D178 : Equilatéral vs scalène
On donne un triangle équilatéral ABC d'aire unité. Quels sont dans chacun des trois cas, les ensembles des points M du plan contenant ABC tels qu'on puisse construire un triangle PQR dont les longueurs des côtés sont égales aux distances MA, MB et MC et qui a les caractéristiques suivantes:
1) triangle scalène non dégénéré ? 2) triangle d'aire 1/4 ?
3) triangle d'aire 2 ?
Soit N l’image de M dans la rotation d’angle π/3 autour de A: MN=AM, et CN=BM. Le triangle MNC a donc des cotés de longueurs égales à AM, BM, CM. Il sera dégénéré si C, M et N sont alignés, donc si l’angle CMA=2π/3 (puisque l’angle AMN=π/3), c’est à dire si M est sur le cercle circonscrit au triangle ABC.
Notons O le centre du triangle, I le milieu de BC, avec IB=IC=a, et a2=√3/3 (puisque ABC est d’aire unité); notons r=OM, u=MB, v=MC, H et K les projections de M sur BC et IA, x=IH et y=IK, et les angles b=BMH, c=HMC, t=MCN. L’aire orientée du triangle MNC est S avec 2S=uv sint; or t=b+c-π/3, sint=sin(b+c)/2-cos(b+c)*√3/2, et sinb=(a+x)/u, cosb=y/u, sinc=(a-x)/v, cosc=y/v, donc sin(b+c)=2ay/uv, cos (b+c)=(x2+y2-a2)/uv donc 2S=ay-√3/2* (x2+y2-a2) ou encore S=1/3-r2√3/4.
L’aire du triangle MNC est donc la même pour tout point d’un cercle de centre O, et elle est égale à la différence entre l’aire du triangle équilatéral de coté OA et celle du triangle équilatéral de coté OM.
Si R est le rayon du cercle circonscrit (R2=4√3/9), r2 =4√3/9 (1-3S) , donc r=R√(1-3S):
pour une aire égale à 1/4, on a les deux possibilités S=±1/4, soit r2=√3/9, r=R/2 ou r2=7√3/9, r=R√7/2, tandis que pour une aire égale à 2, la seule possibilité est S=-2, r2=28√3/9, r=R√7.
