 e Pour tout x  : ln   e

www.mathsenligne.com FONCTION EXPONENTIELLE EXERCICES 1A

R

APPELS

: e

⁰

 1 e

¹

 e Pour tout x  : ^ln   ^e

^x

^

^x

^{Pour tout x }

_*^

^{: e}

^lnx

^

^x

Pour tous réels a et b strictement positifs, on a les égalités :

a b a b

e

^

 e  e

a b a b

e e

e





_a

1

e

a

e



 ^e

^ab

^   ^e

^{a b}

E

XERCICE

1A.1 Chercher le nombre qui n’est pas égal aux deux autres:

2 1

 e e

^1

 2 ² e ¹

e

 E

XERCICE

1A.2

1. Décomposer les expressions comme dans l’exemple a. :

a. e

^5x

 e

⁵

 e

^x

b. e

^3y

=

c. e

^x

= d. e

^2x

=

e. e

^2x3

= f. e

^5x

=

g. e

^4x3y

= h. e

^x2

=

2. Recomposer les expressions comme dans l’exemple a. :

a. e

⁵

 e

^x

 e

^5x

b. e

³

 e

^y

=

c.

3

e

x

e ^{= d.}

1

e

y

⁼

e. e

^2x3

 e

^x2

= f.

2 3 2 x x

e e





=

g.   ^e

^{x 3}

^{= h.}   ^e

^{x 5}

^{ e}

^3x1

⁼

i.  

2 3 2 x x

e e



= j.

4

1

e

x

⁼

k. e

^3x

 e

^7x

= l.

 

²

1

e

x

= 3. Sachant que x  ]0 ; +[, écrire plus simplement :

a. e

^{5 lnx}

= b. ln ¹

_x

e ^{= c. ln 3}   ^e

^x

⁼

d. e

^{2 lnx}

= e. e

^{2 ln x}

= f. ln

5

e

x

= E

XERCICE

1A.3

1. Résoudre dans les équations :

a. e

^x

= 3 b. e

^x

= 1 c. e

^3x

= 2

d. e

^x

= -2 e.

4

1

e

x

^{= 3 f.}

e

x

= 0 2. Résoudre dans les inéquations :

a. e

^x1

> 3 b. 3 e

^x

– 1  0 c. 2 – e

^2x

< 0

3. Après avoir résolu les inéquations nécessaires, établir le tableau de signe des expressions suivantes :

a. ^{a x}   ^{= e}

^3x

^{– 1 b. b x}   ^{= e}

^2x

^{+ 3 c. c x}   ^{=  e}

^x

^{– 5}

www.mathsenligne.com FONCTION EXPONENTIELLE EXERCICES 1A

CORRIGE – Notre Dame de La Merci – Montpellier

E

XERCICE

1A.1 Chercher le nombre qui n’est pas égal aux deux autres:

1 2 1 2

2 e e 1

e e e e

    

₁

1 1 2 2

2 2 e 1 e

e e e e e



       2 e 1

e



E

XERCICE

1A.2

1. Décomposer les expressions comme dans l’exemple a. :

a. e

^5x

 e

⁵

 e

^x

b. e

^3y

=

3 y 3 y

e e e e





 c. e

^x

= ¹

_x

e ^d. e

^2x

= e

^x

 e

^x

e. e

^2x3

= e

^2x

 e

³

f. e

^5x

=

5

1

e

x

g. e

^4x3y

=

3 4 4

3 y x x

y

e e e

e





 h. e

^x2

=

2. Recomposer les expressions comme dans l’exemple a. :

a. e

⁵

 e

^x

 e

^5x

b. e

³

 e

^y

= e

^3y

c.

3

e

x

e ⁼

3

e

x^

^{d. 1}

_y

e ⁼ e

^y

e. e

^2x3

 e

^x2

=

^{2x 3}



^{x 2}



_{3x 1}

e

^{  }

 e

^

f.

2 3 2 x x

e e





= e

²x^{  3}



x ²

  e

x^5

g.   ^e

^{x 3}

^{= e}

^x

^{ e}

^x

^{ e}

^x

^{ e}

^3x

^h.   ^e

^{x 5}

^{ e}

^3x1

^{= e}

^5x

^{ e}

^3x1

^{ e}

^{5x 3x 1}

^{ e}

^8x1

i.  

2 3 2 x x

e e



=

2 3

2 3 2 3

2

x x x

x

e e e

e





 

 j.

4

1

e

x

⁼

e

^4x

k. e

^3x

 e

^7x

= e

^3x7x

 e

^4x

l.

 

²

1

e

x

=

²

2

1

_x

x

e

e





3. Sachant que x  ]0 ; +[, écrire plus simplement : a. e

^{5 lnx}

=

ln x5 5

e

x

 

 

 

 b. ln ¹

_x

e ^{= ln}   ^e

^x

^{ }

^x

^{c. ln 3}   ^e

^x

^{= ln  } _ ^e

^{x3}

^{  } _

^x3

 

d. e

^{2 lnx}

=

ln 2 2

2 x

1

x x

e

 

 

  





 e. e

^{2 ln x}

= e

²

 e

^lnx

 e

²



x

f. ln 5

e

x

= ^ln   ^e

^x

^{ ln 5  }

^x

^{ln 5}

E

XERCICE

1A.3

1. Résoudre dans les équations :

a. e

^x

= 3 

x

 ln 3 b. e

^x

= 1 

x

 ln1  0 c. e

^3x

= 2  3

x

 ln 2

¹ ln 2

x

3

 

d. e

^x

= –2 pas de solution

e.

4

1

e

x

^{= 3}

4^x

3

e

^





  4

x

 ln 3

¹ ln 3

x

  4



f. e

^x

= 0 pas de solution

www.mathsenligne.com FONCTION EXPONENTIELLE EXERCICES 1A

2. Résoudre dans les inéquations : a. e

^x1

> 3

ln est une fonction croissante

b. 3 e

^x

– 1  0 1 3

e

x



 ^{c. 2 –}

e

2x

< 0 2  e

2^x



 

¹

ln e

^x

 ln 3



1 ln 3

x

 



1 ln 3

x

 



ln est une fonction croissante

  ^{ln 1}

ln e

^x

 3



ln 3

x

 



ln est une fonction croissante

 

²

2 ln

ln  e

^x



2 2

ln  x



1 2

2 ln 

x



3. Après avoir résolu les inéquations nécessaires, établir le tableau de signe des expressions suivantes : a. ^{a x}   ⁼ e

^3x

– 1 b. ^{b x}   ⁼ e

^2x

^{+ 3 c. c x}   ^{=  e}

^x

^{– 5}

e

^3x

  1 0 e

^2x

  3 0  e

^x

  5 0

3^x

1

e 

  e

^2x

  ³   e

^x

 ⁵

ln est une fonction croissante or   x , e

^x

 0  e

^x

  5

 

³

^ln1

ln e

^x



 donc   x

:

ce qui est impossible

3

x

 0

 e

^2x

   0 3

0

x





x 

0

 x   x  

 

a x – + ^{b x}   + ^{c x}   –