EXAMEN D’ETAT CONGO BRAZZAVILLE : B. E. P. C. 2009, Epreuve de Mathématiques PDF Gracieusement mis à disposition
AMID CONGO // Site internet : www.amidcongo.org // E-mail : info@amidcongo.org SOLUTION BEPC ROUGE C2009
EXERCICES Exercice 1 :
𝑎2− 𝑏2= 12121
𝑎2− 𝑏2= (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏) = 12121 ⟹ 𝑎 + 𝑏 =12121
𝑎 − 𝑏 =12121
23 = 527 ⟹ 𝑎 + 𝑏 = 527
Nous avons un système d’équations suivant : {𝑎 + 𝑏 = 527
𝑎 − 𝑏 = 23
2𝑎= 550 ⟹ 𝑎 =550 2 ⟹ 𝑎 = 275
Considérons l’équation :
𝑎 + 𝑏 = 527 ⟺ 275 + 𝑏 = 527 ⟹ 𝑏 =527 275 𝑏 = 252
Exercice 2 :
21 ; 20 ; 25 ; 26 ; 21 ; 20 ; 22 ; 21 ; 24 ; 24 ; 22 ; 26 ; 24 ; 27 ; 24
21 -20 -25 -26 -22 -24 -27 3 2 1 2 2 4 1 a) Tableau des effectifs
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Effectifs 𝑛𝑖 2 3 2 4 1 2 1
𝑡° 𝑥𝑖 20 21 22 24 25 26 27
b) Calculons d la température moyenne
Température Effectifs
𝑥𝑖 𝑛𝑖 𝑛𝑖𝑥𝑖
20 2 40
21 3 63
22 2 44
24 4 96
25 1 25
26 2 52
27 1 27
Σ 15 347
𝑁 = ∑ 𝑛𝑖
Σ Somme de, total
∑ 𝑛𝑖 = 15 ∑ 𝑛𝑖𝑥𝑖 = 347
𝑥̅ =∑ 𝑛𝑖.𝑥𝑖
𝑁 =347
15 = 23,13°
La température moyenne est : 23,13°C.
c) Traçons le diagramme en bâton de cette série.
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AMID CONGO // Site internet : www.amidcongo.org // E-mail : info@amidcongo.org Effectifs𝑛𝑖
4 3 2 1
20 21 22 24 25 26 27 notes𝑥𝑖
Diagramme en bâton des effectifs
Exercice 3 : Calcul du réel y
A (3 ; 1) B (1 ; 2) C (5 ; y) (AB) et (A, B) perpendiculaire
⟹ 𝑥1.𝑦2− 𝑥1.𝑦2≠ 0 Calculons la valeur y 𝑥1.𝑦2− 𝑥1.𝑦2= 0 (−2)(𝑦 − 1) − 2(1) = 0
−2𝑦 + 2 − 2 = 0
−2𝑦 = 0 ⟹ 𝑦 = 0
(A, B) et (A, C) perpendiculaire si 𝑦 = 0 ⟹ 𝐶 (5, 0)
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AMID CONGO // Site internet : www.amidcongo.org // E-mail : info@amidcongo.org Exercice 4 :
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑓(1) = 5 𝑓(2) = 7 𝑓(1) = 5 ⟹ 𝑎 + 𝑏 = −5
𝑓(2) = 7 ⟹ 2𝑎 + 𝑏 = 7
Nous avons un système d’équation :{𝑎 + 𝑏 = 5 2𝑎 + 𝑏 = 7 {𝑎 + 𝑏 = 5
2𝑎 + 𝑏 = 7⟹−𝑎 − 𝑏 = −5 2𝑎 + 𝑏 = 7 𝑎 = 2
Considérons l’équation 𝑎 + 𝑏 = 5 ⟹ 2 + 𝑏 = 5 ⟹ 𝑏 = 5 − 2 ⟹ 𝑏 = 3
𝑎 = 2 𝑒𝑡 𝑏 = 3
Exercice 5 :
BC = 12,5 ; AC =7,5 ; AB = 10
A
10 cm 7, 5 cm
B C 12, 5 cm H
Montrons que ce triangle est rectangle en 𝐴 ⟺ 𝐴𝐵2+ 𝐴𝐶2 = 𝐵𝐶2 𝐴𝐵2= (10)2= 100
𝐴𝐶2 = (7, 5)2= 56,25 𝐵𝐶2= (12,52= 156,25
𝐴𝐵2+ 𝐴𝐶2 = 100 + 56,25 = 156,25 On remarque :𝐴𝐵2+ 𝐴𝐶2= 𝐵𝐶2
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AMID CONGO // Site internet : www.amidcongo.org // E-mail : info@amidcongo.org Le triangle ABC est rectangle en A.
Calculons les longueurs AH ; BH ; CH 𝐴𝐵2= 𝐵𝐻 𝑋 𝐵𝐶 ⟹ 𝐵𝐻 =𝐴𝐵2
𝐵𝐶 𝐵𝐻 = 100
12,5= 8 𝑐𝑚
𝐴𝐶2 = 𝐶𝐻 𝑋 𝐵𝐶 ⟹ 𝐶𝐻 =𝐴𝐶2 𝐵𝐶 𝐶𝐻 =56,25
12,5 = 4,5 𝑐𝑚
𝐴𝐻 = √𝐵𝐻 𝑋 𝐻𝐶 ⟹ 𝐴𝐻 = √8 𝑋 4,5 𝐴𝐻 = √36 ⟹ 𝐴𝐻 = 6 𝑐𝑚
Ainsi, BH = 8 cm ; CH = 4,5 ; AH = 6 cm
Exercice 6 :
𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗
A B
E C D ABCE est un parallélogramme
II. PROBLEME
1. a) Ecris 𝑓(𝑥) 𝑒𝑡 𝑔(𝑥) sous la forme de 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐, c’est-à-dire developpons 𝑓(𝑥) 𝑒𝑡 𝑔(𝑥).
