Méthodes de variétés invariantes pour les équations de Saint Venant et les systèmes hamiltoniens discrets

HAL Id: tel-00004405

https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00004405

Submitted on 30 Jan 2004

HAL is a multi-disciplinary open access

archive for the deposit and dissemination of

sci-entific research documents, whether they are

pub-lished or not. The documents may come from

teaching and research institutions in France or

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est

destinée au dépôt et à la diffusion de documents

scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,

émanant des établissements d’enseignement et de

recherche français ou étrangers, des laboratoires

Méthodes de variétés invariantes pour les équations de

Saint Venant et les systèmes hamiltoniens discrets

Pascal Noble

To cite this version:

Pascal Noble. Méthodes de variétés invariantes pour les équations de Saint Venant et les systèmes

hamiltoniens discrets. Mathématiques [math]. Université Paul Sabatier - Toulouse III, 2003. Français.

�tel-00004405�

THESE

presentee en vuede l'obtention du

Do torat de l'Universite Paul Sabatier de Toulouse Spe ialite : Mathematiques Appliquees

Pas al NOBLE M  ETHODES DE VARI  ET  ES INVARIANTES POUR LES  EQUATIONS DE SAINT VENANT ET LES SYST 

EMES HAMILTONIENS

DISCRETS

Soutenue le18 de embre2003 devantle jury ompose de MM :

Jury :

S. Benzoni-Gavage Universite C. BernardLyon I Rapporteur G. Iooss Institut NonLineaireNi e Rapporteur E. Lombardi Universite J.Fourier GrenobleI Examinateur J.P. Ramis Universite P. SabatierToulouseIII President J.M. Roquejore Universite P. SabatierToulouseIII Dire teurde these J.P. Vila INSAToulouse Dire teurde these Invites :

S. Fla h Institut MaxPlan kDresde G. James INSAToulouse

Laboratoire de Mathematiques appliquees l'Industrieet la Physique

UMR 5640 UniversiteP. Sabatier UFRMIG 118, Routede Narbonne31062 Toulouse Cedex4 Fran e

0.1 Existen eetstabilitedes roll-wavesdans un anala fondplat

ouperiodique . . . 6

0.2 Existen e de breathers dans les reseaux FPU diatomiques et les ha^nes de spins . . . 13

1 Appli ationdestheoremesdevarietelentepourdeuxproblemes d'ondes progressiveslimitesvisqueusesdansdessystemes hy-perboliques ave terme sour e 25 1.1 Solutionsentropiques et ritere de limite visqueuse . . . 26

1.1.1 Denitions . . . 26

1.1.2 Exempledesequationshyperboliquess alairesave terme sour e . . . 27

1.1.3 Roll waves etautres solutionsentropiques du systeme de Saint Venant . . . 28

1.2 Theoremes de Feni hel etperte d'hyperboli ite normale . . . . 34

1.2.1 Rappeldes theoremes de Feni hel . . . 34

1.2.2 Un as de perte d'hyperboli ite normale . . . 36

1.3 Appli ationdes te hniques de varietelente . . . 43

1.3.1 Prols visqueux pour des ondes progressives solutions d'equationshyperboliques/paraboliquesave termesour e. 43 1.3.2 Le probleme des roll-waves . . . 44

1.3.3 Existen e d'orbites periodiques . . . 53

1.3.4 Eliminationdes \autres" solutions entropiques . . . 56

2 Etude de la stabilite lineaire des Roll-Waves 59 2.1 Introdu tion . . . 60

2.2 Formulation of the spe tral problem . . . 66

2.2.1 Dressler analysis . . . 66

2.2.2 Spe tral problem omputation . . . 69

2.3 Linear stability of roll-wavesfor Burgers equations. . . 77

2.4.1 Asymptoti expansion of g (i+1)L

;r (i+1)L

81 2.4.2 Asymptoti expansion of g(iL)

+ ;r(iL)

+

. . . 87

2.5 Proof of theorem 1for large Im() . . . 93

2.5.1 Asymptoti expansion of the resolvent matrix . . . 94

2.5.2 Con lusion and proof of theorem 1for large Im() . . 96

2.6 Stability of Dressler roll-waveswhen S !0. . . 103

2.6.1 The ase of O(S)unstable eigenvalues . . . 103

2.6.2 The ase of O(1) unstable eigenvalues . . . 105

3 Phenomenederoll-wavespourlesequationsdeSaintVenant ave fondperiodique et dans lep-systeme ave terme sour e115 3.1 Introdu tion . . . 115

3.2 InstabilitesdanslesequationsdeSaintVenant:miseeneviden e d'un nombre de Froude ritique . . . 117

3.2.1 Existen e d'unesolution stationnaireperiodique . . . . 117

3.2.2 Analyse de stabilitelineaire . . . 118

3.3 Existen e de roll-waves dans lep-systeme . . . 121

3.3.1 Formulationdu probleme . . . 121

3.3.2 Roll-waves de petite amplitude . . . 123

3.4 Roll-wavesdanslesystemede SaintVenantave fondperiodique135 3.4.1 Roll-waves de petite amplitude . . . 135

3.5 Con lusion et perspe tives . . . 136

4 Existen edebreathersdans lesreseauxdeFermiPasta Ulam diatomiques 141 4.1 Introdu tion . . . 142

4.2 Formulation of the mathemati alproblem . . . 147

4.3 Spe tral properties of the linearized operator . . . 149

4.4 Centre manifold redu tion . . . 154

4.4.1 Redu tion theorem . . . 155

4.4.2 Symmetries . . . 156

4.4.3 Centre manifold omputation . . . 161

4.4.4 Normal form omputation . . . 164

4.5 Study of the redu ed mapping . . . 173

4.6 Breathers and \dark" breathers . . . 180

4.6.1 Existen e results . . . 181

4.6.2 Dis rete breathers geometry . . . 185

5 Existen e de breathers dans les ha^nes de spins 205 5.1 Introdu tion . . . 206

5.3.1 Equations of motionand linear spe trum analysis . . . 209

5.3.2 Existen e of \out of plane"breathers . . . 211

5.4 Existen eof smallamplitude breather ineasyaxisferromagnets215 5.4.1 Formulationof the mathemati al problem . . . 216

5.4.2 Spe tral properties of the linearized operator . . . 217

5.4.3 Centre manifold and normalform omputation. . . 219

5.4.4 Homo lini solutions of the redu ed mapping. . . 221

5.5 Con lusion . . . 223

6 Stabilite des breathers\out of plane" dans la limite anti on-tinue 227 6.1 Rappel des equations et al ul de lasolutionstationnaire . . . 228

6.2 Etude de la stabilitelineairede lasolution stationnaire . . . . 228

6.3 Analyse de stabilitedu systeme omplet . . . 230

Depuis es quinze dernieres annees, les te hniques issues des systemes dyna-miquesendimension innieonteu denombreuses appli ationsen me anique des uides ou en ore dans l'etude de la dynamique des reseaux dis rets. Pour la me anique des uides, on peut iter l'existen e d'ondes progres-sives internes dans des uides straties ([24℄, [23℄) omme les solitons ou en ore les nanopterons, l'existen e et la stabilite d'ondes progressives pour des uides ayant une faible tension de surfa e ([18℄,[20℄,[6℄) par des te h-niquesderedu tionaunevarieteinvariante(variete entrale,varietesstables et instables) et des te hniques de bifur ations en dimension innie. Pour la dynamique des systemes dis rets, es te hniques ont permis d'etudier l'exis-ten e et la stabilite d'ondes progressives dans les reseaux de Klein Gordon oude Fermi-Pasta-Ulam([21℄, [22℄, [15℄).

