D1862
Louis Rogliano
Soit un triangle scalèneABC. On trace quatre cercles : - le cercle(Γ)de centreOcirconscrit à ce triangle,
- le cercle inscrit(ω)de centreI,
- le cercle exinscrit(Ω)de centreJ dans le secteur de l’angle en A, - le cercle(γ)de diamètre[IJ].
Les cercles(ω)et(γ)se coupent enP etQet leurs tangentes communes se coupent au pointR.
Les cercles(Ω) et(γ)se coupent enS etT et leurs tangentes communes se coupent au pointU. Démontrer que les cercles(P QR)et(ST U)sont tangents au cercle(Γ)et que les deux points de tan- gence sont situés sur une droite parallèle à(BC).
* SoitDle milieu de[IJ]etE = (IJ)∩(BC). La division(AEIJ)est harmonique doncDE×DA=DI2 Il en résulte que l’image de la droite(BC)par l’inversion de centre D de puissance DI2 est le cercle (Γ)etD∈(Γ).
** Montrons que l’image de(ω)par cette inversion est le cercle(P QR).
Soit N le point d’intersection de (IJ) et (ω) le plus proche de E. Rω et Rγ les rayons respectifs des cercles(ω)et(γ).
DN =Rγ−Rω. DR =Rγ+IR=Rγ+ Rω
RγDR ⇒DR = R2γ
(Rγ−Rω) ⇒DN×DR =R2γ.
Rest l’image deN par cette inversion et l’image de(ω)est bien le cercle(P QR). (BC)est tangente à (ω)donc(P QR)est tangent à(Γ)enH.
Une démonstration identique prouve que les cercle(Γ)et(ST U)sont tangents enF.
*** Soient W et Z les points de contact respectifs de (ω) et (Ω) avec (BC). H est l’image de W et F est l’image deZ par l’inversion. Par construction,Dest sur la médiatrice de [W Z] etDW = DZ ⇒ DH =DF. Comme OH = OF, OD est la médiatrice de [HF]. Il en résulte que(HF) est parallèle à (BC).
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