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Corrigé Mathématiques BEPC Rouge 2007

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Academic year: 2022

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EXAMEN D’ETAT CONGO BRAZZAVILLE : B. E. P. C. 2007, Epreuve de Mathématiques PDF Gracieusement mis à disposition

AMID CONGO // Site internet : www.amidcongo.org // E-mail : info@amidcongo.org SOLUTION BEPC ROUGE 2007

I. EXERCICES Exercice 1 : 𝑎2− 𝑏2= 12121

𝑎2− 𝑏2= (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏) = 12121 ⟹ 𝑎 + 𝑏 =12121

𝑎 − 𝑏 =12121

23 = 527 ⟹ 𝑎 + 𝑏 = 527

{𝑎 + 𝑏 = 527 𝑎 + 𝑏 = 23

2𝑎= 550 ⟹ 𝑎 =550 2 ⟹ 𝑎 = 275

Considérons l’équation :

𝑎 + 𝑏 = 527 ⟺ 275 + 𝑏 = 527 ⟹ 𝑏 = 527 − 275 𝑏 = 252

Exercice 2 :

C

A B

La somme de tout les angles d’un triangle est égale à 180° : 180 – 73 = 107° , comme nous avons un triangle isocèle, deux angle 𝐴𝐵𝐶̂ 𝑒𝑡 𝐵𝐴𝐶̂ sont egaux.

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AMID CONGO // Site internet : www.amidcongo.org // E-mail : info@amidcongo.org Exercice 3 :

a)

M (D)

0 M’

(D’)

M’’

b) Le nom de cette transformation est la symétrie orthogonale. La caractéristique de cette transformation est la suivante : toute symétrie orthogonale conserve la

distance.

Exercice 4 : a)

Notes 𝑥𝑖 3 4 6 11 13 14 17

Effectifs 𝑛𝑖 1 1 2 6 1 3 2

Tableau des données = série statistique = tableau des effectifs.

b) diagramme en bâton

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AMID CONGO // Site internet : www.amidcongo.org // E-mail : info@amidcongo.org Effectif s𝑛𝑖

6

5

4

3

2

1

0 Note 𝑥𝑖

c) Déterminons la moyenne de la série

Notes 𝑥𝑖 3 4 6 11 13 14 17 Total

Effectifs 𝑛𝑖 1 1 2 6 1 3 2 16

𝑥𝑖𝑛𝑖 3 4 12 66 13 42 34 174

Calculons la moyenne de la série

𝑥 =Σ 𝑥𝑖𝑛𝑖

Σ 𝑛𝑖 =Σ 𝑥𝑖𝑛𝑖

𝑁 =176 16 𝑥 = 10,8

La moyenne de la série est donc 10,8.

Exercice 5 :

a) Donnons l’écriture scientifique de C 𝐶 =3; 5 𝑋 10−11 𝑋 2 𝑋 10−11 𝑋 106

0,2 𝑋 10−9 =3,5 𝑋 2 𝑋 10−11 𝑋 106 0,2 𝑋 10−9 𝐶 =3,5 𝑋 2 𝑋 10−11 𝑋 106 𝑋 10+9

0,2

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AMID CONGO // Site internet : www.amidcongo.org // E-mail : info@amidcongo.org 𝐶 = 3,5. 106

b) Mettons Q sous forme irréductible

𝑄 = 2 −3 4 −

6 5 7

10 − 3 2 −

5 4

=

(20 𝑋 2) − (5 𝑋 3) − (4 𝑋 6) 20

(2 𝑋 7) − (10 𝑋 3) − (5 𝑋 5) 20

𝑄 =40 − 15 − 24 14 − 30 − 25= 1

−41

𝑄 = − 1 41

Exercice 6 :

A (-4 ; -2) ; B (-1 ; 2) ; C (3 ; -1) a) Calculons les distances 𝑑(𝐴, 𝐵) = √(𝑥𝐵−𝑥𝐴)2+ (𝑦𝐵−𝑦𝐴)2

= √[−1 − (−4)]2+ [2 − (−2)]2

= √(−1 + 4)]2+ (2 + 2)2= √(3)2+ (4)2= √25 𝑑(𝐴, 𝐵) = 5

𝑑(𝐵, 𝐶) = √(𝑥𝐵−𝑥𝐴)2+ (𝑦𝐵−𝑦𝐴)2

= √[3 − (−1)]2+ (−1 − 2)2

= √(4)2+ 9 = √25

𝑑(𝐵, 𝐶) = 5

𝑑(𝐴, 𝐶) = √(𝑥𝐵−𝑥𝐴)2+ (𝑦𝐵−𝑦𝐴)2

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= √[3 − (−4)]2+ (−1 − (−2)]2

= √(3 + 4)2+ (−1 + 2)2 = √(7)2+ (1)2= √50

𝑑(𝐴, 𝐶) = 5√2

b)

B

C A

𝑑(𝐴𝐵) = 𝑑(𝐴𝐶) ⟹le triangle ABC est isocèle de sommet principal B. Montrons que ABC est un triangle rectangle.