Dans e travail, on va d'abord appliquer es te hniques pour demontrer l'existen e et la stabilite des "roll-waves". C'est un phenomene apparais-santgeneralementdanslese oulementseneaux peu profondessurune pente faible(le fond pouvant ^etre plat ouperiodiquement module). On utilise en-suitela redu tion a unevariete entrale pour des mappingsquasilineairesen dimensioninniepour demontrer l'existen e de \breathers"dans lesreseaux Fermi-Pasta-Ulam diatomiques et dans les reseaux de spins. Les breathers sont des os illations periodiques lo alisees spatialement apparaissant dans les reseaux dis rets du fait de la non linearite des equations de rivant la dynamiquede la ha^ne etle ara tere dis retdu reseau [11℄.

0.1 Existen e et stabilite des roll-waves dans un anal a fond plat ou periodique

L'apparition des roll-wavesest un phenomene frequemment ren ontre en hydraulique [50℄,[44℄. On les observe generalement dans des onstru tions ommedesbarrages,despassesapoissonsouen oredesrivieresdefaible pro-fondeur[34℄, [35℄. Dressler [7℄lesde rit de lamanieresuivante :\touteonde progressive,periodique en espa e, apparaissantquand un liquide s'e oule de maniereturbulentesurunplanin line,leproldel'ondedes endantavitesse onstanteet sans deformation,la vitesse du liquideetanttoujours inferieure 

a elle de l'onde". C'est un phenomene indesirable puisque un ouvrage des-tine a un ot normal ne remplira plus son r^ole si le ot se transforme en roll-waves. Dans e as, l'eau peut deborder du anal. L'apparition des

roll-parois omposant le anal et de la turbulen e qui en resulte. Cornisha pris dierents li hesde roll-wavesapparaissantdans unlong analre tangulaire quialimentelela Thune danslesAlpes[4℄. D'unpointde vueexperimental, on peut simuler e type d'e oulement dans des ban s in linables, un fond mobile entraine par un moteur simulant le lit du anal. Ce dispositif a ete trest^otmisen pla e pour etudierles onditionsd'apparitionsdes roll-waves [40℄,[41℄,[46℄. Plus re emment, on peut iter les experien es menees a l' Ins-titut de Me anique des Fluides de Toulouse pour simuler des e oulements dans un anal a fondperiodique [35℄.

Pour de rire es e oulements, on hoisit le modele de Saint Venant auquel onrajouteun termeempirique de fri tion d^u aChezy[56℄

h t +(hu) x =0; (hu) t +(hu 2 +G h 2 2 ) x =GhS C f u 2 ; (1)

ouhdesignelahauteur de uideenx,ulavitessedu uide.OnaS =tan() ou  represente l'in linaison du anal et C

f

la resistan e des parois. Enn ona G=g os() oug represente la onstante de gravite.On peut e rireles equationsde Saint Venanta partirdes equations d'Eulerafrontierelibre au moyende developpementsmultie hellesdans lalimite desgrandes longueurs d'onde[58℄,[45℄.Des modelesplus simplespossedent aussides solutions roll-waves : par exemple l'equation de Burgers ave ou sans vis osite

u t +(u+ )u x =u+u xx : (2)

Pour e modele, Novik [43℄ a demontre l'existen e de roll-waves ontinues onvergeant vers des roll-wavesdis ontinues lorsquelavis ositedevient pe-tite. Pour lemodele de Saint Venant (1), Dressler [7℄ a etabli l'existen e de roll-waves dis ontinues en reliant sur une periode deux solutions ontinues parti ulieres par une dis ontinuite satisfaisant les onditions de Rankine-Hugoniot. Needham et Merkin [42℄ ont analyse un modele de Saint Venant \visqueux" en rajoutant dansladeuxiemeequationde (1) un termedu type hu

xx

et prouve par une bifur ation de Hopf l'existen e a  xe de solutions roll-waves ontinues de petite amplitude.

Dans le premier hapitre, on va faire tendre la vis osite  vers 0 dans le modele de Saint Venant "visqueux" et faire le lien ave le systeme non vis-queux. Pour le systeme (1), on peut generaliser l'appro he de Dressler et onstruire toute une famille de solutions entropiques de type onde progres-sive periodique dis ontinue en m^elant deux ou plusieurs periodes ou en ore des solutionspresentant despointsd'a umulationde dis ontinuites. Ces so-lutions entropiques n'ont au un sens physique et il appara^t que le ritere

quement a eptablesest insuÆsant. On introduit don un ritere plus n de limitevisqueuse.

Denition 1 Onditqueusolutiond'ondeprogressivedevistesse dusyteme

(f 0

(u) )u 0

=g(u);

est limitevisqueuse si il existe une suite  n

qui onverge vers 0, une suite n qui tend vers et u

 n

de solutions du systeme

(f 0 (u) n )u 0 =g(u)+ n u xx ;

qui onverge vers u lorsque n !1.

Onprouvequelesroll-waves onstruitesparDresslersontlesseulessolutions d'ondes progressives periodiques de type limite visqueuse des equations de Saint Venant. On demontrera l'existen e de roll-waves ontinues de taille O(1)pro hesdes roll-waves onstruitesparDresslerpourlesystemede Saint Venant visqueux lorsque  est pro he de 0. Le probleme se reduit a l'etude d'uneequationdierentielle de la forme

u 00

=p(u)u 0

q(u): (3)

Lorsque  = 0, le systeme possede une variete M 0

= f(x;y)=y = q(x) p(x)

g in-variante. Sous une hypothese d'hyperboli ite normale, il existe une variete \lente" invariante M



pour  pro he de 0 et on peut de rire pre isement le omportement des solutions au voisinage de ette variete [27℄. En parti u-lier, on montre que la variete lente s'e rit M



= f(x;y)=y = q(x) p(x)

+O()g. L'equation issue du systeme de Saint Venant presente ependant une perte d'hyperboli itenormale(appele" anard"en analysenon standard).Dans e as,onpeutmontrerl'existen e devarieteslo alementinvariantes M

+ 

etM  

a droite et a gau he de e point singulier dans un voisinage d'ordre O( p

 ) de lavarietelentede referen eM

0

. Engeneral es varietesne oin identpas en e point.Deplus,lorsqu'onprolonge esvarietesaudelade lasingularite, elles sont tres rapidement eje tees de M

0

. Cependant, on va montrer qu'en perturbant lesysteme initialde la maniere suivante

u 00

=(p(u)+s)u 0

q(u); (4)

onpeut faire oin ider es deux varietespour une valeur donnee de s=s() et onstruireune varietelenteinvarianteM

ep

pour lesysteme (4) etdans un voisinage d'ordre O(

p

 ) de la variete M 0

lesvarietesM 

ne oin identpasmaisonpeut ontr^olerleureje tionde M 0

. On applique d'abord es resultats a l'etude des limites visqueuses pour les equations hyperboliques s alaires ave un terme sour e. Pour le systeme de SaintVenant,on onstruiraune appli ationdePoin ared'abord enetudiant le systeme lent par les te hniques de variete invariante puis en etudiant le systeme rapide gouverne par les onditions de Rankine Hugoniot. On mon-trera alors l'existen e de points xes qui orrespondent a des solutions roll-waves. Des theoremesplus generaux ([32℄,[33℄)permettent d'etudier e type de probleme ([16℄,[17℄) mais l'appro he presentee i iest pluselementaire et permet des demonstrationsplus ourtes.

