aû`B2 R ûMQM+ûb ,

_öpBbBQMb R , H;Đ#`2 HBMöB`2

A ě G2 "XX"

RV .û}MBiBQMb i?ûQ`ĕK2b ,

GBbi2 MQM 2t?mbiBp2 /2b ûHûK2Mib /m +Qm`b ¨ Kŗi`Bb2` ,

ě 6Q`KmH2 /2b +Q2{+B2Mib /m T`Q/mBi /2 /2mt Ki`B+2bA= (ai,j)2iB= (bi,j)X

ě "b2 +MQMB[m2 /2Mn(K)X a1o +HbbB[m2b UKi`B+2b i`BM;mHB`2b- UMiBVbvKûi`B[m2b- /B;QMH2bXXXV , #b2b 2i /BK2M@

bBQMbX

ě h`MbTQbBiBQMX<sup>t</sup>(A·B) =<sup>t</sup>B·<sup>t</sup>A2i<sup>t</sup>(M <sup>1</sup>) = (<sup>t</sup>M) <sup>1</sup> bBM 2bi BMp2`bB#H2X ě Ji`B+2b ûHûK2MiB`2b ,Ei,jEkl= _j^kEi,lX

ě G2 T`Q/mBi /2 /2mt Ki`B+2b i`BM;mHB`2b bmTû`B2m`2b 2bi mM2 i`BM;mHB`2 bmTû`B2m`2X

ě .ûi2`KBMMi , 7Q`K2nHBMûB`2 Hi2`Mû2 bm`E/2 /BK2MbBQMnX 6Q`K2 MiBbvKûi`B[m2X aB26= 0- mM2 7Q`K2 2bi Hi2`Mû2 bbB 2HH2 2bi MiBbvKûi`B[m2X

ě ai`m+im`2 , HǶ2bT+2 p2+iQ`B2H /2b 7Q`K2bn@HBMûB`2 Hi2`Mû2 bm`E/2 /BK2MbBQMn2bi mM2 /`QBi2X

ě 6Q`KmH2 /m /ûi2`KBMMiX S`QT`Bûiûb ûHûK2MiB`2b Udet( A)-det(<sup>t</sup>A)-det(AB)-det(A <sup>1</sup>)VX *QMb2`piBQM /m /ûi2`KBMMi T` +QK#BMBbQMb HBMûB`2b /2 `M;û2bX .ûi2`KBMMi T` #HQ+bf/ûi2`KBMMi /ǶmM2 Ki`B+2 i`BM;mHB`2X

ě *Q7+i2m`X 6Q`KmH2 /ǶBMp2`bBQMX ě 6Q`KmH2b /2 +?M;2K2Mi /2 #b2bX

ě Ji`B+2b b2K#H#H2bX AMi2`T`ûiiBQM ;ûQKûi`B[m2X ě aQmb 2bT+2 bi#H2 T` mM 2M/QKQ`T?BbK2X .`QBi2 bi#H2X ě *`+iû`BbiBQM /ǶmM2 bQKK2 /B`2+i2 /2 THmbB2m`b a1oX ě SQHvMƬK2 +`+iû`BbiB[m2X *Q2{+B2Mibc<sub>n</sub>, c<sub>n 1</sub>, c<sub>0</sub>X ě h?ûQ`ĕK2 /2 *vH2v@>KBHiQMX

ě A/ûH MMmHi2m` /ǶmM2 Ki`B+2f/ǶmM 2M/QKQ`T?BbK2X 1tBbi2M+2 /m TQHvMƬK2 KBMBKHX ě oH2m` T`QT`2- 2bT+2 T`QT`2X aT2+i`2X 6Q`KmH2 /2 +?M;2K2Mi /2 #b2b /2b 2M/QKQ`T?BbK2bX ě aBf(x) = x- HQ`b(P(f))(x) =P( )·x

ě G2b `+BM2b /m TQHvMƬK2 +`+iû`BbiB[m2 bQMi 2t+i2K2Mi H2b pH2m`b T`QT`2bX JāK2 T`QT`Bûiû TQm` H2 TQHvMƬK2 KBMBKHX

ě G /BK2MbBQM /mM bQmb 2bT+2 T`QT`2 2bi KDQ`û2 T` H KmHiBTHB+Biû /2 H pH2m` T`QT`2 bbQ+Bû2X

ě AMp`BMib /Ƕ2M/QKQ`T?BbK2b Ui`+2- /ûi2`KBMMi- TQHvMƬK2 +`+iû`BbiB[m2- TQHvMƬK2 KBMBKH- pH2m`b T`QT`2b- bT2+i`2XXXV

ě JmHiBTHB+Biû H;û#`B[m2 /ǶmM2 pH2m` T`QT`2X .BK2MbBQM ;ûQKûi`B[m2 /m bQmb 2bT+2 T`QT`2 bbQ+BûX ě *La /2 i`B;QMHBbiBQMf/B;QMHBbiBQMX

ě G2KK2 /2b MQvmt1tQb ek 2i Nj **S, bBP1, . . . PrbQMi k ¨ k T`2KB2`b 2Mi`2 2mt-Ker ((Q

Pi)(f)) = KerPi(f) ě h`B;QMHBbiBQM 7Q`i2 /ǶmM2 Ki`B+2 +QKTH2t2X

AA ě .ûKQMbi`iBQMb +HbbB[m2b ¨ +QMMŗi`2 ,

ě JQMi`2` [m2 H2b b2p T`QT`2b /ǶmM 2M/QKQ`T?BbK2 bQMi 2M bQKK2 /B`2+i2X .QMM2` mM 2t2KTH2 Qɍ BHb M2 bQMi Tb bmTTHûK2MiB`2bX

ě JQMi`2` [m2 H 7KBHH2(x7!exp(↵x))_↵2R2bi HB#`2X

ě JQMi`2` [m2 bBf 2ig+QKKmi2Mi- iQmi b2p T`QT`2 /2f2bi bi#H2 T`gX

ě JQMi`2` [m2 bBP(f) = 0- iQmi2 pH2m` T`QT`2 /2f2bi `+BM2 /2PX hQmi2 `+BM2 /2P 2bi@2HH2 pH2m` T`QT`2 /2f\ ě aQBi M 2 Mn(K)X JQMi`2` [m2 HǶH;ĕ#`2 +QKKmiiBp2 K[M] 2bi /2 /BK2MbBQM }MB2 û;H2 m /2;`û /m TQHvMƬK2

KBMBKH /2MX 1M /QMM2` mM2 #b2X

ě JQMi`2` [m2 H2b Ki`B+2b [mB +QKKmi2Mi p2+ iQmi2b H2b Ki`B+2b /2Mn(R)bQMi H2b Ki`B+2b b+HB`2bX ě JQMi`2` [m2 bB8x2E,9 x, f(x) = x·x- HQ`bf 2bi mM2 ?QKQi?ûiB2 /2EX

ě CmbiB}2` HǶ2tBbi2M+2 /2exp(A)TQm` iQmi2 Ki`B+2A2Mn(C)X ě *H+mH /m /ûi2`KBMMi /2 oM/2`KQM/2X

