Corrigé Mathématiques BEPC Rouge 2013

EXAMEN D’ETAT CONGO BRAZZAVILLE : B. E. P. C. 2013, Epreuve de Mathématiques PDF Gracieusement mis à disposition

AMID CONGO // Site internet : www.amidcongo.org // E-mail : info@amidcongo.org SOLUTION BEPC ROUGE 2013

I. EXERCICES 1 Exercice 1 :

a) Je montre que B est un entier relatif 𝐵 =^√3+2

√3−2+^√3−2

√3+2

𝐵 =(√3+2)(√3+2)+(√3−2)(√3−2) (√3−2)(√3+2)

𝐵 =^[(√3)

2+2√3+2√3+4]+[(√3)²−2√3−2√3+4]

(√3)²+2√3−2√3−4

𝐵 =3+4√3+4+3−4√3+4

3+2√3−2√3−4 ⟹ 𝐵 =^3+4+4+3+4

3−4

𝐵 = ¹⁴

−1= −14

𝐵 = −14 Est un entier naturel

b) Je détermine un encadrement du réel 𝑟 = 1 − 4√3 à 10⁻³ pres sachant que 1,732 <

√3 < 1,733.

Encadrement de 4√3 4(1,732) < 4√3 < 4(1,733)

6,928 < 4√3 < 6,932

Encadrement de −4√3

6,928 < −4√3 < 6,932

Encadrement de 7 − 4√3

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AMID CONGO // Site internet : www.amidcongo.org // E-mail : info@amidcongo.org 7 − 6,928 < 7 − 4√3 < 7 − 6,932

0,068 < 7 − 4√3 < 0,072

0,068 < 𝑟 < 0,072

Exercice 2 : A (-2 ; -1)

Je détermine une équation cartésienne de la droite (D) passant par le point A et de vecteur directeur𝑈⃗⃗ (³₂)

1^ère Méthode 𝑥 − 𝑥_𝐴

𝑎 =𝑦 − 𝑦_𝐴

𝑏 𝑎𝑣𝑒𝑐(𝑎 ≠ 0 𝑒𝑡 𝑏 ≠ 0) 𝑥 − (−2)

3 =𝑦 − (−1)

2 ⟹𝑥 + 2

3 =𝑦 + 1 2 2(𝑥 + 2) = 3(𝑦 + 1)

2𝑥 + 4 = 3𝑦 + 3 ⟹ 2𝑥 + 4 − 3 = 0

2𝑥 − 3𝑦 + 1 = 0 est une equation cartesienne ou (𝐷): −2𝑥 + 3𝑦 − 1 = 0

2^ème Méthode

𝑏(𝑥 − 𝑥_𝐴) − 𝑎(𝑦 − 𝑦_𝐴) = 0

2(𝑥 + 2) − 3(𝑦 + 1) = 0

2𝑥 + 4 − 3𝑦 − 3 = 0

(𝐷): 2𝑥 − 3𝑦 + 1 = 0 𝑜𝑢 (𝐷): −2𝑥 + 3𝑦 − 1 = 0

Exercice 4 : A (-2 ; -1)

Je résous dansℝ, l’inequation ^𝑥+7

3𝑥−1≥ 0

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AMID CONGO // Site internet : www.amidcongo.org // E-mail : info@amidcongo.org 𝑥+7

3𝑥−1 n’est pas si 3𝑥 − 1 = 0 3𝑥 − 1 = 0 ⟹ 3𝑥 = 1

𝑥 =¹

3 alors E=ℝ − {¹

3} Je pose 𝑥 + 7 = 0 𝑥 = −7

𝑥

𝑥 + 7 − + +

3𝑥 − 1 − − +

𝑥 + 7 3𝑥 − 1

+ − +

𝑆 = ]−∞; −7] 𝑈 ]1

3; +∞[

Exercice 4 : A (-2 ; -1)

Je calcule le nombre de pièce de chaque sorte. Soient 𝑥 le nombre de piece de 50 francs et 𝑦 celui de 100 francs.

{−50𝑥 − 50𝑦 = −1300 50𝑥 + 100𝑦 = 1650 50𝑦 = 350

𝑦 =350

50 ⟹ 𝑦 = 7

Je multiplie (1) par -100 pour éliminer y

{−100𝑥 − 100𝑦 = −2600 50𝑥 + 100𝑦 = 1650 𝑥 =⁹⁵⁰

50 = 19

Il y a 19 pièces de 50 francs et 7 pièces de 100 francs.