Dans ledeuxieme hapitre, onetudie le probleme de lastabilite lineairedes roll-wavesde Dressler. C'est un probleme lassique qui aete peu traite. T a-madaet Tougou[52℄ ont realiseune premiere analyse de stabilitelineairede roll-wavespour des ots laminairesde faible profondeur. Ils ont al uleune relationdedispersionimpliquantlastabilitelineairedesroll-wavesdegrande longueurd'onde. Cependantleurappro hen'estpasrigoureused'unpointde vuemathematique arilsnegligentleseetsdumouvementdesdis ontinuites ettravaillentdansdes espa es de perturbations nonphysiques. Kevorkian et Yu[58℄ ont realisedes al ulsasymptotiques lorsquele ot uniforme est fai-blementinstableetonte ritdesequationsappro heesde prolsdessolutions pour des onditions initiales periodiques oulo alisees. Ilsetablissenten par-ti ulier que pour une ondition initiale somme de fon tions periodiques, la solution onvergeverslaroll-wavedeDresslerdeplusgrandeperiodespatiale e qui tenda onrmer quelesroll-wavesde grandes longueurs d'ondes sont stables. Plus re emment, Sinestrari a demontre l'instabilite de solutions de typeroll-wavespour lesequations hyperboliques s alaires ave terme sour e [48℄.

Le probleme essentiel pour l'etude de la stabilite lineaire des roll-waves est duealapresen ed'unedistributioninniededis ontinuites.Pour ontourner ette diÆ ulte, on utilise une nouvelle appro he inspiree de la demar he de Majdapourl'etudede lastabilitelineairedes ho sdans lessystemes hyper-boliques [39℄(voiregalement[47℄et[5℄pourdes referen esplus generalessur lessystemeshyperboliques nonlineaires).Dans e as, ontravailledans l'es-pa e desfon tions ave unedis ontinuite pro he de ladis ontinuitedu ho , es fon tions etant regulieres en dehors de la dis ontinuite. Au moyen d'un hangement de repere, on xe la dis ontinuite a l'origine : le ho devient alors une solutionstationnaire du systeme etudie.On lineariseles equations auvoisinagede e ho surlesdomainesoulesfon tionssontregulieresd'une partetles onditionsdeRankine-Hugoniotd'autrepart.Onpeutalorse rire leproblemespe tral asso ieetetudierlastabilitelineairedu ho .Cette ap-pro he a egalement ete utilisee ave su es pour l'etude de la stabilite des

pa e des fon tions regulieres par mor eaux ave une distribution des ho s pro he de eux de la roll-wave onsideree. On xe les ho s a l'aide d'un hangement de variable aÆnepar mor eaux: lesroll-wavesdeviennentalors des solutions stationnaires et on linearise le systeme de Saint Venant sur les zones regulieres et les onditions de Rankine-Hugoniot pour les dis on-tinuites. On obtient ainsi le probleme spe tral asso ie a la stabilite lineaire d'uneroll-wave de longueur d'onde L.

Trouver  2 C, (h;v) deux fon tions C 1

par mor eaux ave des dis- ontinuites aux points fiL;i 2 Zg, une suite bornee (

i ) i2Z 2 R tel que lim !1 k(h;v)()k=0 et (h;v; i

) veriant lesysteme dierentiel

(v h) 0 +h=  i +  iL L ( i+1  i )
H 0 (GH V 2 H 2 )h + ( 2V H )v
0 + + v =(GS + 2C f V 2 H 3 )h 2C f V H 2 v+ +  i+1  i L GH 2 2 + K 2 H
0 + +  i +  iL L ( i+1  i )
V 0 (5)

82℄iL;(i+1)L[;i2Z etles valeursaux points de dis ontinuite fiL;i2Zg verient les onditionsde Rankine-Hugoniot linearisees

[v h℄ iL = i [H℄ iL ;  (GH V 2 H 2 )h+( 2V H )v  iL = i  [H℄ iL : (6)

Lafon tionH;V designel'equationduprol ontinudelaroll-wave onstruite par Dressler sur lesintervalles I

i

=℄iL;(i+1)L[.

Le probleme spe tral (5,6) obtenu est un ensemble inni de systemes dif-ferentiels ayant tous une singularite. On ne peut integrer expli itement e probleme. Pour poursuivre le al ul, une dire tion est la re her he d'asymp-totique.Unpremierresultat on ernelastabilitelineairedes roll-wavesdans lalimite des grandes longueurs d'onde.

Theoreme 1 Il existedeuxfon tionsr 1

etr 2

, roissantes,etL 0

tel quepour tout (;L) veriant R e()>r

1 (L)ou L>L 0 et Im()>r 2 (L),  n'est pas valeur propre du problemespe tral (5,6).

Autrement dit, le probleme spe tral asso ie a la stabilite lineaire des roll-wavesne possedepas de valeurspropresinstablesde grandmodule.On peut don envisageruneetudenumeriquesur lesvaleurspropresinstablesdansun

on suppose l'existen e de valeurs propres instables arbitrairement grandes. On al ule alors un developpement asymptotique des ve teurs propres as-so ies. La ontradi tion vient de l'in ompatibilite des valeurs des ve teurs propresauxpointsdedis ontinuitesave les onditionsdeRankine-Hugoniot linearisees. Pour on lure etteetude,on s'interesse adeux situationsouon peut mener des al uls expli ites. On s'interesse d'abord aux equations de Burgers eton prouve que lesroll-wavessontlineairementinstables. On ana-lyseensuitelastabilitedesroll-wavesdeDresslerquandlapentetendvers0 danslesequationsde SaintVenant(1). A l'aidedu theoreme1,ondemontre leresultat suivant.

Theoreme 2 Pour   0, il n'y a pas de valeurs propres instables O(1) et pasdevaleurspropresinstables O().Il existe

0

>0tel quepour0< < 0

, les roll-waves sont lineairement stables.

Le troisieme hapitre est onsa re a l'etude d'e oulements de faible pro-fondeurdansun analave unepentefaibleetunfondperiodiquefaiblement module.Cetteetudeestmotiveeparlesdierentesexperien esetsimulations numeriques menees a l'Institut de Me anique des Fluides de Toulouse [35℄ quiont misen eviden el'existen e de formationsde typeroll-wavesetd'une sele tion de la longueur d'onde orrespondant au double de la periode du fond. On etudiera dans e hapitre l'existen e du phenomene de roll-waves pour lesysteme de Saint Venant, le l ondu teur etant l'etude des instabi-lites lorsque le nombre de Froude de l'e oulement depasse un seuil ritique. On etudiera egalement un systeme pro he : le p-systeme ave terme sour e lorsqu'on ajoute une faiblemodulationspatiale

u t +v x =0; v t +p(u) x =f(u)+b 0 (x) v: (7)

Pour le p-systeme, on peut iter entre autres les travaux de Vila [56℄ sur l'existen e de ertaines solutionsglobales C

1

(voiregalement [19℄).

On diagonalise le systeme en introduisant le hangement de variable r = v+(u) ets=v (u) dans (7)

r t + r p 0 Æ 1 ( r s 2 )r x =b 0 (x)+fÆ 1 ( r s 2 ) r+s 2 ; s t r p 0 Æ 1 ( r s 2 )s x =b 0 (x)+fÆ 1 ( r s 2 ) r+s 2 : (8)

Pour demontrer l'existen e de roll-waves, ons'inspiredes methodes utilisees pour etudierlastabilitelineaire des ondesde ho s[39℄, [47℄, des transitions

roll-waves dans le hapitre 2. On se pla e don dans l'espa e des fon tions regulieres par mor eaux ave des ho s se propageant a une vitesse presque onstante. On fait alors un hangement de variable pour xer les ho s qui doivent verier les onditions de RankineHugoniot.