ě *H+mH /m /ûi2`KBMMi /ǶmM2 Ki`B+2 +QKT;M2X

ě *H+mH2` H2 TQHvMƬK2 +`+iû`BbiB[m2 2i H2 TQHvMƬK2 KBMBKH /ǶmM2 T`QD2+iBQM TmBb /ǶmM2 bvKûi`B2X

ě PM bmTTQb2 [m2 A2bi b+BM/ûX 1tT`BK2`Tr(A)2idet(A)/ǶmM2 Ki`B+2A2M 7QM+iBQM /2b pH2m`b T`QT`2b /2AX

R

AAA ě Jûi?Q/2b ,

• .ûKQMi`2` [mǶmM2 Ki`B+2 2bi /B;QMHBb#H2 SQm` /ûKQMi`2` [mǶmM2 Ki`B+2A2bi /B;QMHBb#H2- QM T2mi ,

RX +H+mH2` H2 TQHvMƬK2 +`+iû`BbiB[m2 A 2i ¨ H2 7+iQ`Bb2` TQm` /ûi2`KBM2` H2b pH2m`b T`QT`2b /2AX aB A MǶ2bi Tb b+BM/û- AMǶ2bi Tb /B;QMHBb#H2X aB A 2bi b+BM/û ¨ `+BM2b bBKTH2b-A2bi /B;QMHBb#H2X aB A 2bi b+BM/û bMb āi`2 ¨ `+BM2b bBKTH2b- TQm` +?[m2 pH2m` T`QT`2- QM +?2`+?2 mM2 #b2 /2 HǶ2bT+2 T`QT`2 bbQ+Bû 2i QM ûim/B2 bB H /BK2MbBQM /2 +2i 2bT+2 T`QT`2 pmi H KmHiBTHB+Biû /2 H `+BM2X

kX /Mb H2 +b Qɍ H Ki`B+2 mM T2iBi `M; UmM Qm /2mtV- QM T2mi 2bbv2` /2 /ûi2`KBM2` /B`2+i2K2Mi mM Qm /2mt p2+i2m`b T`QT`2b BM/ûT2M/Mib 2M ûim/BMi H 7Q`K2 /2 H Ki`B+2X 1t2KTH2 , H Ki`B+2J[mB MǶ2bi +QKTQbû2 [m2 /2 R 2bi /2 `M; R- /QM+02bi pH2m` T`QT`2 /2 KmHiBTHB+Biû(n 1)2i T` i`+2-n2bi pH2m` T`QT`2 /2 KmHiBTHB+Biû RX .QM+J2bi /B;QMHBb#H2 2i J=X^{n 1}(X 1)X

jX miBHBb2` H2 7Bi [m2A2bi /B;QMHBb#H2 bB 2i b2mH2K2Mi bBAMMmH2 mM TQHvMƬK2 b+BM/û ¨ `+BM2b bBKTH2bX 9X miBHBb2` H2 i?ûQ`ĕK2 bT2+i`H UKi`B+2 bvKûi`B[m2 `û2HH2V

• SQm` /B;QMHBb2` 2z2+iBp2K2Mi mM2 Ki`B+2A,

RX QM +?2`+?2 b2b pH2m`b T`QT`2b T` 2t2KTH2 2M +H+mHMi H2 TQHvMƬK2 +`+iû`BbiB[m2 c kX TQm` +?[m2 pH2m` T`QT`2- QM +?2`+?2 mM2 #b2 /2 HǶ2bT+2 T`QT`2 bbQ+Bû c

jX QM HQ`bA=P DP <sup>1</sup>QɍP 2bi H Ki`B+2 /QMi H2b +QHQMM2b bQMi +QMbiBimû2b T` H `ûmMBQM /2b #b2b /2b 2bT+2b T`QT`2b 2i H Ki`B+2D2bi H Ki`B+2 /B;QMH2 /QMi H2b +Q2{+B2Mib bQMi H2b pH2m`b T`QT`2b /2A- û+`Bi2b /Mb H2 KāK2 Q`/`2 [m2 H2b p2+i2m`b +QHQMM2b /2PX

• SQm` i`B;QMHBb2` mM2 Ki`B+2A,

RX QM +?2`+?2 H2b pH2m`b T`QT`2b 2M +H+mHMi H2 TQHvMƬK2 +`+iû`BbiB[m2 /2A kX TQm` +?[m2 pH2m` T`QT`2- QM +?2`+?2 mM2 #b2 /2 p2+i2m`b T`QT`2b bbQ+Bûb

jX bB HǶûMQM+û /QMM2 H 7Q`K2 /ǶmM2 Ki`B+2 i`BM;mHB`2 ¨ H[m2HH2 A /QBi āi`2 b2K#H#H2- QM +?2`+?2 mM p2+i2m`

pû`B}Mi H /2`MBĕ`2 +QM/BiBQM

9X bBMQM- bB QM 2bi 2M /BK2MbBQM j 2i [m2 HǶQM /ûD¨ Q#i2Mm /2mt p2+i2m`b- QM +QKTHĕi2 H 7KBHH2 Q#i2Mm2 T` MǶBKTQ`i2 [m2H p2+i2m` BM/ûT2M/Mi /2b /2mt T`2KB2`bX

8X _2pQB` mbbB H Kûi?Q/2 T` MQvmt Biû`ûb U2t2`+B+2b XXX 2i XXX /m +?TBi`2 /2 `û/m+iBQMVX

• SQm` /ûi2`KBM2` mM2 `+BM2 +``û2- +m#B[m2-n@BĕK2 /ǶmM2 Ki`B+2- 2tTQM2MiB2HH2 /ǶmM2 Ki`B+2X RX .B;QMHBb2`A-A=P DP ¹

kX *?2`+?2` mM2 `+BM2 +``û2 /2D2M +QMbB/û`Mi H Ki`B+2E/B;QMH2 /QMi H2b +Q2{+B2Mib bm` H /B;QMH2 bQMi H2b `+BM2b +``û2b /2b +Q2{+B2Mib /2D

jX SQb2`B=P EP <sup>1</sup> [mB pû`B}2 #B2MB²=AX

• SQm` /ûKQMi`2` [mǶmM 2M/QKQ`T?BbK2v2L(E)pû`B}2 +2`iBM2b T`QT`Bûiûb `2HiBp2b ¨ HǶ2M/QKQ`T?BbK2 /B;QMHBb#H2 u- QM T2mi pû`B}2` [m2vpû`B}2 +2ii2 T`QT`Bûiû bm` +?[m2 bQmb@2bT+2 T`QT`2 /2u- TmBb miBHBb2` [m2E 2bi bQKK2 /B`2+i2 /2b bQmb@2bT+2b T`QT`2b /2 uU2t2KTH2 , H2b 2M/QKQ`T?BbK2b v[mB +QKKmi2Mi p2+ ubQMi 2t+i2K2Mi H2b 2M/QKQ`T?BbK2bv[mB HBbb2Mi bi#H2 H2b bQmb 2bT+2b T`QT`2b /2uXV

• *QMi`2 2t2KTH2b , Å 0 1 0 0 ã

MǶ2bi Tb /B;QMHBb#H2 +` 2HH2 b2`Bi b2K#H#H2 U2i /QM+ û;H2V ¨ H Ki`B+2 MmHH2X .2 KāK2- H Ki`B+2 /ǶmM [m`i /2 iQm`Å

