Corrigé Mathématiques BEPC Rouge 2011

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EXAMEN D’ETAT CONGO BRAZZAVILLE : B. E. P. C. 2011, Epreuve de Mathématiques PDF Gracieusement mis à disposition

AMID CONGO // Site internet : www.amidcongo.org // E-mail : info@amidcongo.org SOLUTION BEPC ROUGE 2011

I. EXERCICES Exercice 1 :

𝐴 = (2𝑥 + 3)²+ (2𝑥 + 3)(5𝑥 − 7) a) Factorise A

𝐴 = (2𝑥 + 3)²+ (2𝑥 + 3)(5𝑥 − 7) = (2𝑥 + 3)[(2𝑥 + 3) + (5𝑥 − 7)]

= (2𝑥 + 3)(2𝑥 + 3 + 5𝑥 − 7) 𝐴 = (2𝑥 + 3)(7𝑥 − 4)

b) Résolvons dans ℝ (2𝑥 + 3)(7𝑥 − 4) = 0

2𝑥 + 3 7𝑥 − 4 = 0 2𝑥 = −3 7𝑥 = 4 𝑥 =⁻³

2 Ou 𝑥 =⁴

7

Exercice 2 :

a) Les points dans le repère A (4 ; 2) ; B (-3 ; 3) ; C (1 ; -1)

(2)

AMID CONGO // Site internet : www.amidcongo.org // E-mail : info@amidcongo.org 5

4 3

2 1

1 2 3 4 - - - 0

- - -

b) Calculons D tel que 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗

𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑥_𝐵− 𝑥_𝐴

𝑦_𝐵− 𝑦_𝐴) ⟹ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ (−3 − 4 +3 − 2) 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ (−7

1 )

𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑥_𝐷− 𝑥_𝐶

𝑦_𝐷− 𝑦_𝐶) ⟹ 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑥_𝐷− (−1) 𝑦_𝐷− (−)) ⟹

𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑥_𝐷− 1 𝑦_𝐷+ 1)

𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ⟺ (⁻⁷₁) = (_𝑦^𝑥^𝐷⁻¹

𝐷+1) Ou (^𝑥_𝑦^𝐷⁻¹

𝐷+1) = (⁻⁷₊₁) 𝑥_𝐷− 1 = −7 ⟹ 𝑥_𝐷 = −7 + 1 = −6 𝑥_𝐷+ 1 = 1 ⟹ 𝑦_𝐷= 1 − 1 = 0 D (-6 ; 0)

Exercice 3 :

C B

A

(3)

AMID CONGO // Site internet : www.amidcongo.org // E-mail : info@amidcongo.org 𝑟 = √6 + 4

2√3 + √2

a) Ecrivons 𝑟 sans radical au dénominateur 𝑟 = (√6−4)(2√3−√2)

(2√3+√2)(2√3−√2)

= √6.2√3−√6.√2−4.2√3+4√2 2√3.2√3−2√3+√2.2√3−√2.√2

= 2√18−√6.2−8√3+4√2 2.2√3.3−2√3.2+2√2.3−√2.2

=2√2.3.3−√2.3.2−8√3+4√2 4.√3.3−2√6+2√6−√2.2

=2√2.3−√2.3.2−8√3+4√2

4.√3.3−2√6+2√6−√2.2 =2.3√2−2√3−8√3+4√2 4.3−2

=6√2−2√3−8√3+4√2

10 =^{10√2−10√3}

10

=^{10(√2−√3)}

10 = √2 − √3 ⟹ 𝑟 = √2 − √3

b) Déterminons un encadrement de 𝑟 = √2 − √3 à 10⁻²près.

