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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

R´ esum´ e de cours : Groupes Cycliques.

MPSI-Maths.

Mr Mamouni: myismail1@menara.ma

Source disponible sur :

http://www.chez.com/myismailc

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1. Ordre d’un groupe.

D´efinition 1. Si Gest un groupe, son cardinal est appell´e alors l’ordre de G et not´e o(G).

Vocabulaire. Tout groupe fini est dit d’ordre fini.

2. Groupe engendr´e par un ´el´ement.

D´efinition 2. Soit (G, .) un groupe et a ∈ G, on appelle sous groupe engendr´e par a le sous-groupe de G, not´e < a > form´e par les puis- sances de a.

Autrement dit : < a >={an tel que n∈Z}.

Remarque. Soit (G, .) un groupe et a ∈ G, alors < a > est le plus petit sous-groupe de G contenant a.

Autrement dit : Si H est un sous-groupe de G, a∈H =⇒< a >⊂H.

3. Ordre d’un ´el´ement d’un groupe.

D´efinition 3. Soit (G, .) un groupe et a ∈ G. L’ordre du sous-groupe engendr´e par a est aussi appel´e l’ordre de a, et not´e o(a).

Autrement dit : o(< a >) =o(a).

Remarque. Soit (G, .) un groupe et a ∈G, alors o(a) = 1⇐⇒a =e, o`u e l’´el´ement neutre de G.

Vocabulaire. Un ´el´ement d’un groupe est dit d’ordre fini, lorsqu’il engendre un groupe fini.

Th´eor´eme 1. Soit (G, .) un groupe et a ∈G, alors : a est d’ordre fini ⇐⇒ ∃n ∈N tel que an=e.

Th´eor´eme 2. Soit (G, .) un groupe et a ∈G, alors : a est d’ordre fini ⇐⇒ ∃n ∈N tel que an=e.

Th´eor´eme 3. Soit (G, .) un groupe et a ∈G, n ∈N, alors : o(a) =n⇐⇒ i) an=e

ii) ∀k ∈N, ak=e=⇒n divise k .

4. Groupes monog`enes.

D´efinition 4. Un groupe G est dit monog`ene s’il est engendr´e par l’un de ses ´el´ements.

Autrement dit : ∃a ∈G tel que G=< a >.

D´efinition 5. Un groupe G est dit cyclique s’il est monog`ene et fini.

Fin.

MPSI-Maths Mr Mamouni

R´esum´e de cours: Groupes cycliques.

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http://www.chez.com/myismail myismail1@menara.ma

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