Calculerlatangente`alafonction ln aupointd’abscisse e . D´eriver x 7→ ln x ( x ) . √ Comparer ( ) et ( ) . Comparer ( ) et ( ) . Approximationlin´eaire

L1 Analyse Corrig´e2: automne 08

Approximation lin´ eaire

1.

Comparer (

)

et (

)

.

Je vais montrer (³₂)^−π < (⁴₃)^−e. Pour cela, j’applique la transitivit´e avec (³₂)^−e. Il me faut d’abord montrer (³₂)^−π <(³₂)^−e. En passant aux inverses, je dois montrer (²₃)^π <(²₃)^e qui d´ecoule du fait que la fonction x 7→(²₃)^x est strictement d´ecroissante sur R. Ensuite je dois montrer (³₂)^−e <(⁴₃)^−e qui d´ecoule du fait que la fonction x7→x^−e est strictement d´ecroissante sur ]0, +∞[.

2.

Comparer (

)

et (

)

.

Je veux appliquer la transitivit´e avec (²₃)^−e.

De e < π, je d´eduis (²₃)^π <(²₃)^e, et donc, en passant aux inverses, (2

3)^−π >(2 3)^−e.

De ²₃ < ³₄, je d´eduis (²₃)^e<(³₄)^e, et donc, en passant aux inverses, (2

3)^−e>(3 4)^−e. Par transitivit´e, j’obtiens

(2

3)^−π >(3 4)^−e.

3.

D´ eriver x 7→ ln x( √

x)

.

Cette fonction f est le produit deu:= ln avec v :=x7→x^−e2. La formule de d´erivation d’un produit de deux fonctions me donne:

f⁰ :=u⁰v+uv⁰ =x7→x^−e+22 − e

2ln(x)x^−e+22 . En factorisant, il vient:

f⁰ :=x7→(1− e

2lnx)x^−e+22 .

4.

Calculer la tangente ` a la fonction ln au point d’abscisse e

.

La tangente a pour ´equationy= ln(e²) + (x−e²) ln⁰(e²) = 2 + ^x−e_e2² soit finalement y= x

e² + 1.

5.

Proposer une approximation lin´ eaire pour √

8.04.

Je vais utiliser l’approximation lin´eaire de la fonctionf :=√³

en a:= 8. Je calcule la d´eriv´ee f⁰ =x7→ 1

3x⁻²³. Et donc la fonction lin´earis´ee est

L:=x7→ √³

8 + (x−8)8⁻²³ 3 . Je propose comme approximation intelligente de √³

8.04 la valeur de L en 8.04. En utilisant √³ 8 = 2 et 8⁻²³ = ¹₄, j’obtiens l’approximation

√3

8.04≈2.0033.

6.

En quel point de la courbe d’´ equation y = x √

x la tangente est-elle par- all` ele ` a la droite d’´ equation 3x − y + 6 = 0 ?

Je pose f := x 7→ x³². Comme la pente de la tangente est ´egale au nombre d´eriv´e, je cherche les points x o`uf⁰ vaut 3. Pour cela, je r´esous l’´equation

3

2x¹² = 3.

Cette ´equation ´equivaut `a x¹² = 2. En ´elevant au carr´e (les deux membres sont positifs), on trouve x= 4.

On conclut que la tangente `a la courbe d’´equation y = x√

x est parall`ele `a la droite d’´equation 3x−y+ 6 = 0 en un seul point, celui d’abscisse 4.