Louis Rogliano

Louis Rogliano

A2843. Un, deux, trois,..., 2022 variables

Q₁

On remarque que :x⁴+ 4x−1 = (x²+ 1)²−2(x−1)² = (x²+√

2x+ 1−√

2)(x²−√

2x+ 1 +√ 2) = 0

L’annulation du premier facteur donne deux racines réelles : −1±

√ 2√

2−1

√2

L’annulation du second facteur donne deux racines complexes : 1±i

√ 2√

2 + 1

√2

Q₂

On remarque que : x−y

1 +x y + y−2021

1 + 2021y + 2021−x

1 + 2021x = (x−2021)(y−2021)(x−y) (2021x+ 1)(2021y+ 1)(1 +x y) = 0 Six̸=y, les solutions sont : ∀k∈R^∗,{x;y}={2021,2021 +k} || {x;y}={2021 +k,2021} sauf les valeurs annulant le dénominateur.

Q₃

x²−x y−x z = 5 ⇐⇒ x−y−z = 5 x (1) y²−y z−x y = −4 ⇐⇒ y−z−x = −4

y (2)

z²−x z−y z = −7 ⇐⇒ z−x−y = −7 z (3) En combinant ces3équations on obtient le système linéaire d’inconnues 1

x z, 1 z y, 1

y x suivant :

4 z y − 5

x z = 2 7

z y − 5

y x = 2 4

y x + 7

x z = 2

dont les solutions sont :y x = 5

2, z y = 7

4, x z = 35

2 . En portant ces valeurs dans le système d’origine on trouve :

{x;y;z} ∈ {{−5;−1 2;−7

2},{5;1 2;7

2}}

1

Q₄

Considérons les deux fonctions :f(x) = 2021

2−2021x etg(x) = 1

4042−x nous avons alors : x_2n=f(x_2n−1)etx_2n−1 =g(x_2n−2)doncx_2n=f og(x_2n−2) =h(x_2n−2) (h=f og).

Il en résulte quex₂₀₂₂ =ho| {z }· · ·oh

1010fois

f(x₁) = h⁽¹⁰¹⁰⁾(f(x₁)).

Par récurrence on montre que :h⁽ⁿ⁾(x) = 2021((2n−1)x−4042n) 2n x−(2n+ 1)2021 D’autre part nous avonsx₂₀₂₂ = 4042− 1

x₁ doncx₁est solution de l’équation :h⁽¹⁰¹⁰⁾(f(x₁)) = 4042− 1 x₁ La solution estx₁ = 1

2021. Il en résulte que les solutions du système sont : x_2n+1 = 1

2021 avec0≤n≤1010etx_2n = 2021avec 1≤n ≤1011

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