Enonc´e noD178 (Diophante) Equilat´eral vs scal`ene
On donne un triangle ´equilat´eralABCd’aire unit´e. Quels sont dans chacun des trois cas, les ensembles des pointsMdu plan contenantABC tels qu’on puisse construire un triangleP QRdont les longueurs des cˆot´es sont ´egales aux distances M A,M B etM C et qui a les caract´eristiques suivantes : 1) triangle scal`ene non d´eg´en´er´e ?
2) triangle d’aire 1/4 ? 3) triangle d’aire 2 ?
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin SoitO le centre du triangle.
1) Pour qu’un triangleP QRde cˆot´es ´egaux `aM A, M B, M Csoit scal`ene, il faut et il suffit que ces trois longueurs soient distinctes, et donc queM soit ext´erieur aux droitesOA, OB, OCqui sont les m´ediatrices deBC, CA, AB.
Pour que le triangle P QR existe et soit non d´eg´en´er´e, il faut et il suffit que les trois longueurs satisfassent strictement l’in´egalit´e du triangle.
Les points A, B, C jouant un rˆole sym´etrique, on peut supposer M A <
M B < M C. Cette condition est remplie quandM est dans l’angleAOC0, en d´esignant par C0 le sym´etrique de C par rapport `a O. L’in´egalit´e `a v´erifier est alors M C < M A+M B.
Selon la position deM par rapport aux droitesAB et AC, trois cas sont
`
a distinguer.
a) Le pointA est int´erieur au triangleM BC. Il en r´esulte (*)M B+M C > AB+AC= 2BC.
SoitH la projection deM surOA. On a
M C2−M B2 = 2BC.M H, puis compte tenu de (*) M C−M B < M H < M A, v´erifiant l’in´egalit´e.
b) Le pointM est int´erieur au triangle AOB. Il en r´esulte M C+M A > AC.
SoitK la projection de M surOB. On a
M C2−M A2 = 2AC.M K, puisM C −M A <2M K < M B car l’angleKBM < π/6. L’in´egalit´e est encore v´erifi´ee.
c) Le quadrilat`ereAM BC est convexe.
On a alors par le th´eor`eme de Ptoml´em´ee M C.AB≤M A.BC+M B.CA
avec ´egalit´e siM est sur le cercle circonscrit au triangle ABC.
1
Comme BC =CA= AB, on a M C ≤M A+M B, et cette in´egalit´e est satisfaite strictement si M n’est pas sur le cercleABC.
En conclusion, les pointsM du plan qui fournissent un triangleP QRnon d´eg´en´er´e sont ceux qui ne sont ni sur les droites OA, OB, OC ni sur le cercle circonscrit au triangle ABC.
2) et 3)
Je traite ensemble ces deux questions en d´eterminant l’aireS du triangle P QR en fonction de M quelconque.
Pour all´eger l’´ecriture, je note M A=QR=√
a,M B=RP =√
b,M C =P Q=√ c, BC =CA=AB=√
m, eta+b+c=s.
Par la formule de H´eron, on obtient
16S2= 2bc+ 2ca+ 2ab−a2−b2−c2= 4(bc+ca+ab)−s2.
Les quantit´es a, b, c, s sont aussi li´ees par la relation qui exprime que le t´etra`edre M ABC est de volume nul, soit (formule d’Euler)
0 a b c 1
a 0 m m 1 b m 0 m 1 c m m 0 1
1 1 1 1 0
= 0.
Apr`es d´eveloppement, le d´eterminant vaut 2m(sm−s2−m2+ 3(bc+ca+ab)) = 0, soit
bc+ca+ab= (m2−ms+s2)/3 qui, report´e dans l’expression de l’aire, donne
16S2= (4m2−4ms+s2)/3 = (2m−s)2/3.
Mais, O ´etant aussi centre de gravit´e deABC, on a
s=M A2+M B2+M C2= 3OM2+OA2+OB2+OC2= 3OM2+m,
ainsi 16S2 = (m−3OM2)2/3.
Comme l’aire deABC est 1 =AB2√
3/4, on a m= 4/√ 3 et
S2= 1
3 −OM2√ 3 4
!2
.
SiS <1/3 (cas de la question 2), on a pour lieu deM deux cercles centr´es enO (de rayons p4 1/27 et p4 49/27 pour S= 1/4)
OM = 2
s1±3S 3√
3
SiS > 1/3, (cas de la question 3), le lieu de M se r´eduit `a un cercle (de rayon p4 784/27 pour S= 2)
OM = 2
s1 + 3S 3√
3
SiS= 1/3, le lieu deM est form´e du pointOet du cercleOM =p4 64/27.
2