0 1

1 0

ãMǶ2bi Tb /B;QMHBb#H2 UMB i`B;QMHBb#H2V /MbRKBb 2HH2 HǶ2bi /Mb

CX

• SQm` +H+mH2` H2b TmBbbM+2b /ǶmM2 Ki`B+2A2Mn(K)- QM T2mi ,

RX /ûi2`KBM2` mM TQHvMƬK2 MMmHi2m`P /2A, T` 2t2KTH2- QM T2mi miBHBb2` TQm`P H2 TQHvMƬK2 +`+iû`BbiB[m2 /2 AX

kX h`Qmp2` H2 `2bi2 /2 H /BpBbBQM 2m+HB/B2MM2 /2X<sup>k</sup>T`P ,X^k=P Q+RX jX HQ`bA^k=R(A)X

• SQm` /ûi2`KBM2` H2 TQHvMƬK2 KBMBKH /ǶmM2 Ki`B+2A- QM T2mi miBHBb2` HǶmM2 /2b Kûi?Q/2b bmBpMi2b , RX +H+mH2` H2b TmBbbM+2b /2A2i i`Qmp2` mM2 `2HiBQM 2Mi`2 2HH2b /2 /2;`û H2 THmb T2iBi TQbbB#H2

kX +?2`+?2` H2 TQHvMƬK2 KBMBKH T`KB H2b /BpBb2m`b /m TQHvMƬK2 +`+iû`BbiB[m2- 2M b2 bQmp2MMi [m2 +2b /2mt TQHvMƬK2b QMi H2b KāK2b `+BM2b

jX +?2`+?2` ¨ ûim/B2` bBA2bi /B;QMHBb#H2- /Mb +2 +b- bQM TQHvMƬK2 KBMBKH 2bi(X 1)· · ·(X p)Qɍ 1, . . . , p

bQMi H2b pH2m`b T`QT`2b /BbiBM+i2b /2AX

k

Ao ě AMi2``Q;iBQMb [mQiB/B2MM2b ,

aû`B2 R ûMQM+ûb ,

RX .QMM2` H /û}MBiBQM Ki?ûKiB[m2 /ǶmM2 pH2m` T`QT`2 /ǶmM2 Ki`B+2M\ kX ZmǶTT2HH2@i@QM H2 bQmb 2bT+2 T`QT`2 bbQ+Bû \

jX .QMM2` H /û}MBiBQM /m TQHvMƬK2 KBMBKH /ǶmM2 Ki`B+2MX

9X CmbiB}2` [m2 iQmi2 Ki`B+2 /2M2k+1(R)/K2i m KQBMb mM2 pH2m` T`QT`2 `û2HH2X 8X *Bi2` m KQBMb 8 BMp`BMib /2 bBKBHBim/2X

eX *Bi2` H2 i?ûQ`ĕK2 /2b `2bi2b +?BMQBb 2i /QMM2` mM 2t2KTH2 /ǶTTHB+iBQMX

aû`B2 k ûMQM+ûb ,

RX .QMM2` HǶûMQM+û Ki?ûKiB[m2 /2 HǶ{`KiBQM , Ǵ H 7KBHH2(fa)_a2R2bi mM2 7KBHH2 HB#`2X Ǵ

S`û+Bb2x H2b ûiT2b /ǶmM2 /ûKQMbi`iBQM /2 +2ii2 {`KiBQM 2M miBHBbMi mM `BbQMM2K2Mi T` `û+m``2M+2X kX *QKTHûi2` H /û}MBiBQM bmBpMi2 T` 9 ûMQM+ûb û[mBpH2Mib ,

aQBiM2Mn(K)2i 2KX HQ`b ,

~w ww ww ww w

• 2bi mM2 pH2m` T`QT`2 /2M.

•

•

•

jX .QMM2` H /û}MBiBQM /m TQHvMƬK2 +`+iû`BbiB[m2 /2• MX 9X aB M =P

akX^k- T`û+Bb2x H2b pH2m`b /2a0, an 1 2ianX

aû`B2 j ûMQM+ûb ,

RX Zm2Hb bQMi H2b B/ûmt /2R[X]\

kX Zm2H 2bi H2 TQHvMƬK2 +`+iû`BbiB[m2 /ǶmM2 Ki`B+2 i`BM;mHB`2 \

jX Zm2H 2bi H2 TQHvMƬK2 +`+iû`BbiB[m2 /2 H Ki`B+2A=

Ü0 0 0 1

1 0 0 2

0 1 0 3

0 0 1 4

ê

9X _TT2H2` H 7Q`KmH2 /m /ûi2`KBMMiX

8X _TT2H2` H2b 7Q`KmH2b /2 +?M;2K2Mi /2 #b2bX

aû`B2 9 ûMQM+ûb ,

RX .QMM2` H /û}MBiBQM /ǶmM ;`QmT2X PM û+`B` H2b T`QT`Bûiûb ¨ pû`B}2` 2M HM;;2 Ki?ûKiB[m2X kX _TT2H2` H 7Q`KmH2 /m /ûi2`KBMMi /2 oM/2`KQM/2 UQM û+`B` H Ki`B+2 +Q``2bTQM/Mi2V

jX .QMM2` mM2 #b2 2i H /BK2MbBQM /2 HǶ2Mb2K#H2 /2b Ki`B+2b i`BM;mHB`2b bmTû`B2m`2b- TmBb /2 HǶ2Mb2K#H2 /2b Ki`B+2b MiBbvKûi`B[m2bX

9X _TT2H2` H /û}MBiBQM /m TQHvMƬK2 MMmHi2m` /ǶmM2 Ki`B+2 +``û2X 8X Zm2H 2bi H2 TQHvMƬK2 KBMBKH /2aInTQm`a2KX

aû`B2 8 ûMQM+ûb ,

RX *Bi2` H2 i?ûQ`ĕK2 /2 G;`M;2 TQm` H2b ;`QmT2bX

kX Zm2H 2bi H2 TQHvMƬK2 KBMBKH /ǶmM2 Ki`B+2 i`BM;mHB`2 /QMi H2b +Q2{+B2Mib /B;QMmt bQMi k ¨ k /BbiBM+ibX jX Zm2HH2 2bi H 7Q`KmH2 ;ûMû`H2 /2Ei,jEk,l

9X Zm2H 2bi H2 TQHvMƬK2 +`+iû`BbiB[m2 /2aInTQm`a2KX 8X Zm2H bQMi H2b TQHvMƬK2b +`+iû`BbiB[m2 2i KBMBKH /2Å

0 1

1 1

ã

j

Faire AU MOINS une interrogation tous les jours !

aû`B2 e ûMQM+ûb ,

RX aQBiM2Mn(K)X Zm2HH2 2bi H /BK2MbBQM /2 HǶH;ĕ#`2(K[M],+,⇥,·)\ kX _TT2H2` H2b 7Q`KmH2b /2 +?M;2K2Mi /2 #b2bX

jX CmbiB}2` [m2 iQmi2 Ki`B+2 /2M2k+1(R)/K2i m KQBMb mM2 pH2m` T`QT`2 `û2HH2X 9X *Bi2` m KQBMb 8 BMp`BMib /2 bBKBHBim/2X

