Corrigé Mathématiques BEPC Rouge 2009

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EXAMEN D’ETAT CONGO BRAZZAVILLE : B. E. P. C. 2009, Epreuve de Mathématiques PDF Gracieusement mis à disposition

AMID CONGO // Site internet : www.amidcongo.org // E-mail : [email protected] SOLUTION BEPC ROUGE C2009

EXERCICES Exercice 1 :

𝑎²− 𝑏²= 12121

𝑎²− 𝑏²= (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏) = 12121 ⟹ 𝑎 + 𝑏 =12121

𝑎 − 𝑏 =12121

23 = 527 ⟹ 𝑎 + 𝑏 = 527

Nous avons un système d’équations suivant : {𝑎 + 𝑏 = 527

𝑎 − 𝑏 = 23

2_𝑎= 550 ⟹ 𝑎 =550 2 ⟹ 𝑎 = 275

Considérons l’équation :

𝑎 + 𝑏 = 527 ⟺ 275 + 𝑏 = 527 ⟹ 𝑏 =527 275 𝑏 = 252

Exercice 2 :

21 ; 20 ; 25 ; 26 ; 21 ; 20 ; 22 ; 21 ; 24 ; 24 ; 22 ; 26 ; 24 ; 27 ; 24

21 -20 -25 -26 -22 -24 -27 3 2 1 2 2 4 1 a) Tableau des effectifs

(2)

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Effectifs 𝑛_𝑖 2 3 2 4 1 2 1

𝑡° 𝑥_𝑖 20 21 22 24 25 26 27

b) Calculons d la température moyenne

Température Effectifs

𝑥_𝑖 𝑛_𝑖 𝑛_𝑖𝑥_𝑖

20 2 40

21 3 63

22 2 44

24 4 96

25 1 25

26 2 52

27 1 27

Σ 15 347

𝑁 = ∑ 𝑛_𝑖

Σ Somme de, total

∑ 𝑛_𝑖 = 15 ∑ 𝑛_𝑖𝑥_𝑖 = 347

𝑥̅ =∑ 𝑛_𝑖.𝑥𝑖

𝑁 =347

15 = 23,13°

La température moyenne est : 23,13°C.

c) Traçons le diagramme en bâton de cette série.

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AMID CONGO // Site internet : www.amidcongo.org // E-mail : [email protected] Effectifs𝑛_𝑖

4 3 2 1

20 21 22 24 25 26 27 notes𝑥_𝑖

Diagramme en bâton des effectifs

Exercice 3 : Calcul du réel y

A (3 ; 1) B (1 ; 2) C (5 ; y) (AB) et (A, B) perpendiculaire

⟹ 𝑥_1.𝑦₂− 𝑥_1.𝑦₂≠ 0 Calculons la valeur y 𝑥1.𝑦2− 𝑥1.𝑦2= 0 (−2)(𝑦 − 1) − 2(1) = 0

−2𝑦 + 2 − 2 = 0

−2𝑦 = 0 ⟹ 𝑦 = 0

(A, B) et (A, C) perpendiculaire si 𝑦 = 0 ⟹ 𝐶 (5, 0)

(4)

AMID CONGO // Site internet : www.amidcongo.org // E-mail : [email protected] Exercice 4 :

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑓(1) = 5 𝑓(2) = 7 𝑓(1) = 5 ⟹ 𝑎 + 𝑏 = −5

𝑓(2) = 7 ⟹ 2𝑎 + 𝑏 = 7

Nous avons un système d’équation :{𝑎 + 𝑏 = 5 2𝑎 + 𝑏 = 7 {𝑎 + 𝑏 = 5

2𝑎 + 𝑏 = 7⟹−𝑎 − 𝑏 = −5 2𝑎 + 𝑏 = 7 𝑎 = 2

Considérons l’équation 𝑎 + 𝑏 = 5 ⟹ 2 + 𝑏 = 5 ⟹ 𝑏 = 5 − 2 ⟹ 𝑏 = 3

𝑎 = 2 𝑒𝑡 𝑏 = 3

Exercice 5 :