0 (t)= [pÆ 1 ( r s 2 )℄ [ r+s 2 ℄ = [ r+s 2 ℄ [ 1 ( r s 2 )℄ :

On se xe une longueur d'onde L pour la roll-wave (r;s) et on travaille sur l'ensemble C

1

(℄0;L[T) des fon tions periodiques en temps.On rempla e 0 dans lesequations en fon tion des valeurs de (r;s) aux bords. Le probleme est le suivant. Trouver (r;s)2C 1 (℄0;L[T) 2 tel que r t +( r p 0 Æ 1 ( r s 2 ) [ r+s 2 ℄ L 0 [ 1 ( r s 2 )℄ L 0 )r x =b 0 (x)+f Æ 1 ( r s 2 ) r+s 2 ; s t ( r p 0 Æ 1 ( r s 2 )+ [ r+s 2 ℄ L 0 [ 1 ( r s 2 )℄ L 0 )s x =b 0 (x)+f Æ 1 ( r s 2 ) r+s 2 : (9) Les valeurs aux bords doivent verier

[pÆ 1 ( r s 2 )℄ L 0 [ r+s 2 ℄ L 0 = [ r+s 2 ℄ L 0 [ 1 ( r s 2 )℄ L 0 :

On obtient alors la solution roll-wave en translatant le prol obtenu. La demar he est stri tement identique pour le systeme de Saint Venant ave fondperiodique.

Dans un premier temps, on essaie d'aborder la question des roll-waves de tailleO(1). On suit une demar he similairea elle introduite par Dressler et onanalyse la stabilitede solutionsstationnaires pour lesequations de Saint Venant a fond periodique (voir egalement [54℄). On montre d'abord l'exis-ten e d'une solution stationnaire 1-periodique en espa e. Ensuite on etudie la stabilite lineaire de ette solution stationnaire pour des perturbations n-periodiques etonderiveune relationdedispersion.Lorsque0,onmontre par un theoreme des fon tions impli itesl'existen e d'un nombre de Froude ritiqueF

=F

(;n) audela duquellasolutionstationnairedevientinstable dansl'espa e des fon tions n-periodiques.On montre d'abord quele nombre de Froude ritique est independant de n pour  = 0 et F

(0;n) = 2. On donnera egalement un developpement limitede F

au voisinage de  = 0 et onmontrera queles plus grandes longueurs d'ondes sont lesplus instables.

amplitude lorsque le nombre de Froude F > 2. Pour trouver une asymp-totique pertinente, on s'inspiredes methodes de relaxation utilisees par Jin [28℄. On re her he des solutionsr =r

0 +R (;t;) et s=s 0 +S(;t;) ou  = x (t)  et R (t;:);S(t;:) 2 C 1

( 1;1). Pour le p-systeme, le ouple (R ;S) verie le systeme

R t + p 00 (u 0 ) 4p 0 (u 0 ) (R R (1;t)+R ( 1;t) 2 +O())R  =AR BS+b 0 ( 0 t)+O();(10) S t 2 0  (1+O())S  =AR BS+b 0 ( 0 t+)+O() (11) etla ondition aux bords

S(1;t)=S( 1;t)+RH(S( 1;t);R ( 1;t);R (1;t);) (12) ouA= 1 2 ( F 2 1),B = 1 2 ( F 2 +1) et 0 = p p 0 (u 0 ).

Lepetitparametreinduitunedynamiquelente/rapidesurlesysteme(10),(11). Cederniereste ritenvariablelente.Pour=0,la"variete"lenteestdonnee par S(t;)=S(t) et le ot sur ette variete est donnee par une equation de Burgers R t + p 00 (u 0 ) 4p 0 (u 0 ) (R R (1;t)+R ( 1;t) 2 )R  =AR BS+b 0 ( 0 t) (13)

qui possede des solutions de type roll-waves si et seulement si A > 0 soit F >2.

Pour demontrer l'existen e de roll-wavespour 6=0,on suit la demar he de Feni hel (on est ette fois en dimension innie). En xant R , on demontre qu'ilexiste S solutionde ladeuxiemeequation de (11)ave la ondition aux bords (12) et S(;t) = S(R )(t)+O(). On demontre ainsi l'existen e d'un "graphe" invariant. On al ule le ot sur e graphe en inje tant la relation obtenuedanslapremiereequation.Onobtientalorsl'existen ed'unesolution de type roll-wavespar une methode de pointxe.

0.2 Existen e de breathers dans les reseaux FPU diatomiques et les ha^nes de spins

Dans ette deuxieme partie, on va montrer l'existen e d'os illations non lineaires lo alisees appelees \breathers" pour dierents systemes dis rets de

s'interessera en parti ulier aux reseaux FPU diatomiques et aux ha^nes de spins de rites lassiquement par lesequations de Landau-Lifshitz.

Les breathers sont des os illationsperiodiques, lo alisees spatialement dans des reseaux de parti ules ouplees non lineairement.Ellesapparaissentdans beau oupdesystemesdufaitdel'intera tionentrelanonlinearitedusysteme etson ara tere dis ret. Ontrouve don de nombreuses appli ationsen phy-sique notamment la physique de la matiere ondensee ou en ore la biophy-sique. D'un point de vue experimental, es os illationslo alisees ontete ob-servees dans des systemes ouples de jon tions de Josephson [55℄, dans des reseauxde bres optiques ouplees faiblement[8℄,[13℄,des ristauxde faible dimension [51℄ ou dans des systemes biologiques [57℄. De nombreuses simu-lationsnumeriques sur les modeles de Fermi-Pasta-Ulamou en orede Klein Gordon ont egalement mis en eviden e e phenomene. La premiere preuve rigoureused'existen ede breatherspourlessystemesdeKleinGordonrepose sur la methode de la limite anti ontinue (voir Aubry et Ma Kay [37℄). On part d'un systeme de parti ules de ouplees : on a alors trivialement l'exis-ten edebreathersave unouplusieurssitesex ites,lesautresetantaurepos. Le ouplageest onsidere ommeunparametre.Pourdes ouplagespetits,on peut au moyen d'un theoreme des fon tionsimpli itesprolonger de maniere ontinue es solutions breathers. Cette methode fon tionne egalement dans lesreseaux Fermi Pasta Ulamdiatomiquespour des rapports de masses tres grands:danslalimitedurapportde masseinni,lesgrossesmassessont im-mobiles alors que les petites bougent independamment [36℄. Cette methode ne fon tionne pas pour les systemes de Fermi Pasta Ulam monoatomiques ou pour des rapports de masses intermediaires. James a prouve l'existen e de breathers de petite amplitude pour des potentiels durs en utilisant des te hniquesde redu tion aune variete entrale pour des mappings([25℄,[26℄). Dans le hapitre 4, presente sous forme d'arti le, on adopte ette te hnique pourdemontrerl'existen edebreathersdepetiteamplitudedansdesreseaux FPUalternantgrandesmassesm

2

etpetitesmassesm 1

.Cesystemeestde rit par l'ensemble inni d'equations

m n d 2 dt 2 x n =V 0 (x n+1 x n ) V 0 (x n x n 1 ); (14) oum 2n+1 =m 1 ,m 2n =m 2 ,x n

representeledepla ementdesmassespar rap-port a leur position d'equilibre et V est un potentiel d'intera tion regulier veriant en plus V

0

(0) = 0 et V 00

(0) > 0. On formule le probleme omme un mappingdans des espa es de fon tionsperiodiquesetonutiliseune te h-nique de redu tion a une variete entrale pour des mappings quasilineaires en dimension innie. Lessolutionsd'ondes progressives du systeme linearise

a oustique orrespondantades frequen es inferieures.Lorsquelesfrequen es sont pro hes des bords de es bandes toutes les solutions bornees de petite amplitudeappartiennentaunevarietededimensionnie equireduitl'etude 

a elled'unmappingen dimensionnie.Lorsquelepotentielveriela ondi-tion de potentieldur

1 2 V 00 (0)V (4) (0) V (3) (0) 2

>0, on trouve des breathers dis retsdefrequen es audessusdelabandeoptiqueetaudessusdelabande a oustique.Lorsquelepotentielveriela onditionopposeedepotentielmou

1 2 V 00 (0)V (4) (0) V (3) (0) 2

<0, ontrouve des breathers de frequen ejuste en dessous de labande optique. Les breathers possedent des symetries heritees du systeme initial qui permet en plus de de rire leur geometrie. C'est un element important pour etudier leur stabilite lineaire. On montre ainsi le theoreme suivant.