−∞ −7 1 +∞

3

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AMID CONGO // Site internet : www.amidcongo.org // E-mail : info@amidcongo.org Exercice 5 : Annulé

Exercice 6 :

Notes 6 8 10 12 14 16 N

Effectifs 2 6 5 8 4 3 28

a) Je détermine l’effectif total des élèves de cette classe N = 2 + 6 + 5 +8 +4 +3 = 28 élèves

b) Je représente cette série statistique par un diagramme en bâton

9 8 7 6 5 4 3 2 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

II. PROBLEME

Notes Effectifs

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AMID CONGO // Site internet : www.amidcongo.org // E-mail : info@amidcongo.org A (- 1; 2) B (2; 3); C (1; 0)

1. a) Je place ces points dans le repère 6

5 4 3

2 1

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 -1

-2 -3 -4 -5

b) Je calcule les distances AB et BC 𝑑(𝐴, 𝐵) = √(𝑥_𝐵− 𝑥_𝐴)²+ (𝑦_𝐵− 𝑦_𝐴)²

𝑑(𝐴, 𝐵) = √(2 + 1)²+ (3 − 2)²

𝑑(𝐴, 𝐵) = √(3)²+(1)²= √9 + 1

𝑑(𝐴, 𝐵) = √10 A

B

C

E

D

𝑗

. .

. .

.

.

𝑦

𝑥

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AMID CONGO // Site internet : www.amidcongo.org // E-mail : info@amidcongo.org 𝑑(𝐵, 𝐶) = √(𝑥_𝐶 − 𝑥_𝐵)²+ (𝑦_𝐶− 𝑦_𝐵)²

𝑑(𝐵, 𝐶) = √(1 + 2)²+ (0 − 3)²

𝑑(𝐵, 𝐶) = √(−1)²+ (−3)²= √9 + 1

𝑑(𝐵, 𝐶) = √10

2. a) Je calcule les coordonnées du point D tel que 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗

𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗

(²⁺¹₃₋₂) = (^1−𝑥_0−𝑦^𝐷

𝐷)

(³₁) = (^1−𝑥_−𝑦^𝐷

𝐷)

{2 = −𝑥_𝐷

1 = −𝑦_𝐷 ⟹ {𝑥_𝐷= −2 𝑦_𝐷= −1

b) Je démontre que le quadrilatère ABCD est un losange.

𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ (Parallélogramme) 𝑑(𝐴, 𝐵) = 𝑑(𝐵, 𝑐) = 𝑑(𝐷, 𝐶)

Conclusion : ABCD est un parallélogramme.

3. a) Je calcule les coordonnées du point I milieu de [BC]

{

𝑥_𝐼=𝑥_𝐵+ 𝑥_𝐶 2 𝑦_𝐼 =𝑦𝐵+ 𝑦𝐶

2

⟹ {

𝑥_𝐼=2 + 1 2 𝑦_𝐼=3 + 0

2

⟹ { 𝑥_𝐼 =3

2 𝑦_𝐼 =3 2

D’où 𝐼 (³

2;³

2) 𝑜𝑢 𝐼(1,5 ; 1 ; 5)

b) Je détermine les coordonnées du point E

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AMID CONGO // Site internet : www.amidcongo.org // E-mail : info@amidcongo.org E = S(A) signifie que 𝐴𝐼⃗⃗⃗⃗ = 𝐼𝐸⃗⃗⃗⃗

(𝑥_𝐼− 𝑥_𝐴

𝑦_𝐼− 𝑦_𝐴) = (𝑥_𝐸− 𝑥_𝐼 𝑦_𝐸− 𝑦_𝐼)

( 3 2 + 1 3 2 − 2

) ( 𝑥_𝐸−3

2 𝑦_𝐸−3 2

)

( 5 2

−1 2

) = ( 𝑥_𝐸−3

2 𝑦𝐸−3 2

)

{ 5

2= 𝑥_𝐸−3 2

−1

2= 𝑦_𝐸−3 2

⟹ { 5 2+3

2= 𝑥_𝐸

−1 2+3

2= 𝑦_𝐸

{𝑥_𝐸 = 4

𝑦_𝐸 = 1 d’où E (4 ; 1)

4. a) Je calcule les composantes scalaires des vecteurs 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗

𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ (^𝑥_𝑦^{𝐶−𝑥𝐷}

𝐶−𝑦_𝐷) 𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ (^𝑥_𝑦^{𝐸−𝑥𝐶}

𝐸−𝑦_𝐶) 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ (¹⁺²₀₊₁) 𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ (⁴⁻¹₁₋₀) 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ (³₁) 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ (³₁)

5. a) Je calcule les composantes scalaires des vecteurs 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ sont colineaires si 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ (³₁)_𝑦^𝑥𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ (³₁)_𝑦′^𝑥′

𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ sont colinéaires si 𝑥𝑦^′− 𝑥^′𝑦 = 0

𝑥𝑦^′− 𝑥^′𝑦 = (3)(3) − (3)(1) 𝑥𝑦^′− 𝑥^′𝑦 = 3 − 3

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AMID CONGO // Site internet : www.amidcongo.org // E-mail : info@amidcongo.org 𝑥𝑦^′− 𝑥^′𝑦 = 0 d’où

Les vecteurs 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ sont colinéaires