théorème des accroissements finis à la fonction ϕ : x 6 ln ln ( ) x sur

PanaMaths Janvier 2012

1. Pour tout entier naturel k supérieur ou égal à 2, appliquer le

théorème des accroissements finis à la fonction ^{ϕ : x 6 ln ln} ( ) ^{x sur}

l’intervalle

^⎡_⎣

k k ; + 1

^⎤_⎦

.

2. Montrer que la suite de terme général

2

1 ln

n n

k

u = ∑

₌

k k ^diverge.

Analyse

Un exercice classique et sans difficulté majeure pour un résultat qui peut un peu surprendre (on connaît la lenteur de la divergence de 1

∑

n, celle-là est « pire » !).

Résolution

Question 1.

La fonction ϕ est définie et dérivable sur l’intervalle

]

^{1 ;+ ∞}

[

. Pour tout entier naturel k supérieur ou égal à 2, on a :

[

^{k k; + ⊂1}

] ]

^{1 ;+ ∞}

[

. D’après le théorème des accroissements finis, il existe un réel a_k dans l’intervalle

]

^{k k; +1}

[

tel que :

( ) ( ) ( )

(

¹

) ( ) ( )

' 1

k 1

k k

a k k

k k

ϕ ϕ

ϕ = ^{+ −} =ϕ + −ϕ + −

Or, pour tout réel x strictement supérieur à 1, on a : ^'

( )

¹

x ln

x x

ϕ = .

Ainsi : ^'

( )

¹

(

¹

) ( )

^{ln ln}

( (

¹

) )

^{ln ln}

^{( )}

k ln

k k

a k k k k

a a

ϕ = =ϕ + −ϕ = + − .

En définitive :

Pour tout entier naturel k supérieur ou égal à 2, il existe un réel a_k dans l’intervalle

]

^{k k; +1}

[

tel que :

( )

( ) ^{( )}

1 ln ln 1 ln ln

kln k

k k

a a = + −

PanaMaths Janvier 2012 Question 2.

Pour tout entier k supérieur ou égal à 2, on a : k<a_k < +k 1.

Or, la fonction 1

' :x ln x x

ϕ 6 est strictement décroissante comme composée d’une fonction strictement croissante (la fonction x6xlnx) et d’une fonction strictement décroissante (la fonction inverse). Il vient donc :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( )

( ) ( )

1

' 1 ' '

1 1 1

1 ln 1 ln ln

1 1

ln ln 1 ln ln

1 ln 1 ln

ln ln 1 ln ln 1

ln

k

k

k k

k a k

k a k

k k a a k k

k k

k k k k

k k

k k

ϕ ϕ ϕ

< < +

⇔ + < <

⇔ < <

+ +

⇔ < + − <

+ +

⇒ + − <

Pour k variant de 2 à n, on obtient les n−1 inégalités suivantes :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ( ) ) _{( ) ( )} ( )

( ) ^{( )}

ln ln 3 ln ln 2 1

2 ln 2 ln ln 4 ln ln 3 1

3ln 3 ln ln 5 ln ln 4 1

4 ln 4 ln ln ln ln 1 1

1 ln 1

ln ln 1 ln ln 1

ln

n n

n n

n n

n n

− <

− <

− <

− − <

− −

+ − <

"

En les sommant membre à membre, il vient :

( )

( ) ( )

2

ln ln 1 ln ln 2 1

ln

n

n k

n u

k k

=

+ − <

∑

=

Comme _n^{lim ln ln}_→+∞^⎡_⎣

( (

ⁿ⁺¹

) )

^{−ln ln 2}

( )

^⎤_⎦⁼_n^{lim ln ln}_→+∞

( (

ⁿ⁺¹

) )

^{= +∞}, on a finalement (comparaison) :

2

lim lim 1

ln

n

n n n

k

u k k

→+∞ →+∞ =

=

∑

= +∞

La suite

( )

un diverge :

2

lim lim 1

ln

n

n n n

k

u k k

→+∞ →+∞ =

=

∑

= +∞^.