Revisions Limites

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Revisions Limites

Constantes, variables.

Quandx!+1 dex nln (x) (n 2N )

Prépondérants, Négligeables. Factorisation; Changement de variable

Déterminer la limite quandx tend vers +1 dee^x ln(2e^x x²) Déterminer la limite quandx tend vers +1 dee^x² x

Déterminer la limite quandx!1 deln (x)=(e^x e) Développements limités.

On considère la fonctionG dé…nie sur R par

( G(t) =0 si t <1 G(t) =1 2ln(t)

t²

1

t² si t 1 Montrer queG est de classe C¹surR

Soit f(x) = x

e^x 1 si x 6= 0 etf(0) = 1: Montrer quef est dérivable en 0: Montrer que cette dérivée est continue en0:

$ Equivalents. Factorisation;Changement de variable Déterminer la limite quandx!1 deln (x)=(e^x e)

On suppose quenln (n)< v_n <2n:ln(n)pour tout entier n 3:Montrer : ln(v_n)sln(n) On ap(D+I_n > ) = 1

n

1 e

1 e ⁼ⁿ . Déterminer : lim

n!+1p(D+I_n > )

$ Inégalités, variations.

Montrer que pour toutx >0 :f(x) = ln 1 + 1 x

1 x <0 Soit udé…nie par : u₀ = 4 et 8n2N, u_n+1 =p

u_n+ 2 etf(x) =p x+ 2:

Résoudref(x) x. En déduire que la suite u est décroissante et convergente.

$ Continuité

Soit la suiteu défnie ci-dessus. Déterminer sa limite.

Soit f_k(x) = ln (x)^k

x 1 si x 6= 1 et f_k(1) = 0: Montrer que si k 2; k 2 N alors f_k est continue en1

Qu’en est-il pour k= 1?

$ Séries

Montrer que la sérieX

k 2

ln 1 + 1

k diverge en développant leln

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Déterminer un équivalent deln 1 + 1

x² en+1et en déduire que la sérieX

k 2

ln 1 + 1 k² converge

$ Intégrales impropres

Etudier la convergence et calculer Z +1

1

t² ln (t)dt

$ Branches in…nies.

Soit f(x) = xe¹^x

Etudier les variations de f et ses branches in…nies. Tracer sa courbe représentative.

Montrer quef est bijective de[1;+1[sur un intervalle que l’on précisera.

Montrer que sa réciproque véri…e : f ¹(x) x! 1 quandx !+1

! Dérivablitié

Soit f_k(x) = ln (x)^k

x 1 si x 6= 1 et f_k(1) = 0: Montrer que si k est un entier k 2 alors f_k est dérivable en 1 et déterminer sa dérivée.

! Fonctions de répartition de VADensité

Soit F (x) = e^x=2 si x 0 et F (x) = 1 e ^x=2 si x > 0: Montrer que F est la fonction de répartition d’une variable aléatoire à densité et déterminer la densité de cette variable aléatoire.

Calculer son espérance si elle en a une.

Soit X une telle variabnle aléatoire et Y =jXj: Montrer que Y est une variable à densité et déterminer sa densité.

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