CONGO// Site internet : www.amidcongo.org // E-mail : [email protected] 𝑥𝐷= 0 ⟹ Puisque 𝑦 = −2
11𝑥 +19
11 , on n’a donc : 𝑦𝐷= − 2
11(0) +19
11⟹ 𝑦𝐷= −19 11 𝐷 = (0;19
11)
