EXAMEN D’ETAT CONGO BRAZZAVILLE : B. E. P. C. 2007, Epreuve de Mathématiques PDF Gracieusement mis à disposition
AMID CONGO // Site internet : www.amidcongo.org // E-mail : [email protected] SOLUTION BEPC ROUGE 2007
I. EXERCICES Exercice 1 : 𝑎2− 𝑏2= 12121
𝑎2− 𝑏2= (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏) = 12121 ⟹ 𝑎 + 𝑏 =12121
𝑎 − 𝑏 =12121
23 = 527 ⟹ 𝑎 + 𝑏 = 527
{𝑎 + 𝑏 = 527 𝑎 + 𝑏 = 23
2𝑎= 550 ⟹ 𝑎 =550 2 ⟹ 𝑎 = 275
Considérons l’équation :
𝑎 + 𝑏 = 527 ⟺ 275 + 𝑏 = 527 ⟹ 𝑏 = 527 − 275 𝑏 = 252
Exercice 2 :
C
A B
La somme de tout les angles d’un triangle est égale à 180° : 180 – 73 = 107° , comme nous avons un triangle isocèle, deux angle 𝐴𝐵𝐶̂ 𝑒𝑡 𝐵𝐴𝐶̂ sont egaux.
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AMID CONGO // Site internet : www.amidcongo.org // E-mail : [email protected] Exercice 3 :
a)
M (D)
0 M’
(D’)
M’’
b) Le nom de cette transformation est la symétrie orthogonale. La caractéristique de cette transformation est la suivante : toute symétrie orthogonale conserve la
distance.
Exercice 4 : a)
Notes 𝑥𝑖 3 4 6 11 13 14 17
Effectifs 𝑛𝑖 1 1 2 6 1 3 2
Tableau des données = série statistique = tableau des effectifs.
b) diagramme en bâton
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AMID CONGO // Site internet : www.amidcongo.org // E-mail : [email protected] Effectif s𝑛𝑖
6
5
4
3
2
1
0 Note 𝑥𝑖
c) Déterminons la moyenne de la série
Notes 𝑥𝑖 3 4 6 11 13 14 17 Total
Effectifs 𝑛𝑖 1 1 2 6 1 3 2 16
𝑥𝑖𝑛𝑖 3 4 12 66 13 42 34 174
Calculons la moyenne de la série
𝑥 =Σ 𝑥𝑖𝑛𝑖
Σ 𝑛𝑖 =Σ 𝑥𝑖𝑛𝑖
𝑁 =176 16 𝑥 = 10,8
La moyenne de la série est donc 10,8.
Exercice 5 :
a) Donnons l’écriture scientifique de C 𝐶 =3; 5 𝑋 10−11 𝑋 2 𝑋 10−11 𝑋 106
0,2 𝑋 10−9 =3,5 𝑋 2 𝑋 10−11 𝑋 106 0,2 𝑋 10−9 𝐶 =3,5 𝑋 2 𝑋 10−11 𝑋 106 𝑋 10+9
0,2
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AMID CONGO // Site internet : www.amidcongo.org // E-mail : [email protected] 𝐶 = 3,5. 106
b) Mettons Q sous forme irréductible
𝑄 = 2 −3 4 −
6 5 7
10 − 3 2 −
5 4
=
(20 𝑋 2) − (5 𝑋 3) − (4 𝑋 6) 20
(2 𝑋 7) − (10 𝑋 3) − (5 𝑋 5) 20
𝑄 =40 − 15 − 24 14 − 30 − 25= 1
−41
𝑄 = − 1 41
Exercice 6 :
A (-4 ; -2) ; B (-1 ; 2) ; C (3 ; -1) a) Calculons les distances 𝑑(𝐴, 𝐵) = √(𝑥𝐵−𝑥𝐴)2+ (𝑦𝐵−𝑦𝐴)2
= √[−1 − (−4)]2+ [2 − (−2)]2
= √(−1 + 4)]2+ (2 + 2)2= √(3)2+ (4)2= √25 𝑑(𝐴, 𝐵) = 5
𝑑(𝐵, 𝐶) = √(𝑥𝐵−𝑥𝐴)2+ (𝑦𝐵−𝑦𝐴)2
= √[3 − (−1)]2+ (−1 − 2)2
= √(4)2+ 9 = √25
𝑑(𝐵, 𝐶) = 5
𝑑(𝐴, 𝐶) = √(𝑥𝐵−𝑥𝐴)2+ (𝑦𝐵−𝑦𝐴)2
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= √[3 − (−4)]2+ (−1 − (−2)]2
= √(3 + 4)2+ (−1 + 2)2 = √(7)2+ (1)2= √50
𝑑(𝐴, 𝐶) = 5√2
b)
B
C A
𝑑(𝐴𝐵) = 𝑑(𝐴𝐶) ⟹le triangle ABC est isocèle de sommet principal B. Montrons que ABC est un triangle rectangle.
