EXAMEN D’ETAT CONGO BRAZZAVILLE : B. E. P. C. 2010, Epreuve de Mathématique PDF Gracieusement mis à disposition
AMID CONGO // Site internet : www.amidcongo.org // E-mail : info@amidcongo.org SOLUTION BEPC ROUGE 2010
EXERCICES Exercice 1 :
a. Détermine les caractéristiques de log A et B.
*La caractéristique de log A ou log 8100 est 4 – 1 = -
*La caractéristique de log B ou log(0,0016) est –(2+1)= -3 b. Calcule de log A et B
log 10 = log 8100 8100 2
= log(2.2.3.3.3.5.5) 4050 2
= log(22. 34. 52) 2025 3
= log 22+ log 34+ log 52 675 3
= 2 log 2 + 4 log 3 + 2 log 5 225 3
= 2 log 2 + 4 log 3 + 2 log 5 75 3
= 2(0,30103) + 4(0,47712) + 2(0,69897) 25 5 1
= 0,60206 + 1,90848 + 1,39794 log 𝐴 = 3,90848
log 𝐵 = (log 16 . 10−4) 16 2
= log 16 + log 10−4 8 2
= log 24+ log 10−4 4 2
= 4log 24+ (−4 log 10) 2 2
= 4 log 2 − 4 log 10 1
= 4(0,30103) − 4(1) = 1,20412 − 4 = −2,79588 Log 𝐵 = −2,79588
Exercice 2 : a) Figure
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B C
b) Déterminons la mesure de l’angle 𝐵𝐴𝐶̂ 𝑚𝑒𝑠𝐵𝐴𝐶̂ =1
2𝐵𝑂𝐶̂ ⟹ 𝑚𝑒𝑠𝐵𝑂𝐶̂ = 2. 𝑚𝑒𝑠𝐵𝐴𝐶̂
= 2. 𝑚𝑒𝑠𝐵𝐴𝐶̂ = 2.80° = 160°
𝑚𝑒𝑠𝐵𝑂𝐶̂ = 160°
Exercice 3 :
a) Rappel : variation de la fonction 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 1. Si 𝛼 < 0 ⟹ 𝑓(𝑥) decroissant ou 𝑓(𝑥) ↘
2. Si 𝛼 < 0 ⟹ 𝑓(𝑥) croissant ou 𝑓(𝑥) ↗ 3. Si 𝛼 < 0 ⟹ 𝑓(𝑥) = 𝑏, 𝑓(𝑥) constant.
Dans cet exercice, nous avons deux fonctions décroissantes.
𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 5 Car 𝛼 = −2 et −2 < 0 𝑓(𝑥) = −2𝑥 − 2 Car 𝛼 = −1 et −1 < 0
b) Représentons graphiquement la fonction h.
ℎ = −𝑥 − 2 𝑥 0 − 2 𝑦 − 2 0
80°
O
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AMID CONGO // Site internet : www.amidcongo.org // E-mail : info@amidcongo.org 𝑦
6 5
ℎ(𝑥) = −𝑥 − 2 4
3 2 𝑗⃗ 1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 𝑖⃗ 𝑥 0 1 2 3 4 5 6
-1
-2
-3
-4
-5
-6
Exercice 4 : b) Factorise E
𝐸 = 𝑥2− 9 − (2𝑥 + 5)(𝑥 − 3)
= (𝑥 − 3)(𝑥 + 3) − (2𝑥 + 5)(𝑥 − 3) = (𝑥 − 3)[(𝑥 + 3) − (2𝑥 + 5)]
= (𝑥 − 3)(𝑥 + 3 − 2𝑥 − 5) = (𝑥 − 3)(−𝑥 − 2) 𝐸 = −(𝑥 − 3)(𝑥 + 2)
c)Résolvons dans ℝ (−𝑥 − 2)(𝑥 − 3) = 0
−𝑥 − 2 = 0 𝑥 − 3 = 0
−𝑥 = 2 𝑥 = 3
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AMID CONGO // Site internet : www.amidcongo.org // E-mail : info@amidcongo.org 𝑥 = −2
𝑆 = {−2; 3}
Exercice 5 : a) Figure
E 3 4 F G 5
3
K H b) Calculons EH et KH
Appliquons le théorème de Thales.
