Sup PCSI2 — Contrˆole 2004/07
Rappel : r´edigez chaque partie ou exercice sur une (ou plusieurs) copie(s) s´epar´ee(s). Pas d’encre rouge.
Toutes les justifications doivent figurer sur votre copie, mais la r´edaction doit rester sobre. Vous pouvez admettre un r´esultat, `a condition de le signaler tr`es clairement. Les copies mal pr´esent´ees encourent une p´enalit´e de deux points sur vingt. Mettez votre nom sur chaque copie. Qu’on se le dise.
Partie I : ´etude def : x∈R∗7→ arctan(x) x
Q1 D´eterminez la limite` def(x) quandxtend vers z´ero.
INous noterons encoref le prolongement par continuit´e obtenu en posantf(0) =`.
Q2 Quelle est la parit´e def? Q3 Explicitezf0(x) pourx6= 0.
Q4 ´Etudiez les variations def surR+.
Q5 Pr´ecisez la limite def(x) lorsque xtend vers +∞. Q6 Pourx>0, justifiez l’encadrementx−x3
3 6arctan(x)6x.
Q7 Quel encadrement de arctan(x) pouvez-vous ´ecrire pourx60 ? Q8 En d´eduire l’existence et la valeur de lim
x→0f0(x).
Q9 Que pouvez-vous alors affirmer concernantf0? Q10 Explicitezf√
3 3
,f(1) etf √ 3
; vous ne laisserez pas de radicaux aux d´enominateurs.
Q11 Donnez des approximations d´ecimales des valeurs pr´ec´edentes `a 10−1pr`es. Indication :π ≈3.15 et√
3≈1.73.
Q12 Tracez la courbe repr´esentative def; l’unit´e sera ´egale `a 25 mm.
Partie II : ´etude d’une primitive def
Q13 Justifiez le fait quef poss`ede des primitives surR.
INotonsF la primitive def qui s’annule en 0 ; nous avons doncF(x) = Z x
0
f(t)dt.
Q14 Quelle est la parit´e deF?
INous nous proposons d’´etudier le comportement deF(x) lorsquextend vers +∞. Q15 Justifiez, pourx>1, l’in´egalit´eF(x)>F(1) + π
4ln(x).
Q16 En d´eduire la valeur de lim
x→+∞F(x).
Q17 D´eterminez de mˆeme lim
x→+∞
F(x) x . Q18 Justifiez, toujours pourx>1 :
F(x) =F(1) + arctan(x)
× ln(x)
− Z x
1
ln(t) 1 +t2dt Q19 ?? Prouvez que ln(t)
1 +t2 6t−3/2 pour toutt>1. Indication :e > 5 2. Q20 En d´eduire, toujours pourx>1, un encadrement simple de
Z x
1
ln(t) 1 +t2dt.
Q21 En d´eduire un ´equivalent simple deF(x) quandx tend vers +∞. Q22 Soita >0 ; simplifiez arctan(a) + arctan(1/a).
Q23 Montrez alors queF(x) = π
2ln(x) +O(1) lorsquex tend vers +∞. Partie III : ´etude deF(x) lorsquex tend vers z´ero
Q24 Utilisez l’encadrement de Q4 pour justifier la majoration suivante :
F(x)−x+x3 18
6 |x|3 18
INous nous proposons maintenant de donner un d´eveloppement limit´e deF `a un ordrenquelconque. Nous noteronsSn(x) = X
06k6n
(−1)kx2k.
Q25 Justifiez l’in´egalit´e
1
1 +x2 −Sn(x)
6x2n+2.
Q26 ´Enoncez l’in´egalit´e des accroissements finis. La d´emonstration n’est pas demand´ee.
Q27 Pourx>0, prouvez l’in´egalit´e
arctan(x)− X
06k6n
(−1)kx2k+1 2k+ 1
6 x2n+3 2n+ 3. Q28 En d´eduire une majoration de
F(x)− X
06k6n
(−1)kx2k+1 (2k+ 1)2
, d’abord pourx >0, puis pourx quelconque.
Q29 Donnez alors le d´eveloppement limit´e `a l’ordren deF(x), lorsquex tend vers 0. Vous pourrez, au besoin, distinguer deux cas de figure selon la parit´e den.
Q30 Que pensez-vous de la suite de terme g´en´eral X
06k6n
(−1)k (2k+ 1)2?
[Contr^ole 2004/07] Compos´e le 1er avril 2005
