E321 Les variantes du petit classique des problèmes impossibles [***** à la main]
Solution
Problème n°1
Soit (a,b) le couple de nombres à déterminer de somme S = a+b et de produit P = a*b.
Examinons successivement chacune des déclarations de Sébastien et de Pierre :
1-Sébastien : Je ne sais pas répondre.
Cette déclaration laisse un éventail encore très large de couples (S,P) possibles. Seules sont éliminées les valeurs de S=4, 5, 197 et 198. En effet pour chacune d’elles, Sébastien est en mesure d’annoncer les couples (2,2), (2,3), (98,99) et (99,99).
2-Pierre : Je ne sais pas répondre.
Il en résulte que Pierre n’a aucun produit P qui se décompose de manière unique sous la forme P = a*b. Les valeurs qu’on peut éliminer sont alors :
- les produits de deux nombres premiers (par exemple 14 = 2*7, 15 = 3*5, 33 = 3*11,…)
- les cubes de nombres premiers (par exemple 27 = 3*9)
La liste des décompositions possibles de P reste encore très importante. On se focalise sur les couples (S,P) tels que pour chaque valeur de S, il y a au maximum deux valeurs de P dont chacune fait l’objet d’une décomposition multiple. Un programme informatique très simple permet d’identifier ces couples qui sont caractérisés par S appartenant à deux plages [7,10] et [165,179], les valeurs 174 et 177 étant exclues. On a ajouté les valeurs frontières S = 11 et S = 164 pour lesquelles il y a 3 valeurs possibles de P à décomposition multiple mais elles
joueront leur rôle dans la détermination des solutions possibles.
Nota important : toutes les valeurs de P figurant dans ce tableau ont seulement deux décompositions possibles hormis les valeurs P=24 et P=30 qui en ont trois chacune .
Les valeurs identiques de P sont dans des cases de même couleur tandis que les valeurs de P sur fond blanc 20, 28, 30 et 6468 ont des décompositions multiples qui correspondent à des S ne figurant pas toutes dans le tableau.
P = 20 S=9 ou 12, P = 28 S=11 ou 16, P = 30 S=11 ou 13 ou 17, P = 6468 S = 161 ou 164.
3-Sébastien : Alors je connais les deux nombres.
Sébastien sait répondre pour toute valeur de S qui comporte une seule valeur de P à décomposition multiple. Les valeurs de S apparaissent alors sur fond bleu et sont respectivement 7,165,168,172,173,175,176,178 et 179.
4-Pierre : Maintenant moi aussi.
Pierre ne peut répondre que si pour toute valeur de P sur fond bleu du tableau précédent, il y a une valeur de S et une seule. Il apparaît que les valeurs de P égales à 7392,7644 et 7920 rendent Pierre incapable d’annoncer la somme S car il y a deux valeurs de S pour chacune d’elles.
On trouve ainsi trois solutions possibles avec les couples (3,4), (69,96) et (84,84) identifiés par la couleur rose saumon. Le premier d’entre eux (3,4) a déjà été identifié dans le problème E304 avec un intervalle limité à [2,21] pour le choix des termes a et b. Les deux autres couples demandés sont alors (69,96) et (84,84).
Problème n°2
On poursuit étape par étape le raisonnement en prolongeant à chaque fois le dialogue par un
«Je ne sais pas répondre ».
1ère étape :
1-Sébastien : Je ne sais pas répondre.
2-Pierre : Je ne sais pas répondre.
3-Sébastien : Je ne sais pas répondre.
4-Pierre : Alors je connais les deux nombres.
5-Sébastien : Maintenant, moi aussi.
Quels sont les deux nombres ?
Les deux premières déclarations restent inchangées. Cette fois-ci au 3ème tour, on a : 3-Sébastien :Je ne sais pas répondre.
Les valeurs possibles de S sont alors celles qu’on avait éliminées au 3ème tour du problème précédent et se caractérisent par deux valeurs possibles de P à décomposition multiple :
4-Pierre : Alors je connais les deux nombres.