BC = 12,5 ; AC =7,5 ; AB = 10

A

10 cm 7, 5 cm

B C 12, 5 cm H

Montrons que ce triangle est rectangle en 𝐴 ⟺ 𝐴𝐵²+ 𝐴𝐶² = 𝐵𝐶² 𝐴𝐵²= (10)²= 100

𝐴𝐶² = (7, 5)²= 56,25 𝐵𝐶²= (12,5²= 156,25

𝐴𝐵²+ 𝐴𝐶² = 100 + 56,25 = 156,25 On remarque :𝐴𝐵²+ 𝐴𝐶²= 𝐵𝐶²

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AMID CONGO // Site internet : www.amidcongo.org // E-mail : [email protected] Le triangle ABC est rectangle en A.

Calculons les longueurs AH ; BH ; CH 𝐴𝐵²= 𝐵𝐻 𝑋 𝐵𝐶 ⟹ 𝐵𝐻 =𝐴𝐵²

𝐵𝐶 𝐵𝐻 = 100

12,5= 8 𝑐𝑚

𝐴𝐶² = 𝐶𝐻 𝑋 𝐵𝐶 ⟹ 𝐶𝐻 =𝐴𝐶² 𝐵𝐶 𝐶𝐻 =56,25

12,5 = 4,5 𝑐𝑚

𝐴𝐻 = √𝐵𝐻 𝑋 𝐻𝐶 ⟹ 𝐴𝐻 = √8 𝑋 4,5 𝐴𝐻 = √36 ⟹ 𝐴𝐻 = 6 𝑐𝑚

Ainsi, BH = 8 cm ; CH = 4,5 ; AH = 6 cm

Exercice 6 :

𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗

A B

E C D ABCE est un parallélogramme

II. PROBLEME

1. a) Ecris 𝑓(𝑥) 𝑒𝑡 𝑔(𝑥) sous la forme de 𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐, c’est-à-dire developpons 𝑓(𝑥) 𝑒𝑡 𝑔(𝑥).

𝑓(𝑥) = (2𝑥 + 5)(𝑥 + 3) + (3𝑥 − 1)(2𝑥 + 5) − (2𝑥 + 5)²

= (2𝑥 + 5)(𝑥 + 3) + (3𝑥 − 1)(2𝑥 + 5) − (2𝑥 + 5)(2𝑥 + 5)

= (2𝑥²+ 6𝑥 + 5𝑥 + 15) + (6𝑥²+ 15𝑥 − 2𝑥 − 5) − (4𝑥²+ 10𝑥 + 10𝑥 + 25) =2𝑥²+ 6𝑥 + 5𝑥 + 15 + 6𝑥²+ 15𝑥 − 2𝑥 − 5 − 4𝑥²− 10𝑥 − 10𝑥 − 25

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AMID CONGO // Site internet : www.amidcongo.org // E-mail : [email protected] 𝒇(𝒙) = 𝟒𝒙^𝟐− 𝟒𝒙 − 𝟏𝟓

𝑔(𝑥) = 9𝑥²− 6𝑥 + 1 − (𝑥 + 2)(𝑥 + 2)² = 9𝑥²− 6𝑥 + 1 − (𝑥 + 2)(𝑥 + 2) = 9𝑥²− 6𝑥 + 1 − (𝑥²+ 2𝑥 + 2𝑥 + 4) = 9𝑥²− 6𝑥 + 1 − 𝑥²− 2𝑥 − 2𝑥 − 4 𝒈(𝒙) = 𝟖𝒙^𝟐− 𝟏𝟎𝒙 − 𝟑

b) factorise

𝑓(𝑥) = (2𝑥 + 5)(𝑥 + 3) + (3𝑥 − 1)(2𝑥 + 5) − (2𝑥 + 5)² = (2𝑥 + 5)[(𝑥 + 3) + (3𝑥 − 1) − (2𝑥 + 5)]