𝐴𝐶2 = 𝐴𝐵2+ 𝐵𝐶2 𝐴𝐶2 = (√51)2 = 50

𝐴𝐶2 = (√25)2 = 25 𝐴𝐵2+ 𝐵𝐶2= 52 + 52

𝐴𝐶2 = (√25)2 = 25 𝐴𝐵2+ 𝐵𝐶2= 50

Nous voyons bien que 𝐴𝐶2= 𝐴𝐵2+⟹ le triangle ABC est rectangle en B.

Conclusion : ABC est un triangle rectangle isocèle.

II. PROBLEME

𝑓(𝑥) = 3(𝑥 − 1)2− 𝑥2+ 1 − (𝑥 − 1)(𝑥 + 2)

1. Ecrivons 𝑓(𝑥) sous forme d’un produit de facteur du premier degré.

𝑓(𝑥) = 3(𝑥 − 1)2− 𝑥2+ 1 − (𝑥 − 1)(𝑥 + 2)

= 3(𝑥 − 1)2− (𝑥2− 1) − (𝑥 − 1)(𝑥 + 2)

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AMID CONGO // Site internet : www.amidcongo.org // E-mail : info@amidcongo.org = 3(𝑥 − 1)(−1) − (𝑥 − 1)(𝑥 + 1) − (𝑥 − 1)(𝑥 + 2)

= (𝑥 − 1)[3(𝑥 − 1) − (𝑥 + 1) − (𝑥 + 2)]

= (𝑥 − 1)(3𝑥 − 3 − 𝑥 − 1 − 𝑥 − 2) = (𝑥 − 1)(3𝑥 − 3 − 𝑥 − 1 − 𝑥 − 2) 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)(𝑥 − 6)

2. Mettons 𝑓(𝑥) sous forme 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)(𝑥 − 6) = 𝑥2− 6𝑥 − 𝑥 + 6 𝑓(𝑥) = 𝑥2− 7𝑥 + 6

3. 𝑞(𝑥) =9𝑥2−12𝑥+4

9𝑥2−4

a) déterminons le domaine définition de 𝑞(𝑥).

9𝑥2− 4 ≠ 0

(3𝑥 − 2)(3𝑥 + 2) ≠ 0 3𝑥 − 2 ≠ 0 ⟹ 𝑥 ≠ −2

3 3𝑥 + 2 ≠ 0 ⟹ 𝑥 ≠ −2 3 𝔇𝑞(𝑥) = ℝ − {−2

3;2 3}

b) Factorisons 𝑞(𝑥)et simplifions 𝑞(𝑥) = (3𝑥 − 2)2

(3𝑥 − 2)(3 + 2)⟹ 𝑞(𝑥) = 3𝑥 − 2 (3 + 2)

c) Déterminons les réels 𝑥 tels que 𝑞(𝑥) = 0 et 𝑞(𝑥) = 1

* 𝑞(𝑥) = 0 ⟺

3𝑥 − 2 = 0 ⟹ 𝑥 =2

3

* 𝑞(𝑥) = 0 ⟺

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AMID CONGO // Site internet : www.amidcongo.org // E-mail : info@amidcongo.org 3𝑥−2

3𝑥+2= 1 ⟹ 3𝑥 − 2 = 3𝑥 + 2 3𝑥 − 3𝑥 = 2 + 2 ⟹ 0𝑥 = 4 𝑥 =4

0 Impossible

L’équation 𝑞(𝑥) = 1 n’a pas de solution.

4. a) 𝑓1(𝑥) = 3𝑥 − 2 𝑒𝑡 𝑓2(𝑥) = 3𝑥 + 2

Les fonctions𝑓1𝑒𝑡 𝑓2 sont de la forme 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏. Ici, nous remarquons que 𝑎1= 𝑎2 = 3. Droite 𝑑1= 𝑑2 sont parallèles.

b) 𝑓1(𝑥) = 3𝑥 − 2 ⟺ 𝑦 = 3𝑥 − 2

𝑥 0 2

3= 0,6 𝑦 − 2 0

𝑓1(𝑥) = 3𝑥 + 2 ⟺ 𝑦 = 3 + 2

𝑥 0 − 2

3= −0,6

𝑦 − 2 0 𝑓2(𝑥) 𝑓1(𝑥)

2

-2

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