Theoreme 3 On xe B = 1 2 V 00 (0)V (4) (0) V (3) (0) 2 et m 1 , m 2 ave m 2 > m 1

. Le probleme (14) possede les familles de breathers parametrees par leur frequen e !. i)Pour B <0, !! =  2 m1  1=2 et !<!

, il existedes solutions breathers dis rets x 1 n , x 2 n

ayant les symetries

x 1 n (t)= x 1 n 2 (t+  ! ); x 2 n (t)= x 2 n (t): ii) Pour B > 0, !  ! = h 2( 1 m 1 + 1 m 2 ) i 1=2 et ! > ! , on a des solutions breathers dis rets x 1 n , x 2 n

ave les symetries

x 1 n (t)= x 1 n 2 (t+  ! ); x 2 n (t)= x 2 n (t+  ! ): iii) Si B > 0, m 2 m1 2 (k 2 ;k(k+2)) (pour un k  1), !  ! =  2 m2  1=2 et !>!

, les solutions breathers dis rets x 1 n

, x 2 n

existent et ont les symetries

x 1 n (t)= x 1 n 2 (t); x 2 n (t)= x 2 n (t+  ! ):

Dans tous les as, es solutions ont la forme

x i n (t)=d n +X i n (t) o u X i n

a une moyenne temporellenulleet kX i n k

L

1 de ro^t exponentiellement quand n !1. Le termestationnaire d

n veried n =O(j! ! j) pour tout n xe, lim n!1 d n =O(j! ! j 1=2

) et a la forme d'un kink si V (3)

Les parties os illantes X n

ont la forme suivante. Dans le as i) X i 2n (t)=O(j! ! j); X i 2n 1 (t)=A n os(!t)+O(j! ! j); (15)

dans le as ii)

X i 2n (t)= mA n os (!t)+O(j! ! j); X i 2n 1 (t)=A n os(!t)+O(j! ! j); (16) dans le as iii)

X i 2n (t)=A n os(!t)+O(j! ! j); X i 2n 1 (t)=O(j! ! j); (17) o u 0<A n Cj! ! j 1=2  jnj ,  =1+O(j! ! j 1=2 )>1.

Lesresultatsobtenussont oherents ave lessimulationsnumeriques menees par Kiselev etal.[30℄,Fran hinietal.[14℄, sur des modeles de ristaux K-Br et Li-I (ave des rapports de masses

1 2

et 1 18

). Ils ompletent l'appro he du probleme par Livi, Spi iet Ma Kay [36℄ ou onexaminaitla limite anti on-tinue des grands rapports de masse.

Dans le hapitre 5, egalement presente sous forme d'arti le, on etudie des reseaux de spins lassiques ferromagnetiques ave une anisotropie lo ale. Le systeme est de rit lassiquement par lesequations de Landau-Lifshtiz:

_ x n = 1 2 [J y z n (y n 1 +y n+1 ) J z y n (z n 1 +z n+1 )℄ 2Dy n z n ; _ y n = 1 2 [J z x n (z n 1 +z n+1 ) J x z n (x n 1 +x n+1 )℄+2Dx n z n ; _ z n = 1 2 [J x y n (x n 1 +x n+1 ) J y x n (y n 1 +y n+1 )℄; n2Z; (18) oux n ;y n ;z n

designent les omposantes du n-ieme spin veriant la ondition de normalisation x 2 n +y 2 n +z 2 n =1; n 2Z: (19) Les onstantes J x ;J y ;J z

sont les integrales d'e hange et D represente la onstanted'anisotropielo ale.Onva onsidererJ

x 0,J y 0etJ z >0.On va etudier la dynamique au voisinage de deux equilibres du reseau (i.e. une solution statique de (18) minimisant une fon tionnelle d'energie). Dans un premiertemps,ons'interesseaune ha^neferromagnetiqueave une anisotro-pie\easyplane"oul'etatd'equilibreestdonneparx

n =1;y n =z n =0.On utilisera la methode de la limite anti ontinue pour prouver rigoureusement l'existen e des breathers \out of plane" dans lesquels un ou plusieurs spins tournent autour d'un axe prin ipal (\hard axis" qu'on supposera ^etre l'axe

Ces breathers possedent un seuil en energie etune magnetisationlo alisee. On etudiera ensuite la dynamique dans une ha^ne ferromagnetique ave une anisotropie "easy axis" ou l'etat d'equilibre est donne par z

n = 1 et x n =y n

=0.Onvautiliserleste hniquesdevariete entralepouretendreles resultatsd'existen e obtenusdanslalimiteanti ontinue parFla hetSpeight dans le as d'une forte anisotropie d'e hange J

x ;J y << J z [12℄ ou dans la limite d'e hanges isotropestres petits J

x ;J y ;J z <<jDj [49℄. Le resultat ob-tenu est lesuivant.

Theoreme 4 On note = Jx J z ,  = J y J z et d = D J z . Dans le domaine 0< < 4(1+2d) 5 5(1+2d) 4 (1+2d) etpour !! (! 2 =( (1+2d))( (1+2d))) et! <! , on al'existen e de breathers dis rets de periode

2 Jz!

.

Dansledernier hapitre,onetudielastabilitelineairedesbreatherstype\out ofplane"danslalimiteanti ontinue.Dans e as,leste hniquesutiliseespar Aubry et Ma Kay pour demontrer la stabilite de breathers dans la limite anti ontinue ne fon tionnent pas. En eet dans la limite J

x =J y =J z =0, on retrouve une innitede fois la valeur propre 1. Lesetudes menees sur la stabilite des breathers \out of plane" ave un site prin ipal dependaient de la taille du reseau (voir [29℄ alors que les resultats lassiques sont valables pour desreseaux detailles xeesmais arbitrairementgrandes.On s'interesse au asoulessolutionsbreatherssont pro hes desolutionsstationnairestype "out of plane" : on prouve (numeriquement) que es solutions stationnaires sont instables et on on lut par un argument de ontinuite du spe tre. Les resultatsobtenusi i sontindependants de la tailledu reseau.

ours de D. Astru , N. Dolez,O. Thual, Equipe Ondeet Turbulen e IMFT. Photo :A.L. Le Fessant, these 2001 de l'IMFT.

(b) ( ) (d) (e) (f) (g) (h) | {z } Region M

Fig.2{Exemplesdebreathersdis rets(rotobreathers)asymetriques(de(a) 

a(d)) et symetriques (de (e) a(f)) dans unee helle de jun tionsJosephson. Photo tiree de l'arti le "Experiments with dis rete breathers in Josephson arrays",A.V. Ustinov, Universite d'Erlangen, Allemagne[53℄

[1℄ S. Aubry, G. Kopidakis and V. Kadelburg, Variational proof of hard dis rete breathers in some lasses of Hamiltonian dynami al systems, Dis rete and Continuous Dynami alSystems B 1 (2001),p. 271-298. [2℄ S. Benzoni, Stability of multidimensional phase transition in a van der

Waals uid, NonLinear AnalysisTMA, vol31, n o

1=2, 1998, p243-263. [3℄ S. Benzoni, Stability of subsoni planar phase boundaries in a van der

Waals uid, Ar h. Rat. Me h. Anal.150, n o

1,1999, p 23-55.