= (2𝑥 + 5)[𝑥 + 3 + 3𝑥 − 1 − 2𝑥 − 5]

𝒇(𝒙)(𝟐𝒙 + 𝟓)(𝟐𝒙 − 𝟑)

𝑔(𝑥) =9𝑥²− 6𝑥 + 1

(𝑎 − 𝑏)² − (𝑥 + 2)

= (3𝑥 − 1)²− (𝑥 + 2)² ⟹ 𝑎²− 𝑏²

= [(3𝑥 − 1) − (𝑥 + 2)][(3𝑥 − 1) + (𝑥 + 2)]

= (3𝑥 − 1 − 𝑥 − 2)(3𝑥 − 1 + 𝑥 + 2) 𝒈(𝒙) = (𝟐𝒙 − 𝟑)(𝟒𝒙 + 𝟏)

2. 𝑞(𝑥) = ^𝑓𝑥)

𝑔(𝑥)

a. Déterminons le domaine de définition de 𝑞(𝑥) 𝑞(𝑥) = 𝑓𝑥)

𝑔(𝑥)⟹ 𝑞(𝑥) =(2𝑥 + 5)(2𝑥 − 3) (2𝑥 − 3)(4𝑥 + 1) (2𝑥 − 3)(4𝑥 + 1) ≠ 0

2𝑥 − 3 ≠ 0 ⟹ 𝑥 ≠3 2 4𝑥 + 1 ≠ 0 ⟹ 𝑥 ≠ −1

4

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AMID CONGO // Site internet : www.amidcongo.org // E-mail : [email protected] 𝒟 = ℛ − {−1

4; 3 2} b). Simplifions 𝑞(𝑥).

𝑞(𝑥) =(2𝑥 + 5)(2𝑥 − 3) (2𝑥 − 3)(4𝑥 + 1)

𝑞(𝑥) =2𝑥 + 5 4𝑥 + 1

3. 𝑞(𝑥) =^2𝑥+5

4𝑥+1⟹ 𝑞(√2) =^2√2+5

4√2+1

Simplifions 𝑞(√2)

=(2√2 + 5)(4√2 − 1) (4√2 + 1)(4√2 − 1)

=8√2.2 − 4√2 + 20√2 − 5 16√2.2 − 4√2 + 4√2 − 1

=16 − 2√2 + 20√2 − 5 32 − 1

𝒒(√𝟐) =𝟏𝟏 + 𝟏𝟖√𝟐 𝟐𝟏

Déterminons la valeur approchée de 𝑞(√2) 1,414 < √2 < 1,415

18 𝑋 1,414 < 18 𝑋 √2 < 18 𝑋 1,415 25,452 < √2 < 25,470

25,452 + 11 < 11 + 18√2 < 11 + 25,470

25,452 + 11

31 <11 + 18√2

31 <11 + 25,470 31 1,175 < 1,176

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AMID CONGO // Site internet : www.amidcongo.org // E-mail : [email protected] La valeur approchée par défaut à 10⁻³près de 𝑞(√2) est : 1, 175.

4. Représentation graphique de ℎ₁(𝑥) = 2𝑥 + 5 𝑒𝑡 ℎ₂(𝑥) = 4𝑥 + 1

ℎ1(𝑥)2𝑥 + 5 𝑥 0 −⁵₂

𝑦 5 0

ℎ₂(𝑥)4𝑥 + 1 𝑥 0 −¹

4 𝑦 1 0

−⁵ 2= −2,5 −¹ 4= 0,25 Y 6 5 4 3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x

-1

-2

-3

ℎ₁(𝑥) = 2𝑥 + 5 -4

-5 ℎ2(𝑥) = 4𝑥 + 1