Corrigé Mathématiques BEPC Rouge 2008

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EXAMEN D’ETAT CONGO BRAZZAVILLE : B. E. P. C. 2008, Epreuve de Mathématiques PDF Gracieusement mis à disposition

AMID CONGO // Site internet : www.amidcongo.org // E-mail : [email protected] SOLUTION BEPC ROUGE 2008

I. EXERCICES Exercice 1 :

C M

A O B

D

Nous savons qu’un angle écrit dans un cercle a pour mesure la moitie de la mesure de l’angle du centre.

𝑚𝑒𝑠𝐵𝑀𝐷̂ =1

2𝑚𝑒𝑠𝐵𝑂𝐷̂ 𝑜𝑟 𝐵𝑂𝐷̂ = 90° 𝑐𝑎𝑟 [𝐴𝐵] ⊥ [𝐶𝐷]

Ainsi 𝐵𝑀𝐷̂ =¹₂. 90°⟹

𝐵𝑀𝐷̂ = 45°

Exercice 2 :

Calculons le volume du cône de révolution : 𝐵 = 𝜋. 𝑟²

𝑉 =^𝐵^𝑋^𝐻

3

𝑉 =^{3,14 𝑋 4}²^{𝑋 15}

3 H

r 𝑉 = 251,2 𝑐𝑚³

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AMID CONGO // Site internet : www.amidcongo.org // E-mail : [email protected] Exercice 3 :

Le prix initial représente 100%, la remise représente 25%. 750 Frs représentent donc 100 – 25 = 75%.

Calculons ce que représente 25%

750𝑓𝑟𝑠 → 75%

𝑥 =750 𝑋 25%

75% = 250 𝑓𝑟𝑠 25% représente 250 frs

a)Exprimons x en fonction de y 𝑥 = 𝑦 + 25% 𝑠𝑜𝑖𝑡 𝑥 = 𝑦 + 250

b) Calculons le prix du cahier avant la remise 𝑥 = 𝑦 + 250 ⟹ 𝑥 = 750 + 250

𝑥 = 1000 𝑓𝑟𝑠

Le prix initial du cahier est donc 1000 frs

Exercice 4 :

a) Mettons M sous d’une fraction irréductible.

𝑀 = √12

√9 𝑋√3⟹ √2 𝑋 2 𝑋 3

√3 𝑋 3 𝑋√3⟹

𝑀 =2√3

3√3⟹ 𝑀 =2 3

b) Calculons N 𝑁 = 4 log 0,01 − 5 log 1

10+ log 2

0,05+ log 25

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= 4 log 10⁻²− 5 log 1

10+ log 2

5. 10⁻²+ log 25

= 4 log 1

10²− 5 log 1

10+ log (2

510²) + log(5𝑋5)

= 4(− log 10²) − 5(− log 10) + log 2 − log 5 + log 10²+ log 5 + log 5

= 4(−2 log 10) − 5(−log 10) + log 2 − log 5 + log 10²+ log 5 + log 5

= −8 log 10 + 5log 10 + log 2 + 2 log 10 + log 5

= −(log 2 + log 5) + log 2 + log 5

= − log 2 − log 5 + log 2 + log 5 = 0 ⟹

𝑁 = 0

Exercice 5 :

A (3 ; -2) B (-1 ; 1)

a) Calculons les coordonnées du point C Symétrique de B par rapport à A.

⟹ 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗

C A B 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑥_𝐴− 𝑥_𝐶

𝑦𝐴− 𝑦𝐶

) ⟹ 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ( 3 − 𝑥_𝐶

−2 − 𝑦𝐶

)

𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑥_𝐵− 𝑥_𝐴

𝑦_𝐵− 𝑦_𝐴) ⟹ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ( −1 − 3

1 − (−2)) ⟹ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ( −4

1 + 2) ⟹ (−4 3 ) 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗

( 3 − 𝑥_𝐶

−2 − 𝑦_𝐶) = (−4 3 ) ⟹ 3 − 𝑥_𝐶 = −4 ⟹ 𝑥_𝐶 = 7

−2 − 𝑦_𝐶 = 3 ⟹ 𝑦_𝐶 = −5 𝐶(7; −5)

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AMID CONGO // Site internet : www.amidcongo.org // E-mail : [email protected] b) Plaçons les points dans le repère.