𝑓(𝑥) = (2𝑥 + 5)(𝑥 + 3) + (3𝑥 − 1)(2𝑥 + 5) − (2𝑥 + 5)2
= (2𝑥 + 5)(𝑥 + 3) + (3𝑥 − 1)(2𝑥 + 5) − (2𝑥 + 5)(2𝑥 + 5)
= (2𝑥2+ 6𝑥 + 5𝑥 + 15) + (6𝑥2+ 15𝑥 − 2𝑥 − 5) − (4𝑥2+ 10𝑥 + 10𝑥 + 25) =2𝑥2+ 6𝑥 + 5𝑥 + 15 + 6𝑥2+ 15𝑥 − 2𝑥 − 5 − 4𝑥2− 10𝑥 − 10𝑥 − 25
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AMID CONGO // Site internet : www.amidcongo.org // E-mail : info@amidcongo.org 𝒇(𝒙) = 𝟒𝒙𝟐− 𝟒𝒙 − 𝟏𝟓
𝑔(𝑥) = 9𝑥2− 6𝑥 + 1 − (𝑥 + 2)(𝑥 + 2)2 = 9𝑥2− 6𝑥 + 1 − (𝑥 + 2)(𝑥 + 2) = 9𝑥2− 6𝑥 + 1 − (𝑥2+ 2𝑥 + 2𝑥 + 4) = 9𝑥2− 6𝑥 + 1 − 𝑥2− 2𝑥 − 2𝑥 − 4 𝒈(𝒙) = 𝟖𝒙𝟐− 𝟏𝟎𝒙 − 𝟑
b) factorise
𝑓(𝑥) = (2𝑥 + 5)(𝑥 + 3) + (3𝑥 − 1)(2𝑥 + 5) − (2𝑥 + 5)2 = (2𝑥 + 5)[(𝑥 + 3) + (3𝑥 − 1) − (2𝑥 + 5)]
= (2𝑥 + 5)[𝑥 + 3 + 3𝑥 − 1 − 2𝑥 − 5]
𝒇(𝒙)(𝟐𝒙 + 𝟓)(𝟐𝒙 − 𝟑)
𝑔(𝑥) =9𝑥2− 6𝑥 + 1
(𝑎 − 𝑏)2 − (𝑥 + 2)
= (3𝑥 − 1)2− (𝑥 + 2)2 ⟹ 𝑎2− 𝑏2
= [(3𝑥 − 1) − (𝑥 + 2)][(3𝑥 − 1) + (𝑥 + 2)]
= (3𝑥 − 1 − 𝑥 − 2)(3𝑥 − 1 + 𝑥 + 2) 𝒈(𝒙) = (𝟐𝒙 − 𝟑)(𝟒𝒙 + 𝟏)
2. 𝑞(𝑥) = 𝑓𝑥)
𝑔(𝑥)
a. Déterminons le domaine de définition de 𝑞(𝑥) 𝑞(𝑥) = 𝑓𝑥)
𝑔(𝑥)⟹ 𝑞(𝑥) =(2𝑥 + 5)(2𝑥 − 3) (2𝑥 − 3)(4𝑥 + 1) (2𝑥 − 3)(4𝑥 + 1) ≠ 0
2𝑥 − 3 ≠ 0 ⟹ 𝑥 ≠3 2 4𝑥 + 1 ≠ 0 ⟹ 𝑥 ≠ −1
4
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AMID CONGO // Site internet : www.amidcongo.org // E-mail : info@amidcongo.org 𝒟 = ℛ − {−1
4; 3 2} b). Simplifions 𝑞(𝑥).
𝑞(𝑥) =(2𝑥 + 5)(2𝑥 − 3) (2𝑥 − 3)(4𝑥 + 1)
𝑞(𝑥) =2𝑥 + 5 4𝑥 + 1
3. 𝑞(𝑥) =2𝑥+5
4𝑥+1⟹ 𝑞(√2) =2√2+5
4√2+1
Simplifions 𝑞(√2)
=(2√2 + 5)(4√2 − 1) (4√2 + 1)(4√2 − 1)
=8√2.2 − 4√2 + 20√2 − 5 16√2.2 − 4√2 + 4√2 − 1
=16 − 2√2 + 20√2 − 5 32 − 1
𝒒(√𝟐) =𝟏𝟏 + 𝟏𝟖√𝟐 𝟐𝟏
Déterminons la valeur approchée de 𝑞(√2) 1,414 < √2 < 1,415
18 𝑋 1,414 < 18 𝑋 √2 < 18 𝑋 1,415 25,452 < √2 < 25,470
25,452 + 11 < 11 + 18√2 < 11 + 25,470
25,452 + 11
31 <11 + 18√2
31 <11 + 25,470 31 1,175 < 1,176
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AMID CONGO // Site internet : www.amidcongo.org // E-mail : info@amidcongo.org La valeur approchée par défaut à 10−3près de 𝑞(√2) est : 1, 175.
4. Représentation graphique de ℎ1(𝑥) = 2𝑥 + 5 𝑒𝑡 ℎ2(𝑥) = 4𝑥 + 1
ℎ1(𝑥)2𝑥 + 5 𝑥 0 −52
𝑦 5 0
ℎ2(𝑥)4𝑥 + 1 𝑥 0 −1
4 𝑦 1 0
−5 2= −2,5 −1 4= 0,25 Y 6 5 4 3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x
-1
-2
-3
ℎ1(𝑥) = 2𝑥 + 5 -4
-5 ℎ2(𝑥) = 4𝑥 + 1
