H157
Louis Rogliano
.
Les conditions du problème permettent de supposer que les situations des personnes sont identiques.
Désignons parA, B etC l’ensemble des connaissances communes respectivement aux trois person- nesa, b et c. Le nombre de personnes de chacun de ses ensembles est k + 1. Supposons en outre quea,betcne se connaissent pas. Il y a alors quatre possibilités.
CasN°1 Compatible avec l’énoncé à condition qu’une quatrième personne ne connaissant pas a par exemple ait, aveca, deux connaissances communes dans l’ensemble A en dehors des régions com- munes avecB etC sans cela il y aurait contradiction avec le fait quea,b etcne se connaissent pas.
Donc chaque personne ne connaissant pasa a aveca deux connaissances en exclusivité.
Nous avons alors l’équation : k
2 = 36−k−1⇒k = 70
3 . Solution inacceptable.
CasN°2Compatible avec l’énoncé.
Chaque personne ne connaissant pasaa avecadeux connaissances communes dont l’une est partagée avec une autre personne ne connaissant pasa.
Nous avons alors l’équation : Ck2 = 36−k−1⇒k ∈/N. Solution inacceptable.
CasN°3Incompatible avec l’énoncé car, dans cette configuration,a,b etcse connaissent.
CasN°4Compatible avec l’énoncé. Les personnesαetβayant trois connaissances communes doivent en avoir une quatrième. Les paires distinctes des personnes deAautres queadoivent donc se partager entre trois personnes extérieures àA.
Nous avons alors l’équation: k
2 = 36−k−1
3 ⇒k= 14.
1