Pierre peut répondre quand pour toute valeur de S, il ne reste plus qu’une valeur de P. Compte tenu des valeurs éliminées précédemment, il ne reste plus que les valeurs de P repérées dans le tableau ci-après par la couleur rose saumon. A noter que les valeurs 20,28,30 et 6468 restent toujours à décomposition multiple. Les valeurs possibles pour P sont alors 12, 6624 et 7056.
5- Sébastien : Maintenant moi aussi
Les valeurs possibles pour Sébastien sont alors 8, 164 et 170.
Il y a donc toujours trois solutions possibles avec les couples (8,12), (72,92) et (72,98).
2ème étape :
1-Sébastien : Je ne sais pas répondre.
2-Pierre : Je ne sais pas répondre.
3-Sébastien : Je ne sais pas répondre.
4-Pierre :Je ne sais pas répondre.
5-Sébastien : Alors je connais les deux nombres.
6-Pierre :Moi aussi.
Quels sont les deux nombres ?
Les trois premières déclarations restent inchangées et au 4ème tour, on a : 4-Pierre : Je ne sais pas répondre.
Les valeurs possibles de P sont celles qui avaient été éliminées précédemment.
5- Sébastien : Alors je connais les deux nombres.
Sébastien sait répondre pour toute valeur de S qui comporte une seule valeur de P à décomposition multiple. Les valeurs possibles de S sont repérées par les cases bleues du tableau ci-après :
6-Pierre : Maintenant moi aussi.
Les valeurs possibles pour Pierre sont alors 16 et 7200.
Il y a donc encore deux solutions possibles avec les couples (4,4) et (80,90).
3ème étape :
1-Sébastien : Je ne sais pas répondre.
2-Pierre : Je ne sais pas répondre.
3-Sébastien : Je ne sais pas répondre.
4-Pierre :Je ne sais pas répondre.
5-Sébastien :Je ne sais pas répondre
5-Pierre : Alors je connais les deux nombres.
6-Sébastien :Moi aussi.
Quels sont les deux nombres ?
Les quatre premières déclarations restent inchangées et au 5ème tour, on a : 5-Sébastien :Je ne sais pas répondre.
On élimine les solutions S=8 et S=170 précédemment retenues et l’on obtient le tableau suivant :
6-Pierre :Alors je connais les deux nombres.
Pierre peut répondre quand pour toute valeur de S, il ne reste plus qu’une valeur de P. Compte tenu des valeurs éliminées précédemment, il ne reste plus que les valeurs de P repérées dans le tableau ci-après par la couleur rose saumon. A noter que les valeurs 20,28,30 et 6468 restent toujours à décomposition multiple. Les valeurs possibles pour P sont alors 16 et 7200
7- Sébastien : Alors je connais les deux nombres Les valeurs possibles pour Sébastien sont 10 et 171.
Il y a donc toujours deux solutions possibles avec les couples (2,8) et(75,96).
4ème étape et étapes suivantes
Le mécanisme d’élimination puis du choix des valeurs possibles est désormais bien connu. On peut établir le tableau des résultats obtenus en fonction du numéro de l’étape ou du tour au cours duquel chacun des deux amis s’exprime.
Le dialogue qui aboutit à une solution unique comporte 8 fois l’expression : « Je ne sais pas répondre », prononcée alternativement par Sébastien et Pierre. Puis au 9ème tour, Sébastien peut annoncer qu’il connaît les deux nombres puis Pierre au 10ème tour peut également annoncer qu’il les connaît et le couple est unique : (70,99)
Le dialogue peut se poursuivre jusqu’aux 16ème et 17ème tours où Pierre et Sébastien dans cet ordre peuvent annoncer qu’ils connaissent les deux nombres (77,84) dont la somme est 161 et le produit 6468. Au delà avec une somme égale à 161,il y a six valeurs possibles de P. La discrimination devient alors impossible.
Problème n°3
On vérifie aisément que si Pierre est le premier à s’exprimer en déclarant « Je ne sais pas répondre » suivi par Sébastien qui déclare également qu’il ne sait pas répondre, on retrouve les mêmes résultats que précédemment en faisant l’économie d’un tour.