(𝐹𝐺)//(𝐾𝐻) ⟹𝐸𝐹 𝐸𝐾=𝐸𝐺
𝐸𝐻= 𝐹𝐺 𝐾𝐻 Calcul de EH
𝐸𝐹 𝐸𝐾= 𝐸𝐺
𝐸𝐻 ⟹ 𝐸𝐹 𝑋 𝐸𝐻 = 𝐸𝐾 𝑋 𝐸𝐺 𝐸𝐻 =𝐸𝐾 𝑋 𝐸𝐺
𝐸𝐹 =6 𝑋 4
3 = 8 cm
Calcule de KH 𝐸𝐹
𝐸𝐾= 𝐹𝐺
𝐾𝐻⟹ 𝐸𝐹 𝑋 𝐾𝐻 = 𝐸𝐾 𝑋 𝐹𝐺 𝐾𝐻 =𝐸𝐾 𝑋 𝐹𝐺
𝐸𝐹 =6 𝑋 5
3 = 10 cm 𝐸𝐻 = 8 cm 𝐾𝐻 = 10cm
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AMID CONGO // Site internet : www.amidcongo.org // E-mail : info@amidcongo.org Exercice 6 :
Dépouillement
Temps de marche Nombre de fois que ce ce temps apparait La série statistique
5 3 fois
10 8 fois
15 5 fois
20 2 fois
25 2 fois
3 fois + 8 fois + 5 fois + 2 fois = 20 fois 20 fois = 20 élèves
a) Dressons le tableau des effectifs de cette série
𝑥𝑖 Temps de marche 5 10 15 20 25 𝑛𝑖Nombre de fois 3 8 5 2 2 b) Calculons le temps moyen de marche
∑ 𝑛𝑖𝑥𝑖 = 260
𝑥𝑖 𝑛𝑖 𝑥𝑖. 𝑛𝑖
5 3 15
10 8 80 15 5 75 20 2 40 25 2 50
Total 20 260
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∑ 𝑛𝑖 = 𝑁 = 20
𝑥 =∑ 𝑛𝑖𝑥𝑖
∑ 𝑛𝑖 𝑜𝑢 𝑥 =∑ 𝑛𝑖𝑥𝑖
𝑁 ⟹
𝑥 =260
20 = 13 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑒𝑠 𝑥 = 13 𝑚𝑖𝑛
II. PROBLEME 1.
𝑦 3 2 k 1
𝑗⃗ 1 2 -5 -4 -3 -2 -1 0 𝑖 𝑥 -1
-2 A
a) Nous avons placé les points dans le repère
b) Montrons que les vecteurs 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ sont orthogonaux 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑥𝑦𝐵−𝑥𝐴
𝐵−𝑦𝐴) ⟹ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (2−(−2)2−0 ) ⟹ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗(2+22 ) ⟹ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗(24)
𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑥𝐵− 𝑥𝐴
𝑦𝐵− 𝑦𝐴) ⟹ 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( −4 − 0
0 − (−2)) ⟹ 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (−4 2 ) 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (−4
2 )
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AMID CONGO // Site internet : www.amidcongo.org // E-mail : info@amidcongo.org Nous savons que deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est nui, c’est-à-dire 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑋 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0 ⟺ 𝑥𝐴𝐵. 𝑥𝐴𝐶+ 𝑦𝐴𝐵. 𝑦𝐴𝐶 = 0 ⟺ (2). (−4) + (4)(2) = −8 + 8 = 0.
Les vecteurs 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ sont orthogonaux.
2. Calculons les distances AB, AC et BC 𝑑(𝐴𝐵) = √(𝑥𝐵− 𝑥𝐴)2+ (𝑦𝐵− 𝑦𝐴)2
= √(2 − 0)2+ (2 − (−2)2
= √(2)2(2 + 2)2= √4 + 16 𝒅(𝑨𝑩) = √𝟐𝟎
𝑑(𝐴𝐶) = √(𝑥𝐶− 𝑥𝐴)2+ (𝑦𝐶− 𝑦𝐴)2
= √(−4)2+ (+2)2= √4 + 16 𝒅(𝑨𝑪) = √𝟐𝟎
𝑑(𝐵𝐶) = √(𝑥𝐶− 𝑥𝐵)2+ (𝑦𝐶− 𝑦𝐵)2
= √(−8)2+(−2)2= √64 + 4 𝒅(𝑩𝑪) = √𝟔𝟖
c) Démontrons que ABC est un triangle rectangle et isocèle.
Le triangle ABC est rectangle en A et car A appariait deux fois (𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗).
Le triangle ABC est isocèle et de sommet principal A car A apparaît deux fois (AB et AC).
Le triangle ABC est donc un triangle rectangle et isocèle.
3. a) Calculons les coordonnées du point K milieu du segment [𝐵𝐶].
𝑥𝐾=𝑥𝐵− 𝑥𝐶
2 =2 + (−4) 2 = −1
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AMID CONGO // Site internet : www.amidcongo.org // E-mail : info@amidcongo.org 𝑦𝐾= 𝐵 𝐶
2 =
2 = 1 K (-1 ; 1)
b) Calcule du rayon
K est le milieu de l’hypoténuse BC.
Le rayon calculé avec la formule.
𝑟 =1
2𝑑(𝐵𝐶) 𝑟 =1
22√17 ⟹ 𝑟 = √17 𝒓 = 𝟒, 𝟏𝟐
4. L’équation de la droite ∆ passant par deux points A et B (𝑥 − 𝑥𝐴)(𝑦𝐶− 𝑦𝐴) − (𝑥𝐶− 𝑥𝐴)(𝑦 − 𝑦𝐴) = 0
(𝑥 − 0)(0 − 2) − (−4 − 0)[𝑦 − (−2)] = 0 (𝑥)(−2) − (−4)(𝑦 + 2) = 0
−2𝑥 + 4(𝑦 + 2) = 0 −2𝑥 + 4𝑦 + 4 + 8 = 0 −𝑥 + 2𝑦 + 4 = 0 2𝑦 = 𝑥 − 4 𝑦 =2
2𝑥 −42 𝒚 =𝟏
𝟐𝑿 − 𝟐