Y B -3 -2 B -1

1 2 3 4 5 6 7 8

-3 -2 -1 - x

--1 B

--2 A

--3 --4 --5 --6

--7 C -8

Exercice 6 :

A

B H C AB = 2 cm BC = 1, 5 cm

Calculons la valeur de cos c cos 𝑐̂ =𝑐𝑜𝑡é 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡

ℎ𝑦𝑝𝑜𝑡é𝑛𝑢𝑠𝑒 ⟹ 𝐶𝑜𝑠𝑐̂ =𝐻𝐶 𝐴𝐶 Or 𝐻𝐶 =^𝐵𝐶

2 ⟹ 𝐻𝐶 = ^1,5

2 = 0,75 𝑐𝑚 cos 𝑐̂ =𝐻𝐶

𝐴𝐶 =0,75

2 = 0,37°

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AMID CONGO // Site internet : www.amidcongo.org // E-mail : [email protected] II. PROBLEME

Notes 𝑛_𝑖 Notes Notes Notes 1 - 6 - II= 2 11 - III= 3 16 - I= 1 2 - II= 2 7 - 12 - III=3 17 - IIII=4 3 - 8 - IIIII=5 13 - IIII=4 18 - II= 2 4 - IIII=4 9 - II= 2 14 - IIII=4 19 – I = 1 5 - IIIII=5 10 - IIII=4 15 - IIII=4 20

a)Tableau des effectifs

Total

Effectifs 𝑛𝑖 2 4 4 2 5 2 4 3 3 4 4 4 1 4 2 1 50 Notes 𝑥_𝑖 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 N

Tableau des fréquences: 𝑓_𝑖 =^𝑛^𝑖

𝑁 ; 𝑁 = ∑ 𝑛_𝑖= 50

frequences 𝑓_𝑖 0,04 0,08 0,1 0,04 0,1 0,04 0,08 0,0 0,06 0,08 0,08 0,08 0,02 0,08 0,04 0,02

Effectifs 𝑛𝑖 2 4 5 2 5 2 4 3 3 4 4 4 1 4 2 1 50

Notes 𝑥_𝑖 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 N

b) Complétons le tableau en précisant les effectifs cumulés

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AMID CONGO // Site internet : www.amidcongo.org // E-mail : [email protected] Notes Effectifs Fréquences Effectifs cumulés

croissants Effectifs cumulés décroissants 𝑥_𝑖

𝑛_𝑖 𝑓_𝑖 𝑁_𝑖 ↗ 𝑁_𝑖 ↘

1

2 2 0,04 2 50

3

4 4 0,08 6 48

5 5 0,1 11 44

6 2 0,04 13 39

7

8 5 0,1 18 37

9 2 0,04 20 32

10 4 0,08 24 30

11 3 0,06 27 26

12 3 0,06 30 23

13 4 0,08 34 20

14 4 0,08 38 16

15 4 0,08 42 12

16 1 0,02 43 8

17 4 0,08 47 7

18 2 0,04 49 3

19 1 0,02 50 1

20 N = 50

Tableau des effectifs cumulés

2. Le caractère étudier ici est la note de classe. Le mode est a note obtenue par le plus grand nombre d’élève, c’est-à-dire la note dont l’effectifs 𝑛_𝑖 ou la frequence 𝑓_𝑖 est la plus grande.

Ici, 5 élèves

3. Ont obtenu la note 5 et 5 élèves ont obtenu la note 5. L’effectif 𝑛_𝑖 = est l’effectif le plus élèves de la série statistique étudier ici. Les notes 8 et 5 obtenues par le plus grand nombre d’élèves, c’est-a dire les notes 5 et 8 dont les effectifs 𝑛_𝑖 sont les plus élèves (𝑛_𝑖 = 5) s’appellent mode.

Ici, nous avons donc deux modes : les notes 8 et 5.

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AMID CONGO // Site internet : www.amidcongo.org // E-mail : [email protected] 4. Calculons la moyenne de notes du devoir

Notes Effectifs

𝑥_𝑖 𝑛_𝑖 𝑛_𝑖𝑥𝑥_𝑖

1 0

2 2 4

3 0 0

4 4 16

5 5 25

6 2 12

7 0 0

8 5 40

9 2 18

10 4 40

11 3 33

12 3 36

13 4 52

14 4 56

15 4 60

16 1 16

17 4 68

18 2 36

19 1 19

20 0

Σ N = 50 531

5. Représentons le diagramme en bâtons des effectifs

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AMID CONGO // Site internet : www.amidcongo.org // E-mail : [email protected] Effectif

5

4

3

2

1

notes

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20