Corrigé Mathématiques BEPC Rouge 2005

(1)

EXAMEN D’ETAT CONGO BRAZZAVILLE : B. E. P. C. 2005, Epreuve de Mathématique PDF Gracieusement mis à disposition

AMID CONGO // Site internet : www.amidcongo.org // E-mail : info@amidcongo.org SOLUTION BEPC ROUGE 2005

Exercice 1 :

3^𝑥= 9^𝑥+1 ⟺ 3^𝑥 = (3. 3)^𝑥+1

3^𝑥= 3^2(𝑥+1) ⟹ 𝑥 = 2(𝑥 + 1) ⟹ 𝑥 = 2𝑥 + 2 ⟹ 𝑥 = −2

Exercice 2 :

a) Exprimons 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ dans la base (𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ) relation de Chasles 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ⟹ −𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ⟹ 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ Ou 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗

b) La composante de 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ dans cette base : 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ (−1

1 )

Exercice 3 :

sin 𝑥 = cos 𝑦 𝑒𝑡 𝑥 = 𝑦

Comme 𝑥 = cos 𝑦, les angles 𝑥 𝑒𝑡 𝑦 sont complementaires : Ainsi 𝑥 + 𝑦 = 90°⟹ {𝑥 + 𝑦 = 90°

𝑥 = 2𝑦 ⟹ { 𝑥 + 𝑦 = 90°

𝑥 = 2𝑦

⟹ 𝑥 = 60° 𝑒𝑡 𝑦 = 30°=𝜋

3 𝑒𝑡 𝑦 =𝜋

6 ⟹ 𝑥 =𝜋

3 𝑒𝑡 𝑦 =𝜋 6

Exercice 4 :

Caractéristique des membres 𝑎 = 79,436 a pour caractéristique 1 (la partie entière à 2 chiffres et on applique la formule :

𝑎 − 1. Ainsi, 𝑛 = 2, 𝑛 − 1 = 2 = 1)

(2)

AMID CONGO // Site internet : www.amidcongo.org // E-mail : info@amidcongo.org 𝑏 = 0,000403 a pour caractéristiques −4 (on appliquons la formule – (𝑛 + 1) ; 𝑛 est le nombre de zéros après la virgule.

Exercice 5 : a) 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ (^𝑥_𝑦^𝐵^{− 𝑥}^𝐴

𝐵− 𝑦_𝐴) ⟹ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ (⁵⁻²₆₋₃) ⟹ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ (³₃) ⟹ 𝑥1= 3 ; 𝑦₁= 3 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ (^𝑥_𝑦^𝐵^{− 𝑥}^𝐴

𝐶− 𝑦_𝐵) ⟹ 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ (^𝑥−5₁₋₆) ⟹ 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ (^𝑥−5_{− 5})

⟹ 𝑥₂= 𝑥 − 5 ; 𝑦₂ = −5 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ sont colinéaires si

𝑥₁. 𝑦₂− 𝑥₂. 𝑦₁ = 0 ⇔ (3). (−5) − (𝑥 − 5). (3) = 0

−15 − 3𝑥 + 15 = 0 ⇔ −3𝑥 = 0 ⟹ 𝑥 = 0 𝐶(0,1)

b) Calculons les coordonnées du point G : (𝐺𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗

𝐺𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑥_𝐴− 𝑥_𝐺

𝑦_𝐴− 𝑦_𝐺) ⟹ 𝐺𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ (2 − 𝑥_𝐺 6 − 𝑦_𝐺) 𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑥_𝐵− 𝑥_𝐺

𝑦_𝐵− 𝑦_𝐺) ⟹ 𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ (0 − 𝑥_𝐺 1 − 𝑦_𝐺) 𝐺𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ ⟺

