Corrigé Mathématiques BEPC Rouge 2010

EXAMEN D’ETAT CONGO BRAZZAVILLE : B. E. P. C. 2010, Epreuve de Mathématique PDF Gracieusement mis à disposition

AMID CONGO // Site internet : www.amidcongo.org // E-mail : [email protected] SOLUTION BEPC ROUGE 2010

EXERCICES Exercice 1 :

a. Détermine les caractéristiques de log A et B.

*La caractéristique de log A ou log 8100 est 4 – 1 = -

*La caractéristique de log B ou log(0,0016) est –(2+1)= -3 b. Calcule de log A et B

log 10 = log 8100 8100 2

= log(2.2.3.3.3.5.5) 4050 2

= log(2². 3⁴. 5²) 2025 3

= log 2²+ log 3⁴+ log 5² 675 3

= 2 log 2 + 4 log 3 + 2 log 5 225 3

= 2 log 2 + 4 log 3 + 2 log 5 75 3

= 2(0,30103) + 4(0,47712) + 2(0,69897) 25 5 1

= 0,60206 + 1,90848 + 1,39794 log 𝐴 = 3,90848

log 𝐵 = (log 16 . 10⁻⁴) 16 2

= log 16 + log 10⁻⁴ 8 2

= log 2⁴+ log 10⁻⁴ 4 2

= 4log 2⁴+ (−4 log 10) 2 2

= 4 log 2 − 4 log 10 1

= 4(0,30103) − 4(1) = 1,20412 − 4 = −2,79588 Log 𝐵 = −2,79588

Exercice 2 : a) Figure

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B C

b) Déterminons la mesure de l’angle 𝐵𝐴𝐶̂ 𝑚𝑒𝑠𝐵𝐴𝐶̂ =¹

2𝐵𝑂𝐶̂ ⟹ 𝑚𝑒𝑠𝐵𝑂𝐶̂ = 2. 𝑚𝑒𝑠𝐵𝐴𝐶̂

= 2. 𝑚𝑒𝑠𝐵𝐴𝐶̂ = 2.80° = 160°

𝑚𝑒𝑠𝐵𝑂𝐶̂ = 160°

Exercice 3 :

a) Rappel : variation de la fonction 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 1. Si 𝛼 < 0 ⟹ 𝑓(𝑥) decroissant ou 𝑓(𝑥) ↘

2. Si 𝛼 < 0 ⟹ 𝑓(𝑥) croissant ou 𝑓(𝑥) ↗ 3. Si 𝛼 < 0 ⟹ 𝑓(𝑥) = 𝑏, 𝑓(𝑥) constant.

Dans cet exercice, nous avons deux fonctions décroissantes.

𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 5 Car 𝛼 = −2 et −2 < 0 𝑓(𝑥) = −2𝑥 − 2 Car 𝛼 = −1 et −1 < 0

b) Représentons graphiquement la fonction h.

ℎ = −𝑥 − 2 𝑥 0 − 2 𝑦 − 2 0

80°

O

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6 5

ℎ(𝑥) = −𝑥 − 2 4

3 2 𝑗⃗ 1

-6 -5 -4 -3 -2 -1 𝑖⃗ 𝑥 0 1 2 3 4 5 6

-1

-2

-3

-4

-5

-6

Exercice 4 : b) Factorise E

𝐸 = 𝑥²− 9 − (2𝑥 + 5)(𝑥 − 3)

= (𝑥 − 3)(𝑥 + 3) − (2𝑥 + 5)(𝑥 − 3) = (𝑥 − 3)[(𝑥 + 3) − (2𝑥 + 5)]

= (𝑥 − 3)(𝑥 + 3 − 2𝑥 − 5) = (𝑥 − 3)(−𝑥 − 2) 𝐸 = −(𝑥 − 3)(𝑥 + 2)

c)Résolvons dans ℝ (−𝑥 − 2)(𝑥 − 3) = 0

−𝑥 − 2 = 0 𝑥 − 3 = 0

−𝑥 = 2 𝑥 = 3

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AMID CONGO // Site internet : www.amidcongo.org // E-mail : [email protected] 𝑥 = −2

𝑆 = {−2; 3}

Exercice 5 : a) Figure

E 3 4 F G 5

3

K H b) Calculons EH et KH

Appliquons le théorème de Thales.

(𝐹𝐺)//(𝐾𝐻) ⟹𝐸𝐹 𝐸𝐾=𝐸𝐺

𝐸𝐻= 𝐹𝐺 𝐾𝐻 Calcul de EH

𝐸𝐹 𝐸𝐾= 𝐸𝐺

𝐸𝐻 ⟹ 𝐸𝐹 𝑋 𝐸𝐻 = 𝐸𝐾 𝑋 𝐸𝐺 𝐸𝐻 =^{𝐸𝐾 𝑋 𝐸𝐺}

𝐸𝐹 =^{6 𝑋 4}

3 = 8 cm

Calcule de KH 𝐸𝐹

𝐸𝐾= 𝐹𝐺

𝐾𝐻⟹ 𝐸𝐹 𝑋 𝐾𝐻 = 𝐸𝐾 𝑋 𝐹𝐺 𝐾𝐻 =^{𝐸𝐾 𝑋 𝐹𝐺}

𝐸𝐹 =^{6 𝑋 5}

3 = 10 cm 𝐸𝐻 = 8 cm 𝐾𝐻 = 10cm

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AMID CONGO // Site internet : www.amidcongo.org // E-mail : [email protected] Exercice 6 :

