Correction de l’interrogation écrite n◦9 – Sujet A
Exercice 1 Comme −−→
EJ et −−→
AB sont colinéaires de même sens, −−→
EJ ·−−→
AB =EJ×AB= 1
2a×a et donc
−−→EJ ·−−→
AB = a2 2 .
Le point H est le projeté orthogonal de D sur (EI) donc −−→
EI ·−−→
ID = −−→
EI ·−−→
IH . Or, les vecteurs −−→
EI et−−→
IH sont colinéaires de même sens donc −−→
EI ·−−→
IH =EI×IH = 1 2a×1
2a soit finalement −−→
EI ·−−→
ID = a2 4 Etant donné que −−→
CH = −−→
BE et que F est le projeté orthogonal de B sur (EJ), on peut écrire −−→
EJ ·−−→
CH = −−→
EJ ·−−→
BE = −−→
EJ ·−−→
F E . De plus, −−→
EJ et −−→
F E sont colinéaires de sens contraire donc −−→
EJ ·−−→
F E =−EJ ×F E soit finalement −−→
EJ ·−−→
CH =−a2 2 En utilisant la relation de Chasles,
−−→ AI ·−−→
AJ = (−−→
AE +−→
EI )·(−−→
AE +−→
EJ ) =−−→
AE ·−−→
AE +−−→
AE ·−→
EJ +−→
EI ·−−→
AE +−→
EI ·−→
EJ =AE2+0+0+0.
Ainsi, −−→ AI ·−−→
AJ =a2 .
Exercice 2 1. −−→
AD ·−−→
CB =−−→
AD ·−−−−→
−AD =−−−→
AD 2 donc −−→
AD ·−−→
CB =−a2 .
−−→AD ·−−→
AC =−−→
AD ·−−→
AD carDest le projeté orthogonal deCsur (AD). Ainsi, −−→
AD ·−−→
AC =a2 .
−−→AS · −−→
SB = −−−→
SA · −−→
SB = −SA × SB × cos(÷ASB) = −a × a × cos(60◦) donc
−−→AS ·−−→
SB =−a2 2 .
−−→AS ·−−→
SC =−−−→
SA ·−−→
SC =−SA×SA×cos(÷ASC). Or, les triangles ASC et ABC sont isométriques (ils sont les mêmes longueurs de côtés) donc, comme ABC est rectangles en B, ASC est rectangle en S. Ainsi,÷ASC = 90◦ donc −−→
AS ·−−→
SC = 0 .
2. Comme H est le centre de ABCD, H est le milieu de [AC] et de [BC]. Or, comme SA = SC = SB = SD, les triangles SAC et SBD sont isocèles en A. Dès lors, la médiane (SH) est aussi une hauteur de ces triangles sont (SH) est orthogonale à (AC) et à (BD). Comme (AC) et (BD) sont deux droites sécantes du pan (ABC), on conclut que (SH) est orthogonal à ce plan donc −−→
SH est normal au plan (ABC).
![Dans le triangle ABC, la droite (AM) passe par le sommet A et le milieu M du côté [BC] Donc : (AM) est la médiane du issue de A du triangle ABC](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)