𝐴𝐶2 = 𝐴𝐵2+ 𝐵𝐶2 𝐴𝐶2 = (√51)2 = 50
𝐴𝐶2 = (√25)2 = 25 𝐴𝐵2+ 𝐵𝐶2= 52 + 52
𝐴𝐶2 = (√25)2 = 25 𝐴𝐵2+ 𝐵𝐶2= 50
Nous voyons bien que 𝐴𝐶2= 𝐴𝐵2+⟹ le triangle ABC est rectangle en B.
Conclusion : ABC est un triangle rectangle isocèle.
II. PROBLEME
𝑓(𝑥) = 3(𝑥 − 1)2− 𝑥2+ 1 − (𝑥 − 1)(𝑥 + 2)
1. Ecrivons 𝑓(𝑥) sous forme d’un produit de facteur du premier degré.
𝑓(𝑥) = 3(𝑥 − 1)2− 𝑥2+ 1 − (𝑥 − 1)(𝑥 + 2)
= 3(𝑥 − 1)2− (𝑥2− 1) − (𝑥 − 1)(𝑥 + 2)
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AMID CONGO // Site internet : www.amidcongo.org // E-mail : [email protected] = 3(𝑥 − 1)(−1) − (𝑥 − 1)(𝑥 + 1) − (𝑥 − 1)(𝑥 + 2)
= (𝑥 − 1)[3(𝑥 − 1) − (𝑥 + 1) − (𝑥 + 2)]
= (𝑥 − 1)(3𝑥 − 3 − 𝑥 − 1 − 𝑥 − 2) = (𝑥 − 1)(3𝑥 − 3 − 𝑥 − 1 − 𝑥 − 2) 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)(𝑥 − 6)
2. Mettons 𝑓(𝑥) sous forme 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)(𝑥 − 6) = 𝑥2− 6𝑥 − 𝑥 + 6 𝑓(𝑥) = 𝑥2− 7𝑥 + 6
3. 𝑞(𝑥) =9𝑥2−12𝑥+4
9𝑥2−4
a) déterminons le domaine définition de 𝑞(𝑥).
9𝑥2− 4 ≠ 0
(3𝑥 − 2)(3𝑥 + 2) ≠ 0 3𝑥 − 2 ≠ 0 ⟹ 𝑥 ≠ −2
3 3𝑥 + 2 ≠ 0 ⟹ 𝑥 ≠ −2 3 𝔇𝑞(𝑥) = ℝ − {−2
3;2 3}
b) Factorisons 𝑞(𝑥)et simplifions 𝑞(𝑥) = (3𝑥 − 2)2
(3𝑥 − 2)(3 + 2)⟹ 𝑞(𝑥) = 3𝑥 − 2 (3 + 2)
c) Déterminons les réels 𝑥 tels que 𝑞(𝑥) = 0 et 𝑞(𝑥) = 1
* 𝑞(𝑥) = 0 ⟺
3𝑥 − 2 = 0 ⟹ 𝑥 =2
3
* 𝑞(𝑥) = 0 ⟺
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AMID CONGO // Site internet : www.amidcongo.org // E-mail : [email protected] 3𝑥−2
3𝑥+2= 1 ⟹ 3𝑥 − 2 = 3𝑥 + 2 3𝑥 − 3𝑥 = 2 + 2 ⟹ 0𝑥 = 4 𝑥 =4
0 Impossible
L’équation 𝑞(𝑥) = 1 n’a pas de solution.
4. a) 𝑓1(𝑥) = 3𝑥 − 2 𝑒𝑡 𝑓2(𝑥) = 3𝑥 + 2
Les fonctions𝑓1𝑒𝑡 𝑓2 sont de la forme 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏. Ici, nous remarquons que 𝑎1= 𝑎2 = 3. Droite 𝑑1= 𝑑2 sont parallèles.
b) 𝑓1(𝑥) = 3𝑥 − 2 ⟺ 𝑦 = 3𝑥 − 2
𝑥 0 2
3= 0,6 𝑦 − 2 0
𝑓1(𝑥) = 3𝑥 + 2 ⟺ 𝑦 = 3 + 2
𝑥 0 − 2
3= −0,6
𝑦 − 2 0 𝑓2(𝑥) 𝑓1(𝑥)
2
-2