8X *Bi2` H2 i?ûQ`ĕK2 /2b `2bi2b +?BMQBb 2i /QMM2` mM 2t2KTH2 /ǶTTHB+iBQMX

aû`B2 R +Q``B;ûb ,

RX .QMM2` H /û}MBiBQM Ki?ûKiB[m2 /ǶmM2 pH2m` T`QT`2 /ǶmM2 Ki`B+2M\ aQBi 2KX 2Sp(M), 9X2Mn,1(K)\ {0}, M X= XX

kX ZmǶTT2HH2@i@QM H2 bQmb 2bT+2 T`QT`2 bbQ+Bû \ E =Ker(M I_n) ={X2Mn,1(K)|M X= X}

jX .QMM2` H /û}MBiBQM /m TQHvMƬK2 KBMBKH /ǶmM2 Ki`B+2MX

GǶ2Mb2K#H2I_M ={P2K[X]|P(M) = 0}2bi mM B/ûH /2K[X]- /QM+ BH 2bi KQMQ;ĕM2X GQ`b[mǶBH MǶ2bi Tb `û/mBi ¨IM ={0_K[X]}- QM TQb2µM bQM ;ûMû`i2m` mMBiB`2X 9X CmbiB}2` [m2 iQmi2 Ki`B+2 /2M2k+1(R)/K2i m KQBMb mM2 pH2m` T`QT`2 `û2HH2X

deg( M)2bi BKTB`X .ǶT`ĕb H2 i?ûQ`ĕK2 /2b pH2m`b BMi2`Kû/BB`2b- M bǶMMmH2 m KQBMb mM2 7QBb /MbRX .QM+M /K2i m KQBMb mM2 pH2m` T`QT`2 `û2HH2X

8X *Bi2` m KQBMb 8 BMp`BMib /2 bBKBHBim/2X det(M)- T r(M)- M-µM- Sp(M)X

eX *Bi2` H2 i?ûQ`ĕK2 /2b `2bi2b +?BMQBb 2i /QMM2` mM 2t2KTH2 /ǶTTHB+iBQMX

aBn2ipbQMi T`2KB2`b 2Mi`2 2mt- HǶTTHB+iBQM :Z/npZ!Z/nZ⇥Z/pZ/û}MB2 T` (x mod np) = (x mod n, x mod p) 2bi mM BbQKQ`T?BbK2 /ǶMM2mtX

aBnu+pv= 1- H2b bQHmiBQMb /m bvbiĕK2ß

x⌘a[n]

x⌘b[p] bQMi H2bx⌘x0[np]Qɍx0=nub+pvaX

aû`B2 k +Q``B;ûb ,

RX .QMM2` HǶûMQM+û Ki?ûKiB[m2 /2 HǶ{`KiBQM , Ǵ H 7KBHH2(fa)_a2R 2bi mM2 7KBHH2 HB#`2 /Mb H2K@2bT+2 p2+iQ`B2H EX Ǵ

hQmi2 bQmb 7KBHH2 }MB2 /2(fa)_a2R2bi HB#`2- +Ƕ2bi ¨ /B`2 ,

8n2N^⇤,8(a1, . . . , an)2Rⁿ,8( 1, . . . n)2Kⁿ,X

ifai= 0) 8i2[1, n], i= 0.

kX aQBiM2Mn(K)2i 2KX HQ`b ,

~w ww ww ww w

• 2bi mM2 pH2m` T`QT`2 /2M.

•M In2bi MQM BMp2`bB#H2X

•Ker(M In)6={0}

•9X06= 0, M X0= X0

•det( In M) = 0

jX .QMM2` H /û}MBiBQM /m TQHvMƬK2 +`+iû`BbiB[m2 /ǶmM2 Ki`B+2 +``û2X

A=det(XI_n A) 9X aB A=Pn

k=0akX^k2bi H2 TQHvMƬK2 +`+iû`BbiB[m2 /2A- [m2 pH2Mia0, an 12ian\ a₀= ( 1)ⁿdet(A)-a_{n 1}= T r(A) 2ia_n= 1X

aû`B2 j +Q``B;ûb ,

RX G2b B/ûmt /2R[X]bQMi 2t+i2K2Mi H2b B/ûmt KQMQ;ĕM2bX

1M T`iB+mHB2`- bBI 2bi mM B/ûH- BH 2tBbi2 mM TQHvMƬK2 P02R[X]i2H [m2I= (P0)X kX Zm2H 2bi H2 TQHvMƬK2 +`+iû`BbiB[m2 /ǶmM2 Ki`B+2 i`BM;mHB`2 \

M =Qn i=1ai,iX

9

jX Zm2H 2bi H2 TQHvMƬK2 +`+iû`BbiB[m2 /2 H Ki`B+2A=

Ü0 0 0 1

1 0 0 2

0 1 0 3

0 0 1 4

ê

A=X⁴ 4X³+ 3X² 2X+ 1

9X _TT2H2` H 7Q`KmH2 /m /ûi2`KBMMi /ǶmM2 Ki`B+2X det((ai,j)) =P

2⌃n"( )Qn i=1ai, (i)

8X _TT2H2` H2b 7Q`KmH2b /2 +?M;2K2Mi /2 #b2bX

aBP=P ⁰2bi H Ki`B+2 /2 Tbb;2 /2 HǶM+B2MM2 #b2 p2`b H MQmp2HH2 #b2 ⁰- HQ`bP <sup>0</sup> 2bi H Ki`B+2 /2 HǶB/2MiBiû /2TmBb H #b2 /2 /ûT`i <sup>0</sup>p2`b H #b2 /Ƕ``Bpû2 X HQ`b bBX 2bi H Ki`B+2 /2b +QQ`/QMMû2b /ǶmM p2+i2m`u2tT`BKû /Mb H #b2 2iX<sup>0</sup> +2HH2 /2b +QQ`/QMMû2b /m KāK2 p2+i2m` /Mb H #b2 <sup>0</sup>- HQ`bX=P X⁰X

aBf 2bi mM 2M/QKQ`T?BbK2 /QMi H Ki`B+2 /Mb H #b2 2biA2i +2HH2 /Mb H #b2 ⁰2bi B HQ`bB=P ¹APX

aû`B2 9 +Q``B;ûb ,

RX _TT2H2` H 7Q`KmH2 /m /ûi2`KBMMi /2 oM/2`KQM/2 UQM û+`B` H Ki`B+2 +Q``2bTQM/Mi2V 1 a₁ a²₁. . . aⁿ₁ ¹

1 a2 a²₂. . . aⁿ₂ ¹ ... ... ... . . . ... 1 an a²_n. . . aⁿ_n ¹

= Y

16i<j6n

(aj ai).

kX .QMM2` mM2 #b2 2i H /BK2MbBQM /2 HǶ2Mb2K#H2Tn/2b Ki`B+2b i`BM;mHB`2b bmTû`B2m`2b /2 iBHH2n- TmBb /2 HǶ2Mb2K#H2 An/2b Ki`B+2b MiBbvKûi`B[m2b /2 iBHH2nX

