R´ esum´ e de cours : Groupes Cycliques.
MPSI-Maths.
Mr Mamouni: myismail1@menara.ma
Source disponible sur :
http://www.chez.com/myismailc
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1. Ordre d’un groupe.
D´efinition 1. Si Gest un groupe, son cardinal est appell´e alors l’ordre de G et not´e o(G).
Vocabulaire. Tout groupe fini est dit d’ordre fini.
2. Groupe engendr´e par un ´el´ement.
D´efinition 2. Soit (G, .) un groupe et a ∈ G, on appelle sous groupe engendr´e par a le sous-groupe de G, not´e < a > form´e par les puis- sances de a.
Autrement dit : < a >={an tel que n∈Z}.
Remarque. Soit (G, .) un groupe et a ∈ G, alors < a > est le plus petit sous-groupe de G contenant a.
Autrement dit : Si H est un sous-groupe de G, a∈H =⇒< a >⊂H.
3. Ordre d’un ´el´ement d’un groupe.
D´efinition 3. Soit (G, .) un groupe et a ∈ G. L’ordre du sous-groupe engendr´e par a est aussi appel´e l’ordre de a, et not´e o(a).
Autrement dit : o(< a >) =o(a).
Remarque. Soit (G, .) un groupe et a ∈G, alors o(a) = 1⇐⇒a =e, o`u e l’´el´ement neutre de G.
Vocabulaire. Un ´el´ement d’un groupe est dit d’ordre fini, lorsqu’il engendre un groupe fini.
Th´eor´eme 1. Soit (G, .) un groupe et a ∈G, alors : a est d’ordre fini ⇐⇒ ∃n ∈N∗ tel que an=e.
Th´eor´eme 2. Soit (G, .) un groupe et a ∈G, alors : a est d’ordre fini ⇐⇒ ∃n ∈N∗ tel que an=e.
Th´eor´eme 3. Soit (G, .) un groupe et a ∈G, n ∈N, alors : o(a) =n⇐⇒ i) an=e
ii) ∀k ∈N, ak=e=⇒n divise k .
4. Groupes monog`enes.
D´efinition 4. Un groupe G est dit monog`ene s’il est engendr´e par l’un de ses ´el´ements.
Autrement dit : ∃a ∈G tel que G=< a >.
D´efinition 5. Un groupe G est dit cyclique s’il est monog`ene et fini.
Fin.
MPSI-Maths Mr Mamouni
R´esum´e de cours: Groupes cycliques.
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