[4℄ V. Cornish, O ean waves and Kindred Geophysi al Phenomena, Cam-bridge University Press, 1934.

[5℄ C. Dafermos, Hyperboli Conservation Laws in Continuum physi s, Springer, Heidelberg, 2000.

[6℄ F. Diasand G.Iooss,Capillary solitarywaves with dampedos illations, Physi a D 65(1993), p399-423.

[7℄ R. Dressler : Mathemati al Solution of the problem of Roll Waves in in linedopen hannels.CPAM,1949, pp. 149-190.

[8℄ H.S. Eisenberg, Y. Silberberg, R. Morandotti, A.R. Boyd and J.S. Ait- hison, Phys. Rev. Lett. 81, 3383 (1998); R. Morandotti, U. Pes hel, H.S. Eisenberg and Y. Silberberg, Phys. Rev. Lett. 83, 2726 (1999). [9℄ N. Feni hel, Geometri singular perturbation theory for ordinary

die-rentialequations,J. Di.Eq. 31(1979), p53-98.

[10℄ S.Fla h,Existen eof lo alizedex itationsin nonlineardis rete systems, Phys. Rev. E 50(1994), 3134.

[11℄ S.Fla h and C.R.Willis, Dis rete Breathers, Phys. Rep. 295 (1998) p. 181.

[12℄ S. Fla h, Y. Zolotaryuk and V. Fleurov, Dis rete breathers in lassi al spin latti es, Phys. Rev.B63, 214422(2001).

[13℄ J.W. Fleisher, M.Segev, N.K. Efrimidisand D.N. Christodoulides, Na-ture, 422, 147 (2003).

the bulk and atthe surfa e of anharmoni diatomi hains, Phys RevB 53(1996), No.9, p.5420-5429.

[15℄ G. Friese ke and R.L. Pego, Solitary waves on FPU latti es : I. Quali-tative properties, renormalization and ontinuum limit, Nonlinearity 12 (1999),p. 1601-1627.

[16℄ J.Harteri h,Vis ousprolesfortravelingwaves of s alar balan elaws : The anard ase.,PreprinttoappearinMathemati alAnalysisand Ap-pli ation,2000.

[17℄ J. Haerteri h, Homo lini bifur ations and roll-waves in shallow water equations with small vis osity, preprint 2002.

[18℄ M.HaragusandA.S heel,Finite-wavelengthstabilityof apillary-gravity solitary waves,Comm. Math. Phys. 225 (2002), 487-521.

[19℄ L.HsiaoetD.Serre,Asymptoti behaviorof largeweakentropysolutions of the damped P-system, J. Partial Dierential Equations, vol. 10, n

o 4, 1997, pp. 355-368.

[20℄ G.IoossandK.Kir hgassner,Waterwavesforsmall surfa etension.An approa h via normal forms, Pro .Roy.So .Edinburgh.,122A(1992),p 267-299.

[21℄ G.Iooss,Travellingwavesin theFermi-Pasta-Ulamlatti e,Nonlinearity 13(2000), p.849-866.

[22℄ G.IoossandK.Kir hgassner,Travellingwavesina hain of oupled non-linear os illators, Com. Math. Phys. 211 (2000), p.439-464.

[23℄ G. Iooss, Capillary and Capillary Gravity periodi traveling waves for two superposed uid layers, one being of innite depth, J.Math. Fluid. Me h 1(1999), p24-61.

[24℄ G.James, Ondes progressives internes dans la limite d'une densite dis- ontinue, These de l'Institut Non Lineaire de Ni e(1999).

[25℄ G. James, Existen e of breathers on FPU latti es, C.R.A ad.S i.Paris, t.332, Serie I (2001),p.581-586.

[26℄ G.James,Centremanifoldredu tionfor quasilinear dis retesystems, J. NonlinearS i. 13(2003),No.1, p.27-63.

[27℄ C.K.R.T. Jones, Geometri singular perturbation theory, vol. 1609 of Springer Le tures Notes Math. Springer, 1999, pp 44-120.

[28℄ S. Jin Y.J. Kim : On the omputation of roll-waves. M2AN Math.Model.Numer.Anal 35, 2001,No3, pp. 463-480.

in lassi al ferromagneti latti es with easy plane anisotropy, preprint (2002).

[30℄ S.A. Kiselev, S.R. Bi kham and A.J. Sievers, Anharmoni gap mode in a one-dimensional diatomi latti e with nearest-neighbor Born-Mayer-Coulombpotentialsanditsintera tionwithamass-defe timpurity,Phys Rev B 50 (1994),number 13, p. 9135.

[31℄ C.Kranenburg :On theevolution ofroll-waves.J.Fluid.Me h245,1992, pp. 249-261.

[32℄ M. Krupa and P. Szmolyan, Relaxation os illations and Canard explo-sion, J. Di.Eq. 174 (2001), p312-368.

[33℄ M. Krupa and P. Szmolyan, Extending geometri singular perturbation theory to non hyperboli points- fold and Canard points in two dimen-sions,SIAM J.Math. Anal. 33(2001), p266-314.

[34℄ Larinier et Chorda, Prise en ompte de la migration des poissons lors de la on eption des ouvrages de retablissement des e oulements natu-rels dans les amenagement routiers ou autoroutiers, Te hni al report, CEMAGREF, CSP, INPT, GHAAPPE, Toulouse,1995.

[35℄ A.L. Le Fessant, Etude des instabilites d'un e oulement a surfa e libre sur un fond a geometrie periodique,these de l'IMFT, 2001.

[36℄ R.Livi,M.Spi iandR.S.Ma kay,Breathers onadiatomi FPU hain, Nonlinearity 10(1997), p.1421-1434.

[37℄ R.S. Ma Kay and S. Aubry, Proof of existen e of breathers for time reversible or Hamiltonian networks of weakly oupled os illators, Nonli-nearity 7,1623 (1994).

[38℄ R.S.Ma KayandJ-A.Sepul hre,Stabilityof dis retebreathers,Physi a D119, 148 (1998).

[39℄ A.Majda,Thestabilityofmultidimensionalsho kfronts,MemoirsAmer Math So , vol.275, 1983.

[40℄ Mayer, Roll-waves and slug ows in in lined hannals, Trans, ASCE, 1965, pp. 505-535.

[41℄ Morris, Hydrauli s of energydissipation in steep, rough hannels,T e h-ni al report, Civil Engineering Departmenet, Virginia Polyte hni Ins-titute, Bla ksburg, Virginia, 1968.

[42℄ D J. Needham J H. Merkin : On Roll-Waves down an open in lined hannel. Pro .R. So .Lond. A394, pp259-278, 1984.

(1971), 938{951 (1972); translated from Prikl. Mat. Meh. 35 (1971), 986{999(Russian)

[44℄ J. Pedlovski, Geophysi al Fluid Dynami s, 2nd ED, Springer Verlag, 1986.

[45℄ B. Perthame, Derivation of vis ous Saint Venant equations for lami-nar shallow water and numeri al validation, Dis rete and Continuous Dynami alSystems B 1 (2001),pp 44-60.