1,41 < √2 < 1,42 1,73 < √3 < 1,74

1,41 − 1,73 < √2 − √3 < 1,42 − 1,74 −0,32 < √2 − √3 < 0,32 − 0,32

Exercice 4 :

a) Calculons le périmètre du stade (L + l) x 2 P = (90m + 60m) x 2 = 150 x 2

P = 300m

(4)

AMID CONGO // Site internet : www.amidcongo.org // E-mail : info@amidcongo.org b) Calculons la vitesse moyenne de l’élève

𝑠𝑖 90 𝑚 ⟶ 180 𝑠 𝑥 ⟶ 1 𝑠 ⟹ 𝑥 =^{90𝑚 𝑋 1𝑠}

180𝑠 ⟹ 𝑥 =^0,5𝑚

𝑠

Exercice 5 : a) La figure

b)𝑚𝑒𝑠𝐴𝑂𝐵̂ > 𝑚𝑒𝑠𝐴𝐶𝐵̂

𝑚𝑒𝑠𝐴𝐶𝐵̂ = 50°(𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑚𝑜𝑛 𝑐𝑎𝑠) Car 𝑚𝑒𝑠𝐴𝐶𝐵̂ =¹

2𝑚𝑒𝑠𝐴𝑂𝐵̂

Exercice 6 :

Taille en cm 47 48 49 50 51 52

Nombre de bébé 6 11 8 7 5 3

a) Calculons la moyenne de la série

B

A C

0

(5)

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𝑥_𝑖 𝑛_𝑖 𝑥_𝑖𝑛_𝑖

47 6 282

48 11 528

49 8 392

50 7 350

51 5 255

52 3 156

Σ 40 1963

Σ Somme de total 𝑥 =Σ𝑥_𝑖𝑛_𝑖

𝑁 =1963

40 = 49,075 𝑥 = 49

b) le diagramme en bâtons

Nombre de bébé 11

10 9 8 7 6 5 4 3

0 47 48 49 50 51 52

II. PROBLEME Exercice 1 : AB = 5,4 ; BC = 9 ; AC = 7,2

a) Construisons le triangle ABC

Tailles

(6)

b) Démontrons que A, B, C est un triangle rectangle en 𝐴 ⟺ 𝐵𝐶²= 𝐴𝐵²+ 𝐴𝐶²

𝐵𝐶²= 9²= 81 𝐴𝐵²= (5, 4)²= 29,16 𝐴𝐶² = (7, 2)²= 51,84

𝐴𝐵²+ 𝐴𝐶² = 29,16 + 51,84 = 81

𝐵𝐶²= 𝐴𝐵²+ 𝐴𝐶²⟹ ABC est un triangle rectangle en A.

Exercice 2 : Calculons sin 𝐴𝐵𝐶̂

sin 𝐴𝐵𝐶̂ =𝐴𝐶 𝐵𝐶 sin 𝐴𝐵𝐶̂ =7,2 9 sin 𝐴𝐵𝐶̂ = 0,8

Exercice 3 :

Plaçons E sur la figure a) Ainsi que F

A

B C

(7)

b) Calculons AF et EF

Appliquons le théorème de Thales.

(𝐸𝐹)//(𝐵𝐶) ⟹𝐴𝐹 𝐴𝐵= 𝐴𝐸

𝐴𝐶 =𝐹𝐸 𝐵𝐶 Calculons d’abord AF 𝐴𝐹

𝐴𝐵 = 𝐴𝐸

𝐴𝐶𝐴𝐹 =𝐴𝐵 𝑋 𝐴𝐸

𝐴𝐶 ⟹

𝐴𝐹 =5,4 𝑋 2,4 7,2 ⟹ 𝐴𝐹 = 1,88

Calculons FE ou EF 𝐴𝐸

𝐴𝐶 = 𝐹𝐸 𝐵𝐶𝑜𝑢𝐹𝐸

𝐵𝐶=𝐴𝐸 𝐴𝐶 ⟹ 𝐸𝐹 =𝐵𝐶 𝑋 𝐴𝐸

𝐴𝐶 =2,4 𝑋 9 7,2 𝐹𝐸 = 3

Exercice 4 :

a) Construisons le quadrilatère ABCD A

B C

E F

(8)

b) Nature du quadrilatère ABCD

ABCD est un parallélogramme car ses diagonales se coupent en leur milieu, I etant le point d’intersession de ces diagonales.

A D

B C

E Ι