CORRECTION EXERCICES 31 ET 33 DU COURS DU JEUDI 19 MARS
Si vous n avez pas réussi, regardez le début de la correction puis réessayez, puis regardez un peu la suite et réessayez et ainsi de suite. Et à chaque étape, avant de regarder le corrigé …. commencez par REGARDER LE COURS et chercher quel théorème vous pouvez utiliser.
Ex 31 page 206.
Soit t un réel compris entre 1 et 2. t entre 1 et 2 car ce sont les bornes de l intégrale.
1 t 2 donc 1 t3 8 car la fonction cube est croissante sur . donc 2 1 t3 9
donc 2 1 t3 3 car la fonction est croissante sur + Méthode 1 (pour ceux qui ont appris le cours !!!)
On applique alors le théorème suivant :
Inégalité de la moyenne : Soit m et M deux réels donnés. Soit f une fonction continue sur un intervalle I et a et b deux réels de I tels que a b. Si pour tout x de [a b], m f(x) M, alors
m(ba) b ( ) d
a f x x
M(ba)
Ici m 2 ; M 3 ; a 1 et b 2.
Alors 2(2 1)
1
2 1 t3dt 3(2 1), c'est-à-dire 2
1
2 1 t3dt 3
Méthode 2 (pour les autres …)
On a, pour tout t de [1 2], 2 1 t3 3 donc
1
2 2dt
1
2 1 t3dt
1
23dt car 1 2 et que, si les bornes de l intégrale sont dans l ordre croissant, on peut appliquer l intégrale à tous les membres de l inégalité.
On calcule maintenant
1
2 2dt et
1
23dt :
1 2 2dt
2t
1 2
2 2 2 1 2 et
1 23dt
3t
1 2
3 2 3 1 3
On a donc 2
1
2 1 t3dt 3.
Ex 33 page 206.
1. Soit t un réel compris entre 0 et 1. t entre 0 et 1 car ce sont les bornes de l intégrale.
0 t 1 donc 0 tn 1 tn car on multiplie par tn qui est positif donc 1 1 tn 1 1 tn
donc 0 et (1 tn 1)et (1 tn)et car on multiplie par et qui est positif donc 0
0
1etdt
0
1(1 tn 1)etdt
0
1(1 tn)etdt (on peut rajout er les int égral es car l es bornes 0 et 1 sont dans l ’ordre croiss ant (0 en bas et 1 en haut )
donc 0 un 1 un
2. La suite ( )un est décroissante et minorée par 0 donc elle converge.