Tn= (Ei,j)_16j6i6nXdim(Tn) =n(n+ 1)

2 X

An= (Ei,j Ej,i)_16i<j6nXdim(An) =n(n 1)

2 X

jX _TT2H2` H /û}MBiBQM /m TQHvMƬK2 MMmHi2m` /ǶmM2 Ki`B+2 +``û2X

SQm` mM2 Ki`B+2M- HǶ2Mb2K#H2 /2b TQHvMƬK2b MMmHi2m`b /2M 2bi mM B/ûH MQM `û/mBi ¨{0}T` 2t2KTH2 T` H2 i?ûQ`ĕK2 /2 *vH2v@>KBHiQMX *2 B/ûH 2bi KQMQ;ĕM2X G2 TQHvMƬK2 MMmHi2m` /2 H Ki`B+2 +``û2M 2bi H2 ;ûMû`i2m`

mMBiB`2 /2 HǶB/ûH MMmHi2m` /2MX

9X Zm2H 2bi H2 TQHvMƬK2 KBMBKH /2aInTQm`a2KX µaIn= (X a)TQm`a2KX

aû`B2 8 +Q``B;ûb ,

RX Zm2H 2bi H2 TQHvMƬK2 KBMBKH /ǶmM2 Ki`B+2 i`BM;mHB`2 /QMi H2b +Q2{+B2Mib /B;QMmt bQMi k ¨ k /BbiBM+ibX µ_M = _M =Qn

i=1a_i,i

kX .2 KMBĕ`2 ;ûMû`H2-Ei,jEk,l= ^k_jEi,lX S` 2t2KTH2-E3,7E6,7= 0-E3,7E7,6=E3,6 2iE6,7E7,3=E6,3X jX Zm2H 2bi H2 TQHvMƬK2 +`+iû`BbiB[m2 /2aInTQm`a2KX

aIn= (X a)ⁿTQm`a2KX

9X Zm2H bQMi H2b TQHvMƬK2b +`+iû`BbiB[m2 2i KBMBKH /2Å

0 1

1 1

ã aBM =

Å0 1

1 1

ã

- M =X² X+ 1 = (X e^i⇡/3)(X e ^i⇡/3)X *QKK2µM| M 2iµM 2R[X]- QM 2M /û/mBi [m2 µ_M = _MX

aû`B2 e +Q``B;ûb ,

RX aQBiM2Mn(K)X Zm2HH2 2bi H /BK2MbBQM /2 HǶH;ĕ#`2(K[M],+,⇥,·)\ dim(K[M],+,⇥,·) =dQɍd=deg(µM)X

kX oQB` THmb ?miXXX

8

jX CmbiB}2` [m2 iQmi2 Ki`B+2 /2M2k+1(R)/K2i m KQBMb mM2 pH2m` T`QT`2 `û2HH2X

aBM 2M2k+1(R)- M 2bi mM TQHvMƬK2 `û2H /2 /2;`û BKTB`X S` i?ûQ`ĕK2 /2b pH2m`b BMi2`Kû/BB`2b- M /K2i m KQBMb mM2 `+BM2X *QKK2SpR(M) =Racines( M)-M /K2i m KQBMb mM2 pH2m` T`QT`2 `û2HH2X

9X CmbiB}2` [m2 iQmi2 Ki`B+2 /2M2k+1(R)/K2i m KQBMb mM2 pH2m` T`QT`2 `û2HH2X

deg( M)2bi BKTB`X .ǶT`ĕb H2 i?ûQ`ĕK2 /2b pH2m`b BMi2`Kû/BB`2b- M bǶMMmH2 m KQBMb mM2 7QBb /MbRX .QM+M /K2i m KQBMb mM2 pH2m` T`QT`2 `û2HH2X

8X *Bi2` H2 i?ûQ`ĕK2 /2b `2bi2b +?BMQBb 2i /QMM2` mM 2t2KTH2 /ǶTTHB+iBQMX

aBn2ipbQMi T`2KB2`b 2Mi`2 2mt- HǶTTHB+iBQM :Z/npZ!Z/nZ⇥Z/pZ/û}MB2 T` (x mod np) = (x mod n, x mod p) 2bi mM BbQKQ`T?BbK2 /ǶMM2mtX

aBnu+pv= 1- H2b bQHmiBQMb /m bvbiĕK2ß

x⌘a[n]

x⌘b[p] bQMi H2bx⌘x0[np]Qɍx0=nub+pvaX PM T2mi mbbB 2M /û/mB`2 [m2 bBn2ipbQMi T`2KB2`b 2Mi`2 2mt-'(np) ='(n)'(p)X

o ě 1t2`+B+2b ,

RV 1t2`+B+2b /Ƕû+?mz2K2Mi ,

URV , _û/m+iBQM ,1t2`+B+2 dy **S

UkV , *H+mH /ǶmM /ûi2`KBMMi i`B;QMH ,1tQ ej **SX

UjV , *H+mH /2b TmBbbM+2b /ǶmM2 Ki`B+2 T` /BpBbBQM 2m+HB/B2MM2 ,1tQ NR **SX

U9V , .û}MBiBQM- T`QT`Bûiûb 2i ûim/2 /ǶmM2 T`QD2+iBQM Qm /ǶmM2 bvKûi`B2 p2+iQ`B2HH2 ,1tQ dR **SX

U8V , .û}MBiBQM 2i T`QT`Bûiûb /2b TQHvMƬK2b /2 G;`M;2 ,1tQb Ny 2i 3dX

kV 1t2`+B+2b /ǶTT`Q7QM/Bbb2K2Mi ,

aQBi K=RQmCX SQm`P 2K[X]- QM TQb2 (P) = (2X+ 1)P (X<sup>2</sup> 1)P<sup>0</sup>X RX JQMi`2` [m2 2bi mM 2M/QKQ`T?BbK2 /2 K[X]X

kX aQBi P mM p2+i2m` T`QT`2 /2 X JQMi`2` [m2P<sup>0</sup>6= 02i 2M /û/mB`2 [m2 H2 /2;`û /2P 2bi û;H ¨ kX jX .ûi2`KBM2` H2b ûHûK2Mib T`QT`2b /2 X

1t2`+B+2 R , úH2K2Mib T`QT`2b

aQBi A2Mn(C)X JQMi`2` [m2det(exp(A)) = exp(h`(A))X

1t2`+B+2 k , lM2 û;HBiû +HbbB[m2

e

Chercher au moins un exercice par jour.

Exercices facultatifs si vous maîtrisez les exos CCP précédents.

