M.M.F.A.I.
Analyse Complexe Ann´ee 2002-03
EXAMEN du 11 juin 2003 Dur´ee : 3h
I
Notons ρ(t) la partie fractionnaire d’un nombre r´eel t. On consid`ere la fonction ζ de Riemann et la fonction Γ d’Euler. Soits∈C tel que 0<<(s)<1.
1. D´emontrer la relation−ζ(s)/s=R∞
0 ρ(t)t−s−1dt.
2. En d´eduire successivement les formules, (2s−1)ζ(s)/s=
Z ∞
0
∞
X
n=1
1
nπ(sin(4πnt)−sin(2πnt))t−s−1dt=−(2s−1)2sπs−1Γ(−s) sin(πs/2)ζ(1−s), puis retrouver l’´equation fonctionnelle deζ.
II
Pour n un entier > 0, on pose µ(n) = (−1)k si n est le produit de k nombres premiers distincts et µ(n) = 0 sinon. On poseM(n) =Pn
t=1µ(t). On consid`ere la fonction ζde Riemann.
1. D´emontrer qu’on a, pourn entier>1, P
d|nµ(d) = 0. En d´eduire l’identit´e 1/ζ(s) =P∞
n=1µ(n)n−s (s nombre complexe de partie r´eelle>1).
2. Supposons qu’on ait, pour tout >0,M(n) =O(n1/2+). D´emontrer queζ(s)6= 0 lorsque<(s)>1/2.
III
SoitLun r´eseau deCde base (ω1, ω2), avec=(ω2/ω1)>0, et de fonction de Weierstrass associ´ee P.
1. Soitz∈C−L. D´emontrer que la s´erie de la variable complexez 1
z + X
ω∈L−{0}
1 z−ω + 1
ω + z ω2
converge absolument vers une fonction m´eromorpheZ. Quels sont les pˆoles et les r´esidus deZ ? D´emontrer qu’on aZ0=−P.
2. D´emontrer que 2η1=Z(ω1+z)−Z(z) ne d´epend pas dezet qu’on aη1=Z(ω1/2). On poseη2=Z(ω2/2).
3. D´emontrer la relationη1ω2−η2ω1=πi.
4. PosonsE(z) = (1−z)ez+z2/2 (z∈C). ´Etablir l’in´egalit´e|E(z)−1| ≤2|z|3 (|z| ≤1/2).
5. D´emontrer que le produit
z Y
ω∈L−{0}
(1− z ω)ezω+ z
2 2ω2
converge vers une fonction enti`ere, not´eeσ. Quels sont les z´eros deσ? D´emontrer qu’on aZ =σ0/σ.
6. D´emontrer la relationσ(z+ω1) =−σ(z)e2η1(z+ω1/2)(z∈C).
7. Soient u, v ∈C−L. D´emontrer que les fonctions donn´ees par z 7→ −σ(z+v)σ(z−v)/(σ(z)2σ(v)2) et z7→ −σ(u+z)σ(u−z)/(σ(z)2σ(u)2) sont elliptiques.
8. En d´eduire les formules
P(u)− P(v) =−σ(u+v)σ(u−v)/(σ(v)2σ(u)2),
− P0(v)
P(u)− P(v) =Z(u+v)−Z(u−v)−2Z(v)
et 1
2
P0(u)− P0(v)
P(u)− P(v) =Z(u+v)−Z(u)−Z(v).