(2 − 𝑥_𝐺

3 − 𝑦_𝐺) + (5 − 𝑥_𝐺

6 − 𝑦_𝐺) + (0 − 𝑥_𝐺

1 − 𝑦_𝐺) = 0 ⟺

(2 − 𝑥_𝐺) + (5 − 𝑥_𝐺) + (0 − 𝑥_𝐺) = 0 2 − 𝑥_𝐺+ 5 − 𝑥_𝐺+ 0 − 𝑥_𝐺 = 0

−3𝑥_𝐺+ 7 = 0 ⟹ −3𝑥_𝐺= −7 ⟹ 3𝑥_𝐺 = 7 ⟹ 𝑥_𝐺 =7

3⟹ (3 − 𝑦_𝐺) + (6 − 𝑦_𝐺) + (1 − 𝑦_𝐺) + (1 − 𝑦_𝐺) = 0

−3𝑦_𝐺+ 10 = 0 ⟹ 𝑦_𝐺 = −10 ⟹ 𝑦_𝐺 = 10

(3)

AMID CONGO // Site internet : www.amidcongo.org // E-mail : info@amidcongo.org 𝑦_𝐺 =¹⁰

3 ⟹ 𝐺 (⁷

3 ;¹⁰

3)

Exercice 6 :

Déterminons l’image du carré par la translation du vecteur 𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗ ⟹ 𝐴𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗

Ainsi : 𝐵𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝑂^′ ⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐶𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝑂^′ ⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐷𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝑂^′ ⃗⃗⃗⃗⃗

A B

A’ B’

D C

D’ C’

II. PROBLEME

(4)

AMID CONGO // Site internet : www.amidcongo.org // E-mail : info@amidcongo.org D : 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 1

1. Déterminons le coefficient directeur de 𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 1 ⟹

0 = 2𝑎 + 1 ⟹ 2𝑎 = −1 𝑎 = −1

2

La variation de 𝑓

𝑎 est negatif (𝑎 < 0) la fonction est décroissante.

2. Représente graphiquement 𝑦 = −¹

2𝑥 ≥ 1 Considérons l’équation 𝑦 = −¹

2𝑥 + 1

𝑥 0 2 𝑦 1 0

B (3 ; 3)

C (-3 ; -3)

𝑦 = −1 2≥ 1

(5)

AMID CONGO // Site internet : www.amidcongo.org // E-mail : info@amidcongo.org Pour B on a :

3 +1

2. 3 ≥ 1 ⟹ 3 +1

2≥ 1 ⟹6 + 3

2 ≥ 1 ⟹ 4,5≥ 1 (vrai)

Pour C on a :

−3 +1

2. (−3) ≥ 1 ⟹

−3 +3

2≥ 1 ⟺−6 − 3

2 ≥ 1 ⟹ −9

2≥ 1 ⟹

−4,5 ≥ 1 (Faux)

C’est la partie contenant le point B qui est solution de l’équation.

Hachurons la partie qui n’est pas solution.

Montrons que (∆) de l’inéquation 𝑦 −¹

2+ 1 est partie de la solution E de l’inéquation : cela a déjà fait ci-dessus : la partie de la droite (∆) contenant la point B(3 ;3) est solution de l’inéquation.

3. Trouvons l’abscisse 𝑥 du point B d’ordonnée −2 par 𝑓.

𝑓(𝑥) = −1

2𝑥 + 1 ⟺ −2 = −1

2𝑥 + 1 ⟺ 𝐵(6 ; −2)

4. Montrons que le point M (2 ; 2) appartient au centre (C) de diamètre [AB].

A (2 ; 0) B (6 ; -2) M (2 ; -2) Calculons la distance AB : d (AB) = √(𝑥_𝐵− 𝑥_𝐴)²+ (𝑦_𝐵− 𝑦_𝐴)² = √(6 − 2)²+ (−2 − 0)² = √(4)²+ (−2 − 0)² Calculons la distance MB

D (M, B) = √(𝑥_𝐵− 𝑥_𝑀)²+ (𝑦_𝐵− 𝑦_𝑀)²

(6)

AMID CONGO // Site internet : www.amidcongo.org // E-mail : info@amidcongo.org = √(6 − 2²+ (−2))²= √16

D (M, B) = √16

√20 > √16 ⟹ 𝑑(𝐴𝐵) > 𝑑(𝑀𝐵) Le point M appartient au cercle C

B

A

(C)