[46℄ Peterson and Mohanty, Flume studies of ow in steep, rough hannels, Pro eedings ASCE, Journal of Hydrauli s Division 86, 1960, pp. 55-76. [47℄ D.Serre:Systemesdeloisde onservation,TomeI,TomeII Fondations,

Diderot Editeur,Arts et S ien es, 1996.

[48℄ C.Sinestrari:Instabilityof dis ontinuoustravellingwaves forhyperboli balan e laws J. Di.Eq. 134 (1997), pp 269-285.

[49℄ J.M.Speightand P.M. Sut lie,Dis rete breathers in anisotropi ferro-magneti spin hains, J. Phys. A 34, 10839(2001).

[50℄ J.J. Stoker: Water Waves.Pure and Applied Mathemati s, Volume 4, Inters ien es Publishers, In .New York, 1957.

[51℄ I. Swanson, J.A. Brozik, S.P. Love, G.F. Strouse, A.P. Shreve, A.R. Bishop, W.Z.Wang and M.I. Sakola,Phys. Rev .Lett. 82, 3288 (1999). [52℄ K. Tamada H. Tougou : Stability of Roll-waves on Thin Laminar Flow downan In lined Plane Wall J.Phys.So .Japan, Vol47No. 6,1979, pp 1992-1998.

[53℄ A.V.Ustinov:Experiments with dis retebreathers in Josephsonarrays, Pro .NATO ARW "Nonlinearity and disorder", Tashkent, Uzbekistan, 2000.

[54℄ O. Thual Enon e du probleme du al ul de stabilite d'un e oulement a surfa e libre sur un fond in line periodique, EPI, IFSL, 2001, pp. 1-9. [55℄ E. Trias, J.J. Mazo and T.P. Orlando, Phys. Rev. Lett 84, 741 (2000);

P.Binder,D.Abraimov,A.V.Ustinov,S.Fla handY.Zolotaryuk,Phys. Rev.Lett. 84, 745 (2000).

[56℄ J.P. VilaSurla theorie et l'approximationnumerique des problemes hy-perboliques nonlineaires. Appli ation aux equations de Saint Venant et 

a la modelisation des avalan hes de neige dense.These Univ. Paris VI. [57℄ A.Xie,L. vander Meer,W. Hoand R.H.Austin, Phys.Rev.Lett. 84,

5435 (2000).

[58℄ J.YuJ.Kevorkian :Nonlinear evolution of small disturban es into rol l-waves in an in lined open hannel.J.Fluid.Me h 243,1992, pp.575-594.

Appli ation des theoremes de

variete lente pour deux

problemes d'ondes progressives

limites visqueuses dans des

systemes hyperboliques ave

terme sour e

Les systemes hyperboliques ave terme sour e possedent en general une grande famille de solutions d'ondes progressives entropiques. On introduit don le ritere de limite visqueuse, plus sele tif que les onditions d'entro-pie. Ce i nous amene a traiter des problemes de perturbations singulieres. Dans e hapitre, on va utiliser des te hniques de redu tion a une variete invariante developpees par Feni hel [2℄ pour l'etude des equations s alaires hyperboliques ave terme sour e et pour l'analyse du systeme de Saint Ve-nant. Il existe des theoremes de bifur ations generaux pour les problemes de perturbations singulieres dans le plan [6℄, [7℄. Haerteri h ([3℄, [4℄) a ap-plique es resultats pour l'etude du systeme de Saint Venant visqueux ou dans les equations hyperboliques/paraboliques s alaires.Dans notre as, on demontreral'existen edevarietesinvariantesparunemethodeanalytique(et nongeometrique)inspireedestravauxdeSakamoto[10℄.L'appro hequenous proposons est plus elementaire et permet des demonstrationsplus ourtes.

visqueuse

1.1.1 Denitions

Dans e hapitre, on va etudier des equations s alaires ou des systemes hyperboliques ave un terme sour e de la forme

v t +F(v) x =G(v) (1.1) ou v 2 R n

, F et G sont des fon tions d'un ouvert O de R n

dans R n

\suÆ-samment" regulieres (dans les as traites, elles sont de lasse C

1

) et n = 1 ou n = 2. On etudie les solutions d'ondes progressives entropiques de (1.1) et leurs limites visqueuses. Dans tout le hapitre, on adopte les denitions suivantes.

Denition 2 Uneondeprogressiveentropiqueest unesolution de(1.1) de la forme v(x;t) = v(x t) pour une ertaine vitesse 2 R qui a les proprietes suivantes :

{ (i) v est C 1

par mor eaux sur R. Dans les regions o u v est C 1

, la fon tion v verie le systemedierentiel ordinaire

(DF(v()) Id)v 0

()=G(v()):

{ (ii)Les dis ontinuitesverientles onditionsdeRankineHugoniot: F(v(

+

)) F(v( ))= (v( +

) v( )):

Il faut rajouter en plus dans la denition une ondition d'entropie. Dans le as s alaire n = 1, ette ondition est donnee par la ondition d'Oleinik v(

+

)v( ).Onne donnerapasi ide onditionsgeneralesd'entropiepour n = 2. Cependant pour le as parti ulier de l'e oulement de Saint Venant, elle i est donnee par h(

+

)  h( ) ou h designe la hauteur de uide au dessus du anal (voir leparagraphe sur l'etude des roll-waves).

Remarque : il existe des denitions plus generales pour les solutions en-tropiquesde systemes hyperboliques, les onditions de Rankine-Hugoniot et d'entropie de oulant alors dire tement de es denitions (voir [11℄).

On rappellela denition de limite visqueuse

Denition 3 Une onde progressive v solution de (1.1) ave une vitesse 0 est dite admissible ou admet un prol visqueux s'il existe une suite de solutions regulieres (u

 n ) solution de  n v 00 =(DF(v) n Id)v 0 G(v) o u  n ! 0, n ! 0 et tel que kv v  n k L 1 (R) ! 0. La notation v 0 designe la derivation par rapport a la variable  =x t.

ave terme sour e

On s'interesse a l'equations alaire hyperbolique ave un termesour e

u t

+f(u) x

=g(u);

oug possede trois zeros (u r ;u m ;u l ) et f 00 >0.

Lessolutions d'ondes progressivesave une vitesse satisfont l'equation

(f 0 (u) )u 0 =g(u): (1.2) En hoisissant =f 0 (u m

), onpeut e rire l'equation(1.2) sous la forme

u 0 =(u u r )(u u l )h(u)

oulafon tionhestdesigne onstant.Aunetranslationpres,l'equation(1.2) possedeuneuniquesolutionhetero lineU reliantlespointsu

r ,u l .On hoisit U tel que U(0) = u m . La fon tion onstante u= u m

est egalement solution de l'equation (1.2). On peut onstruire une famillede solutions entropiques U



parametree par 0 en superposant es deux solutionset deniepar

U  ()= 8 < : U() si 0 0 si 0 U( ) si  (1.3) =x t U l U m U r  U  0 Fig. 1.1 {Allurede U  sih>0

=x t Ur Um Ul  0 Fig. 1.2 { Allurede U  si h<0

On desire sele tionner parmi ette famillede solutionsentropiquesune solu-tion limite visqueuse qui sera physiquement a eptable. On etudie don les solutionsd'ondes progressivesde l'equation

u t +f(u) x =g(u)+u xx :

Lesondes progressives ave une vitesse verient l'equationdierentielle

u 00 =(f 0 (u) )u 0 g(u);

quel'on peute rire

x 0 =y; y 0 =(f 0 (x) )y g(x):

Haerteri h [3℄a demontreque la solutionentropique pour =0est laseule qui soit limite visqueuse. On va dans la suite de e hapitre simplier ette preuve.