G2 #mi /2 +2i 2t2`+B+2 2bi /2 KQMi`2` H2 i?X /2 *vH2v@>KBHiQMX PM bǶBMi2`/B` /QM+ /2 HǶmiBHBb2` TQm` b

`ûbQHmiBQM 5

RX aQBi n>22i(a0, . . . an 1)2KⁿX JQMi`2` [m2 H2 TQHvMƬK2 +`+iû`BbiB[m2 /2 H Ki`B+2

A(a0, . . . , an 1) = 0 BB BB BB B@

0 . . . 0 a0

1 . .. ... a1

0 . .. ... ... ... ... . .. ... 0 ... 0 . . . 0 1 an 1

1 CC CC CC CA

2bi û;H ¨

P =Xⁿ (an 1X^{n 1}+· · ·+a1X+a0).

aQBi EmMK@2p /2 .6 MQM MmHH2n2if2L(E)/QMi QM MQi2`P H2 TQHvMƬK2 +`+iû`BbiB[m2X PM }t2 mM ûHûK2Mi MQM MmH /2EX

kX JQMi`2` [mǶBH 2tBbi2 mM THmb T2iBi 2MiB2` Mim`2Hpi2H [m2 H 7KBHH2(x, f(x), . . . f^p(x))2bi HBû2X oû`B}2` [m2p6= 0X

jX aQBi F=V ect(x, f(x), . . . , f^{p 1}(x))X

JQMi`2` [m2F 2bi bi#H2 T`f 2i [m2 H 7KBHH2(x, f(x), . . . , f<sup>p 1</sup>(x))2M 2bi mM2 #b2X 9X PM MQi2 g HǶ2M/QKQ`T?BbK2 /2F BM/mBi T`fX

Zm2HH2 2bi H Ki`B+2 /2g /Mb +2ii2 #b2 /2F\

8X aQBi QH2 TQHvMƬK2 +`+iû`BbiB[m2 /2gX JQMi`2` [m2Q(g)(x) = 0X eX JQMi`2` [m2Q/BpBb2 P TmBb [m2P(f)(x) = 0 2i +QM+Hm`2X

1t2`+B+2 j , h?ûQ`ĕK2 /2 *vH2v@>KBHiQM ,

oA ě S`Q#HĕK2UbVX

d

Les parties précédées par une étoile sont à REDIGER et A RENDRE le jour indiqué.

Le temps de préparation est libre : il vaut mieux essayer de répondre à un maximum de questions.

Vous devez rédiger comme pour les écrits de concours.

À rendre mardi 28 avril avant 20h

Partie I : EXERCICE 1

Soit les suites r´eelles (u

n

), (v

n

) et (w

n

) d´efinies par :

∀ n ∈ N

⎧ ⎨

⎩

u

n+1

= u

n

+ 3v

n

v

n+1

= 3u

n

+ v

n

+ 4w

n

w

n+1

= 4v

n

+ w

n

et (u

0

, v

0

, w

0

) = (1, 0, 1).

I.1.

I.1.a Justifier sans calcul que la matrice A =

⎛

⎝ 1 3 0 3 1 4 0 4 1

⎞

⎠ ∈ M

³

( R ) est diagonalisable.

I.1.b Diagonaliser la matrice A ∈ M

3

( R ).

I.1.c D´eterminer la matrice A

ⁿ

pour tout n ∈ N . On pourra utiliser la calculatrice.

I.2. Expliciter les termes u

n

, v

n

et w

n

en fonction de n.

Partie II : EXERCICE 2

Soit n un entier sup´erieur `a 2 et E un espace vectoriel sur R de dimension n. On appelle projecteur de E, tout endomorphisme p de E v´erifiant p ◦ p = p.

II.1. Soit p un projecteur de E.

II.1.a D´emontrer que les sous-espaces vectoriels Ker(p) et Im (p) sont suppl´ementaires dans E.

II.1.b En d´eduire que la trace de p (not´ee Tr (p)) est ´egale au rang de p (not´e rg (p)).

II.1.c Un endomorphisme u de E v´erifiant Tr (u) = rg (u) est-il n´ecessairement un projec- teur de E ?

II.2. Donner un exemple de deux matrices A et B de M

³

( R ) de rang 1 telles que A soit diagonalisable et B ne soit pas diagonalisable. Justifier la r´eponse.

II.3. Soit u un endomorphisme de E de rang 1.

II.3.a D´emontrer qu’il existe une base β = (e

1

, · · · , e

n

) de E telle que la matrice M at

β

(u) de u dans β soit de la forme :

M at

β

(u) =

⎛

⎜ ⎜

⎜ ⎝

0 · · · 0 a

1

0 · · · 0 a

2

... ... ...

0 · · · 0 a

n

⎞

⎟ ⎟

⎟ ⎠ ∈ M

n

( R ) o` u a

1

, · · · , a

n

sont n nombres r´eels.

II.3.b D´emontrer que u est diagonalisable si, et seulement si, la trace de u est non nulle.

II.3.c On suppose que Tr (u) = rg (u) = 1. D´emontrer que u est un projecteur.

II.3.d Soit la matrice A =

⎛

⎝ 1 1 − 1 1 1 − 1 1 1 − 1

⎞

⎠ ∈ M

³

( R ). D´emontrer que A est la matrice d’un projecteur de R

³

dont on d´eterminera l’image et le noyau.

2/5

À rendre jeudi 30 avril avant 20h

PROBLEME III. SURJECTIVITE DE L’APPLICATION EXPONEN- TIELLE DE !

n

( C ) VERS GL

n

( R )

On note, pour

n

entier

n≥2

,

!n(

C

)

l’espace vectoriel des matrices carrées d’ordre

n

à coefficients complexes.

On notera

1≤i,j≤n

pour indiquer que :

1≤i≤n

et

1≤j≤n

.

Partie préliminaire

Une norme

∥.∥

sur l’espace vectoriel

!n(

C

)

est une norme d’algèbre si elle vérifie la propriété : pour tout couple de matrices

₍A,B)

de

_!n(

C

),∥AB∥ ≤ ∥A∥∥B∥

.

III.1. On note pour

A= (a_i,j)

élément de

_!n(

C

)

,

_∥A∥_∞= sup

1≤i,j≤n

!!a_i,j!

!

et

_∥A∥=n∥A∥_∞

.

L’application

_∥.∥

est une norme sur l’espace vectoriel

_!n(

C

)

. Démontrer que c’est une norme d’al- gèbre.

Dans la suite de cette partie préliminaire, on munit

_!n(

C

)

de cette norme d’algèbre.

III.2. Justifier simplement qu’une série de vecteurs de

_!n(

C

)

absolument convergente est conver- gente.

III.3. Si

M

est une matrice de

!n(

C

)

, établir que la série de réels positifs

^"##_k¹_!M^k#

#

converge et en déduire que la série de matrices

^"_k¹_!M^k

converge.

Si

M

est une matrice de

_!n(

C

)

, on notera

exp(M) =

+∞"

k=0

k!1M^k

, exponentielle de la matrice

M

.

Première partie

On pourra utiliser librement le résultat suivant :

si

T

est une matrice triangulaire de

!n(

C

)

dont les éléments diagonaux sont

λ₁,λ₂,...,λ_n

, alors la matrice

exp(T)

est une matrice triangulaire dont les éléments diagonaux sont

e^λ1,e^λ2,...,e^λn

.

III.4. Si

M

est une matrice de

_!n(

C

)

, rappeler pourquoi la matrice

M

est trigonalisable et déter- miner une relation entre

det(exp(M))

et

e^tr(M)

.

III.5. Soit la matrice

A=

⎛

⎝ 3 6 −6

−1 −9 11

0 −5 7

⎞

⎠

.