Dépouillement

Temps de marche Nombre de fois que ce ce temps apparait La série statistique

5 3 fois

10 8 fois

15 5 fois

20 2 fois

25 2 fois

3 fois + 8 fois + 5 fois + 2 fois = 20 fois 20 fois = 20 élèves

a) Dressons le tableau des effectifs de cette série

𝑥𝑖 Temps de marche 5 10 15 20 25 𝑛_𝑖Nombre de fois 3 8 5 2 2 b) Calculons le temps moyen de marche

∑ 𝑛_𝑖𝑥_𝑖 = 260

𝑥_𝑖 𝑛_𝑖 𝑥_𝑖. 𝑛_𝑖

5 3 15

10 8 80 15 5 75 20 2 40 25 2 50

Total 20 260

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∑ 𝑛_𝑖 = 𝑁 = 20

𝑥 =∑ 𝑛_𝑖𝑥𝑖

∑ 𝑛_𝑖 𝑜𝑢 𝑥 =∑ 𝑛_𝑖𝑥𝑖

𝑁 ⟹

𝑥 =260

20 = 13 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑒𝑠 𝑥 = 13 𝑚𝑖𝑛

II. PROBLEME 1.

𝑦 3 2 k 1

𝑗⃗ 1 2 -5 -4 -3 -2 -1 0 𝑖 𝑥 -1

-2 A

a) Nous avons placé les points dans le repère

b) Montrons que les vecteurs 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ sont orthogonaux 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (^𝑥_𝑦^{𝐵−𝑥𝐴}

𝐵−𝑦_𝐴) ⟹ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (₂₋₍₋₂₎²⁻⁰ ) ⟹ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗(₂₊₂² ) ⟹ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗(²₄)

𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑥_𝐵− 𝑥_𝐴

𝑦_𝐵− 𝑦_𝐴) ⟹ 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( −4 − 0

0 − (−2)) ⟹ 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (−4 2 ) 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (−4

2 )

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AMID CONGO // Site internet : www.amidcongo.org // E-mail : [email protected] Nous savons que deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est nui, c’est-à-dire 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑋 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0 ⟺ 𝑥_𝐴𝐵. 𝑥_𝐴𝐶+ 𝑦_𝐴𝐵. 𝑦_𝐴𝐶 = 0 ⟺ (2). (−4) + (4)(2) = −8 + 8 = 0.

Les vecteurs 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ sont orthogonaux.

2. Calculons les distances AB, AC et BC 𝑑(𝐴𝐵) = √(𝑥_𝐵− 𝑥_𝐴)²+ (𝑦_𝐵− 𝑦_𝐴)²

= √(2 − 0)²+ (2 − (−2)²

= √(2)²(2 + 2)²= √4 + 16 𝒅(𝑨𝑩) = √𝟐𝟎

𝑑(𝐴𝐶) = √(𝑥_𝐶− 𝑥_𝐴)²+ (𝑦_𝐶− 𝑦_𝐴)²

= √(−4)²+ (+2)²= √4 + 16 𝒅(𝑨𝑪) = √𝟐𝟎

𝑑(𝐵𝐶) = √(𝑥𝐶− 𝑥𝐵)²+ (𝑦𝐶− 𝑦𝐵)²

= √(−8)²+(−2)²= √64 + 4 𝒅(𝑩𝑪) = √𝟔𝟖

c) Démontrons que ABC est un triangle rectangle et isocèle.

 Le triangle ABC est rectangle en A et car A appariait deux fois (𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗).

 Le triangle ABC est isocèle et de sommet principal A car A apparaît deux fois (AB et AC).

Le triangle ABC est donc un triangle rectangle et isocèle.

3. a) Calculons les coordonnées du point K milieu du segment [𝐵𝐶].

𝑥𝐾=𝑥_𝐵− 𝑥_𝐶

2 =2 + (−4) 2 = −1

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AMID CONGO // Site internet : www.amidcongo.org // E-mail : [email protected] 𝑦_𝐾= ^{𝐵 𝐶}

2 =

2 = 1 K (-1 ; 1)

b) Calcule du rayon

K est le milieu de l’hypoténuse BC.

Le rayon calculé avec la formule.

𝑟 =¹

2𝑑(𝐵𝐶) 𝑟 =¹

22√17 ⟹ 𝑟 = √17 𝒓 = 𝟒, 𝟏𝟐

4. L’équation de la droite ∆ passant par deux points A et B (𝑥 − 𝑥_𝐴)(𝑦_𝐶− 𝑦_𝐴) − (𝑥_𝐶− 𝑥_𝐴)(𝑦 − 𝑦_𝐴) = 0

(𝑥 − 0)(0 − 2) − (−4 − 0)[𝑦 − (−2)] = 0 (𝑥)(−2) − (−4)(𝑦 + 2) = 0

−2𝑥 + 4(𝑦 + 2) = 0 −2𝑥 + 4𝑦 + 4 + 8 = 0 −𝑥 + 2𝑦 + 4 = 0 2𝑦 = 𝑥 − 4 𝑦 =²

2𝑥 −⁴₂ 𝒚 =^𝟏

𝟐𝑿 − 𝟐