D1884
Louis Rogliano
Q1
(BA′C)et(AB′C)ont le pointC en commun. Ils en ont donc un autreQ.
Les propriétés des angles de droites, les propriétés des points cocycliques et le parallélisme de cer- taines droites de la figure entraîné par les symétries permettent d’écrire:
(QA, QB) = (QA, QC) + (QC, QB) = (B′A, B′C) + (A′C, A′B) = (AB′, C′B) + (C′A, AB′) = (C′A, C′B).
(QA, QB) = (C′A, C′B)⇒Q∈(ABC′).
Q2 . a)
(BCB′C′)est un rectangle. (AQA′Q′)est un parallélogramme. Montrons que c’est un rectangle.
(AQ′, AQ) = (AQ′, QC) + (QC, AQ).
(AQ′, AQ) = (QA′, QC) + (QC, QA).
(AQ′, AQ) = (BA′, BC) + (B′C, B′A).
(AQ′, AQ) = (B′A, BC) + (B′C, BA′).
(AQ′, AQ) = (B′C, BC) = π 2.
Pour tout P de la médiatrice de [BC], P A = P Q′. Il en résulte que la médiatrice de [BC] est aussi médiatrice de[AQ′]. Q′ est donc le symétrique deApar rapport à cette médiatrice. Q′ est fixe.
. b)
Montrons d’abord queQ′ ∈(ABC).
(Q′A, Q′B) = (QA′, QB′) = (QA′, QB) + (QB, QA),+(QA, QB′).
(Q′A, Q′B) = (CA′, CB) + (C′B, C′A) + (CA, CB′).
(Q′A, Q′B) = (C′A, CB) + (C′B, C′A) + (CA, C′B).
(Q′A, Q′B) = (CA, C′B) + (C′B, C′A) + (C′A, CB) = (CA, CB).
(Q′A, Q′B) = (CA, CB)⇒Q′ ∈(ABC).
Montrons qu’un pointQquelconque sur le cercle(ABC)permet de reconstruire la figure.
(Q′A, Q′A′) = (QA′, QA) = (QA′, QB) + (QB, QC) + (QC, QA).
(Q′A, Q′A′) = (QA′, QA) = (CA′, CB) + (A′B, A′C) + (B′C, B′A).
(Q′A, Q′A′) = (B′C, CB) = (CB′, CB) = (M A, M B). (M milieu de[BC]).
La droite(Q′A′)passe donc par un point fixeRdu cercle(ABC)que l’on peut construire à partie d’une position quelconque deQ′. Le pointA′ est l’intersection de la médiane AM et de la droite(Q′R). P est le milieu de[AA′]et le reste de la figure s’en déduit.
Le lieu deQ′ est donc le cercle(ABC).
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