Donner le déterminant de la matrice

A

. En déduire qu’il n’existe aucune matrice

B

à coefficients réels vérifiant

B²=A

et qu’il n’existe aucune matrice

M

à coefficients réels vérifiant

exp(M) =A

.

4/7

Facultatif à chercher le weekend du 1er mai

PROBLEME III. SURJECTIVITE DE L’APPLICATION EXPONEN- TIELLE DE !

n

( C ) VERS GL

n

( R )

On note, pour

n

entier

n≥2

,

!n(

C

)

l’espace vectoriel des matrices carrées d’ordre

n

à coefficients complexes.

On notera

1≤i,j≤n

pour indiquer que :

1≤i≤n

et

1≤j≤n

.

Partie préliminaire

Une norme

∥.∥

sur l’espace vectoriel

!n(

C

)

est une norme d’algèbre si elle vérifie la propriété : pour tout couple de matrices

₍A,B)

de

_!n(

C

),∥AB∥ ≤ ∥A∥∥B∥

.

III.1. On note pour

A= (a_i,j)

élément de

_!n(

C

)

,

_∥A∥_∞= sup

1≤i,j≤n

!!a_i,j!

!

et

_∥A∥=n∥A∥_∞

.

L’application

_∥.∥

est une norme sur l’espace vectoriel

_!n(

C

)

. Démontrer que c’est une norme d’al- gèbre.

Dans la suite de cette partie préliminaire, on munit

_!n(

C

)

de cette norme d’algèbre.

III.2. Justifier simplement qu’une série de vecteurs de

_!n(

C

)

absolument convergente est conver- gente.

III.3. Si

M

est une matrice de

!n(

C

)

, établir que la série de réels positifs

^"##_k¹_!M^k#

#

converge et en déduire que la série de matrices

^"_k!¹M^k

converge.

Si

M

est une matrice de

_!n(

C

)

, on notera

exp(M) =

+∞"

k=0

k1!M^k

, exponentielle de la matrice

M

.

Première partie

On pourra utiliser librement le résultat suivant :

si

T

est une matrice triangulaire de

!n(

C

)

dont les éléments diagonaux sont

λ₁,λ₂,...,λ_n

, alors la matrice

exp(T)

est une matrice triangulaire dont les éléments diagonaux sont

e^λ1,e^λ2,...,e^λn

.

III.4. Si

M

est une matrice de

_!n(

C

)

, rappeler pourquoi la matrice

M

est trigonalisable et déter- miner une relation entre

det(exp(M))

et

e^tr(M)

.

III.5. Soit la matrice

A=

⎛

⎝ 3 6 −6

−1 −9 11

0 −5 7

⎞

⎠

.

Donner le déterminant de la matrice

A

. En déduire qu’il n’existe aucune matrice

B

à coefficients réels vérifiant

B²=A

et qu’il n’existe aucune matrice

M

à coefficients réels vérifiant

exp(M) =A

.

4/7

Objectifs et exemple

Ce paragraphe ne comporte aucune question, il permet de se familiariser avec les objectifs du pro- blème.

Si

A

est une matrice carrée inversible à coefficients réels, nous allons démontrer dans ce problème :

•

que pour tout entier naturel non nul

p,

il existe une matrice

B

de

!n(

C

)

vérifiant

B^p=A

,

•

qu’il existe une matrice

M

de

!n(

C

)

vérifiant

exp(M) =A

. On se limitera dans ce sujet aux matrices carrées de taille 3.

Le problème a pour objectif de prouver l’existence de ces matrices et de les expliciter.

On commence par un exemple développé dont le candidat pourra s’inspirer notamment pour la troi- sième partie.

On utilise toujours la matrice

A=

⎛

⎝ 3 6 −6

−1 −9 11

0 −5 7

⎞

⎠

.

Le polynôme caractéristique de la matrice

A

est

χ_A= (X−2)²(X+3)

.

On cherche le reste dans la division euclidienne du polynôme

Xⁿ

par le polynôme

χ_A

de la forme

a X²+b X+c

où

a

,

b

et

c

vont dépendre de

n

.

Pour cela on remplace dans la relation

Xⁿ=χ_AQ+a X²+b X+c

,

X

par

₋3

, puis par 2. Ensuite, on dérive cette expression et on remplace à nouveau

X

par

2

(

Q

est le quotient).

On obtient le système suivant

% 9a−3b+c= (−3)ⁿ 4a+2b+c =2ⁿ

4a+b=n2ⁿ⁻¹

admettant pour unique solution

% a=₂₅¹ &

(−3)ⁿ− 2ⁿ+5n2ⁿ⁻¹' b=₂₅¹ &

−4.(−3)ⁿ+4.2ⁿ+5n2ⁿ⁻¹' c =₂₅¹ &

4.(−3)ⁿ+21.2ⁿ− 30n2ⁿ⁻¹'

. On déduit du théorème de Cayley-Hamilton que pour tout entier naturel

n

,

Aⁿ=a A²+b A+c I₃

=

¹ 5

⎛

⎝ −(−3)ⁿ+6.2ⁿ −6.(−3)ⁿ+6.2ⁿ 6.(−3)ⁿ−6.2ⁿ

2.(−3)ⁿ− 2.2ⁿ+5n2ⁿ⁻¹ 12.(−3)ⁿ− 7.2ⁿ+5n2ⁿ⁻¹ −12.(−3)ⁿ+12.2ⁿ− 5n2ⁿ⁻¹ (−3)ⁿ− 2ⁿ+5n2ⁿ⁻¹ 6.(−3)ⁿ− 6.2ⁿ+5n2ⁿ⁻¹ −6.(−3)ⁿ+11.2ⁿ− 5n2ⁿ⁻¹

⎞

⎠

.

On pose alors, pour tout réel

t

, la matrice

γ(t)∈ !3(

C

)

:

γ(t) =1 5

⎛

⎝ −3^te^iπt+6.2^t −6.3^te^iπt+6.2^t 6.3^te^iπt− 6.2^t 2.3^te^iπt− 2.2^t+5t2^t−1 12.3^te^iπt− 7.2^t+5t2^t−1 −12.3^te^iπt+12.2^t− 5t2^t−1

3^te^iπt− 2^t+5t2^t−1 6.3^te^iπt− 6.2^t+5t2^t−1 −6.3^te^iπt+11.2^t− 5t2^t−1

⎞

⎠

.

5/7

On a les résultats suivants :

• γ(−1) =A⁻¹

,

•

pour tout entier naturel

p

non nul :

^!γ(_p¹

)

^"p₌A

,

• exp(γ^′(0)) =A

. Par exemple,

B=γ(¹₂

)

₌¹₅

⎛

⎝

−i# 3+6#

2 −6i#

3+6#

2 6i#

3− 6# 2 2i#

3− 2#

2+5^#₄² 12i# 3− 7#

2+5^#₄² −12i#

3+12#

2− 5^#₄² i#

3−#

2+5^#₄² 6i# 3− 6#

2+5^#₄² −6i#

3+11#

2−5^#₄²

⎞

⎠

vérifie

B²=A

.

Deuxième partie

On notera

F

l’espace vectoriel sur le corps C des applications de R dans C combinaisons linéaires d’applications du type

x$−→x^kρ^xe^iθx

où

k∈{0,1,2}

,

ρ∈]0,+∞[

et

θ∈]0,2π]

.

