Sup PCSI2 — Contrˆole 2007/07
Rappel : r´edigez chaque partie ou exercice sur une (ou plusieurs) copie(s) s´epar´ee(s). Pas d’encre rouge. Les calculatrices ne sont pas autoris´ees. Toutes les justifications doivent figurer sur votre copie, mais la r´edaction doit rester sobre. Vous pouvez admettre un r´esultat, `a condition de le signaler tr`es clairement. Les copies mal pr´esent´ees encourent une p´enalit´e de deux points sur vingt. Mettez votre nom sur chaque copie.
Qu’on se le dise.
Exercice 1 (d’apr` es ESTP 1995)
◮E d´esigne le R-e.v. C¡
[0,1],R¢
. H d´esigne le R-e.v.F(R∗+,R¢
. Soit f ∈ E; nous lui associonsT(f) ∈H, d´efinie par
¡T(f)¢ (x) =
Z 1
0
f(t)
x+tdt pour toutx >0 Vous noterez soigneusement le rˆole des parenth`eses dans¡T(f)¢
(x).
Q1 Dans le cadre de ce probl`eme, la notationT¡ f(x)¢
a-t-elle un sens ? Q2 Justifiezbri`evement l’existence deT(f).
Q3 Montrez que T est une application lin´eaire.
◮Dans les quatre questions suivantes,f d´esigne la fonction exponentielle :f(t) =et. Nous notonsF =T(f).
Q4 Au moyen d’un changement de variable tr`es simple, montrez queF est d´erivable surR∗+. Q5 Simplifiez alorsG(x) =F(x) +F′(x) pourx >0.
Q6 Rappelez leDLn(0) de la fonction ϕ: u >−17→ 1 1 +u. Q7 D´eterminez des constantesa,b etctelles que G(x) ==
+∞
a x+ b
x2 + c
x3 +o³ 1 x3
´.
◮Pourn∈N, nous noteronsfn: t∈[0,1]7→tn, etJn=T(fn).
Q8 Calculez J0(x) pourx >0.
Q9 ´Ecrivez une relation liantJn+1(x) etJn(x) pourx >0. Indication :t= (x+t)−x.
Q10 En d´eduireJn(x) = (−x)nln³ 1 + 1
x
´+Pn(x), o`uPn est une fonction polynˆome que vous expliciterez.
Q11 Pr´ecisez le degr´e et le coefficient dominant dePn. Q12 Que pouvez-vous dire de la famille (Pk)16k6n?
Tournez S.V.P.
Exercice 2 (d’apr` es ESIGETEL 1995)
◮Notons p: x∈R7→exsin(x), q: x∈R7→ excos(x), r: x∈R7→ xexsin(x) ets : x∈R7→xexcos(x).
NotonsE le s.e.v. de C∞(R) engendr´e par la familleB= (p, q, r, s).
Q1 Montrez que Best une base deE.
◮Soitα∈R; notons Tαla fonction qui, `af ∈ E, associeTα(f) d´efinie par¡ Tα(f)¢
(x) =f(x+α).
◮Vous noterez soigneusement le rˆole des parenth`eses dans¡ Tα(f)¢
(x).
Q2 La notation Tα
¡f(x)¢
a-t-elle un sens ?
Q3 ExprimezTα(p),Tα(q),Tα(r) etTα(s) en fonction de p,q, rets.
Q4 Justifiez l’affirmation suivante :Tα est un endomorphisme deE.
Q5 Que pouvez-vous dire de Tα◦Tβ? Que pouvez-vous dire alors de la fonctionα∈R7→Tα? Q6 Justifiez l’affirmation suivante :Tα est un automorphisme deE.
Q7 Explicitez la matriceMαdeTα dans la baseB deE. Q8 Explicitez la matrice inverse de Mα.
◮NotonsDla fonction qui, `a f ∈ E, associeD(f) =f′.
Q9 ExprimezD(p),D(q),D(r) etD(s) en fonction dep,q,r ets.
Q10 Justifiez :Dest un endomorphisme deE. Q11 Explicitez la matrice ∆ deDdans la baseB. Q12 Justifiez :Dest un automorphisme deE. Q13 Calculez la matrice inverse de ∆.
Exercice 3 : projecteurs & sym´ etries
◮SoitE unK-e.v. Nous notonsidl’automorphisme identit´e deE. Unesym´etrie deE est un automorphisme involutif deE.
Q1 Soientset tdeux sym´etries deE. Montrez ques◦test une sym´etrie deE ssisett commutent.
Q2 Soit s une sym´etrie deE autre que idou −id. Existe-t-il des scalaires αet β tels que αs+βid soit une sym´etrie deE? Si oui, explicitez les couples (α, β) qui conviennent.
Q3 Exhibez des endomorphismes f etg deE tels que nif, nig, nif ◦g ne soient des sym´etries, mais tels que f◦g◦f soit une sym´etrie.
Q4 Exhibez trois sym´etriess,tetudeR2v´erifiant les contraintes suivantes :s,tetusont deux `a deux distinctes ; nis◦t, nit◦u, niu◦sne sont des sym´etries ;s◦t◦uest une sym´etrie.
[Contr^ole 2007/07] Compos´e le 29 mars 2008