(Rappel : pour

ρ∈]0,+∞[

,

ρ^x=e^xlnρ

.) III.6.

III.6.a. Déterminer un élément

f

de

F

vérifiant pour tout entier naturel

n

,

f(n)=α(−3)ⁿ+βn²2ⁿ

, si

α

et

β

sont deux constantes complexes.

III.6.b. Si

f

est un élément de

F

et si

x₀

est un réel, expliquer pourquoi

x$−→f(x+x₀)

est encore un élément de

F

.

III.7.

III.7.a. Soit

θ

un réel. Démontrer que la suite de nombres complexes

^!n²'₂

3

(_n e^iθn"

converge vers 0.

III.7.b. Soit

k₁∈{0,1,2}

,

ρ₁∈]0,+∞[, θ₁∈]0,2π]

,

k₂∈{0,1,2}

,

ρ₂∈]0,+∞[

et

θ₂∈]0,2π]

,

θ₁̸=θ₂

.

Démontrer que si

α

et

β

sont deux constantes complexes vérifiant, pour tout entier naturel

n

,

αn^k1'

ρ₁(_n

e^iθ1n+βn^k2' ρ₂(_n

e^iθ2n=0

, alors

α=β=0

.

On pourra, par exemple, supposer

ρ₁≤ρ₂

et commencer par examiner les cas

ρ₁<ρ₂

et

ρ₁=ρ₂

. III.7.c. On admet alors que si

f

est un élément de

F

vérifiant pour tout entier naturel

n

,

f(n) =0

, alors

f

est l’application nulle.

Que peut-on dire de deux applications

f

et

g

de

F

vérifiant pour tout entier naturel

n, f(n) =g(n)

?

6/7

On a les résultats suivants :

• γ(−1) =A⁻¹

,

•

pour tout entier naturel

p

non nul :

^!γ(_p¹

)

^"p₌A

,

• exp(γ^′(0)) =A

. Par exemple,

B=γ(¹₂

)

₌¹₅

⎛

⎝

−i# 3+6#

2 −6i#

3+6#

2 6i#

3− 6# 2 2i#

3− 2#

2+5^#₄² 12i# 3− 7#

2+5^#₄² −12i#

3+12#

2− 5^#₄² i#

3−#

2+5^#₄² 6i# 3− 6#

2+5^#₄² −6i#

3+11#

2− 5^#₄²

⎞

⎠

vérifie

B²=A

.

Deuxième partie

On notera

F

l’espace vectoriel sur le corps C des applications de R dans C combinaisons linéaires d’applications du type

x$−→x^kρ^xe^iθx

où

k∈{0,1,2}

,

ρ∈]0,+∞[

et

θ∈]0,2π]

.

(Rappel : pour

ρ∈]0,+∞[

,

ρ^x=e^xlnρ

.) III.6.

III.6.a. Déterminer un élément

f

de

F

vérifiant pour tout entier naturel

n

,

f(n)=α(−3)ⁿ+βn²2ⁿ

, si

α

et

β

sont deux constantes complexes.

III.6.b. Si

f

est un élément de

F

et si

x₀

est un réel, expliquer pourquoi

x$−→f(x+x₀)

est encore un élément de

F

.

III.7.

III.7.a. Soit

θ

un réel. Démontrer que la suite de nombres complexes

^!n²'₂

3

(_n e^iθn"

converge vers 0.

III.7.b. Soit

k₁∈{0,1,2}

,

ρ₁∈]0,+∞[, θ₁∈]0,2π]

,

k₂∈{0,1,2}

,

ρ₂∈]0,+∞[

et

θ₂∈]0,2π]

,

θ₁̸=θ₂

.

Démontrer que si

α

et

β

sont deux constantes complexes vérifiant, pour tout entier naturel

n

,

αn^k1'

ρ₁(_n

e^iθ1n+βn^k2' ρ₂(_n

e^iθ2n=0

, alors

α=β=0

.

On pourra, par exemple, supposer

ρ₁≤ρ₂

et commencer par examiner les cas

ρ₁<ρ₂

et

ρ₁=ρ₂

. III.7.c. On admet alors que si

f

est un élément de

F

vérifiant pour tout entier naturel

n

,

f(n) =0

, alors

f

est l’application nulle.

Que peut-on dire de deux applications

f

et

g

de

F

vérifiant pour tout entier naturel

n, f(n) =g(n)

?

6/7

III.8. Dans la suite de cette partie,

A

est une matrice inversible de

_!3(

R

).

Expliquer pourquoi on peut trouver 9 applications

ω_i,j

éléments de

F

telles que, pour tout entier naturel

n

,

Aⁿ=!

ω_i,j(n)"

1≤i,j≤3

.

Discuter en fonction du nombre de racines du polynôme caractéristique de la matrice

A

. On ne demande pas de résoudre des systèmes, une explication de la méthode pourra suffire.

III.9. On pose pour tout réel

t

, la matrice

γ(t) =!

ω_i,j(t)"

1≤i,j≤3 ∈ !3(

C

)

. III.9.a. Quelles sont les matrices

γ(0)

et

γ(1)

?

III.9.b. Justifier que, pour tout couple d’entiers naturels

₍n,m)

, on a la relation :

γ(n+m) =γ(n)γ(m)

.

III.9.c. Pour

x

réel et

m

entier naturel, on pose

f(x) =ω_i,j(x+m)

et

g(x) =

#3

k=1

ω_i,k(x)ω_k,j(m)

. Démontrer que l’on a

f =g

et en déduire, pour tout entier naturel

m

, la relation

γ(x+m) =γ(x)γ(m)

.

III.9.d. En déduire que, pour tout couple

₍x,y)

de réels,

γ(x+y) =γ(x)γ(y)

. III.10. Démontrer que

γ(−1) =A⁻¹

et que, pour tout entier naturel

p

non nul,

^$γ(_p¹)%_p

=A

. III.11. Justifier que l’application

γ

définie pour tout réel

t

par

γ(t) =!

ω_i,j(t)"

1≤i,j≤3

est dérivable sur R et que la fonction

γ

est une solution de l’équation différentielle

u^′(t) =γ^′(0)u(t)

vérifiant

u(0) =I₃

où la fonction inconnue

u

vérifie, pour tout réel

t

,

u(t)∈ !3(

C

)

.

Trouver la solution sur R de l’équation différentielle

u^′(t) =γ^′(0)u(t)

vérifiant

u(0) =I₃

et en déduire que l’on a :

exp(γ^′(0)) =A

.

Troisième partie : exemple

Soit la matrice

A=

⎛

⎝ 3 0 1

1 −1 −2

−1 0 1

⎞

⎠

.

III.12. Donner le polynôme caractéristique de la matrice

A

. La matrice

A

est-elle diagonalisable?

III.13. Déterminer, par la méthode développée dans ce problème, les éléments suivants : III.13.a. La matrice

A⁻¹.

III.13.b. Une matrice

B

de

!3(

C

)

vérifiant

B²=A

. III.13.c. Une matrice

M

de

!3(

C

)

vérifiant

exp(M) =A

.

Fin de l’énoncé

7/7