1.1.3 Roll waves et autres solutions entropiques du systeme de Saint Venant

On rappellele systeme de Saint Venant

h t +(hu) x =0; (hu) t +(hu 2 +g os h 2 2 ) x =ghsin C f u 2 ; (1.4)

ou represente l'in linaison du anal etC f



x u(x;t)

h(x;t)

Pour simplierlesnotations,onpose G=g os()etS=tan().Lesysteme (1.5) s'e rit h t +(hu) x =0; (hu) t +(hu 2 +G h 2 2 ) x =GhS C f u 2 ; (1.5)

Lessolutionsd'ondesprogressives(h;u)ayantunevitesse verientlesysteme

(h( u)) 0 =0; (u )u 0 +Gh 0 =GS C f u 2 h : (1.6)

Soit K =h( u)), en rempla antu= K

h

dans la deuxieme equation de (1.6), onobtient h 0 = h(GS C f ( h K) 2 h 3 ) ( K 2 h 2 ) Gh =P(h): (1.7)

Enintegrant etteequationsouslaforme  0

= R

dh P(h)

,onpeutmontrerque etteequationdierentiellene possedepas desolutionsperiodiques ontinues (voir [1℄). On re her he don des roll-waves dis ontinues, les dis ontinuites veriant des onditions d'entropie. En parti ulier, si on note H

+

la hauteur apresun ho etH lahauteur avantun ho , es dis ontinuitesverientles onditions de Rankine Hugoniot qui sereduisent a

G 2K H 2 + + K H + = G 2K H 2 + K H

puisquela onditionsur ledebitestautomatiquementveriee. Lesystemede SaintVenant e rit en variables onservatives (h;q =hu) sont analogues aux equationsd'Eulerpour ungaz parfaitisentropiqueave =2enrempla ant

onditions de ho de Laxet U + + p GH + < <U + p GH :

Enutilisantla onservationdudebitrelatif,onobtientla onditiond'entropie p GH + K H + <0< p GH K H (1.8) soit H +

< H . On retrouve i i le fait que la vitesse relative est sur ritique apresle ho jU + j> p GH + etsous ritiquejU j< p GH (voir[12℄). Dressler [1℄a demontre leresultat.

Theoreme 5 Pour toutF = sin()

C f

>4et (L; ) ilexiste unesolution d'onde progressive entropique de vitesse , C

1

par mor eaux, periodique de periode spatiale L satisfaisant le systeme de Saint Venant (1.4).

Preuve. Soit H la hauteur avant le ho et H +

la hauteur apres le ho . Leshauteurs (H

+

;H )satisfont les onditions de Rankine-Hugoniot G 2K H 2 + + K H + = G 2K H 2 + K H etla ondition d'entropie (1.8) p GH + K H + <0< p GH K H :

Il existe don un pointH 0 telque H + <H 0 <H et G K H 0 K H 2 0 =0: (1.9) De plus, ona ne essairement dh d j H0 >0 soit F = U 2 0 GH 0 = sin() C f >4: (1.10)

Le denominateur de la fra tion (1.7) s'annule au point H 0

. Pour traverser ontinuement ette valeur, lenumerateur de (1.7) doitaussi s'annuler en H

0 GS C f ( H 0 K) 2 H 3 0 =0: (1.11)

h 0 =S h 2 +(H 0 2 GF )h+ H 2 0 F h 2 +H 0 h+H 2 0 =P(h): (1.12)

On veut maintenant onstruire une roll-wave de longueur d'onde L. Soit H lasolution ontinue de (1.12)telle que H(0)=H

0

qu'on obtient de maniere impli ite(H)= R H H 0 dh P(h)

. Plus pre isement,on a

S(h)= h H 0 + H 2 a +H 0 H a +H 2 0 H a H b ln( h H a H 0 H a ) H 2 b +H 0 H b +H 2 0 H a H b ln( h H b H 0 H b ) (1.13) ou H a >H b

designent les zeros P. On denit la suite de fon tions(H n

) n2N par H

n

()=H( nL). On onstruit alors la solutionperiodique en reliant H

n et H

n+1

au moyen d'un ho entropique. En eliminantle as H +

= H , onobtientla premiere relation

H + +H = 2H 3 0 H + H : (1.14)

On determine lapositiondu ho  en e rivant H n ( )=H etH n+1 ( )= H +

. C'estequivalenta larelation Z H H 0 dh P(h) =L+ Z H+ H 0 dh P(h) : (1.15) EneliminantH +

entre lesequations (1.14) et (1.15),on obtient lalongueur d'ondeL en fon tion de H lahauteur maximale de laroll-wave.On aainsi onstruitunesolutiond'ondeprogressiveperiodiqueetentropiquedusysteme de Saint Venant (1.4).2

On peut utiliserle pro ede de Dressler pour onstruire d'autres typesde solutions periodiques par exemple en superposant deux periodes. La vitesse etant xee, on hoisit L

2 <L

1

. Onnote H 1

laroll-wavede Dressler de lon-gueurd'ondeL 1 telqueH 1 (0) =H 0 etH 2

laroll-wavedeDresslerdelongueur d'onde L 2 tel que H 2 (0) = H 0 . On a alors H 1 (kL 1 )= H 0 et H 2 (kL 2 )= H 0 pour tout k 2Z. On denit alors la\roll-wave"H

12 L 1 +L 2 -periodique par H 12 ()=  H 1 () si0 L 1 H 2 ( L 1 ) siL 1 <L 1 +L 2 (1.16)

=x t H H 0 H + L L

Fig. 1.3 { Prol d'une roll-wave de Dressler de longueur d'onde L

=x t H 0 H 12 L1 L2 Fig. 1.4 {Prol de H 12

Cettesolutionest lairementC 1

auxpointsdera ordfL 1 +k(L 1 +L 2 ); k 2 Zget fk(L 1 +L 2 ); k 2Zg.

Ens'inspirantde e pro edede \melange",onpeutnaturellement onstruire dessolutionsveriantles onditionsd'entropieetpresentantdespoints d'a - umulations de dis ontinuites. Si (L

n )

n2N

est une suite stri tement positive telle que L =

P n

L n

<+1, on onstruit une solution2L-periodique en re-liant ontinuementlesprolsdessolutionsdeDresslerL

n

-periodiques omme suit.

Pour sele tionnerlessolutionsphysiquementa eptables,onutilisele ritere plus n de limite visqueuse. On etudie le modele de Saint Venant ave un termede vis osite h t +(hu) x =0; (hu) t +(hu 2 +G h 2 2 ) x =GhS C f u 2 +(hu x ) x : (1.17)

Remarque : on a hoisi i i un ritere de limite visqueuse legerement dierent de elui enon e dans l'introdu tion an d'avoir une perturbation plusphysiquedusysteme.Eneet,l'utilisationdupremier ritere onduirait

=x t H

0

2L

Fig. 1.5 { Exemple de \roll-wave" ave points d'a umulation de dis onti-nuites



a rajouter un termevisqueux dans l'equation de onservation de lamasse

h t +(hu) x =h xx ;

e qui n'a au un sens physiquement.

Needham et Merkin [8℄ ou en ore Hwang et Chang [13℄ ont etudie le systeme (1.17) pour  xe et prouve au moyen d'une bifur ation de Hopf l'existen e de roll-waves ontinues de petite amplitude mais ils n'ont pas etudiele as ou tendvers 0.Lessolutionsd'ondes progressives(h;u)ayant une vitesse verient le systeme

h( u)=K; (u )u 0 +Gh 0 =GS C f u 2 h +  h (hu 0 ) 0 : (1.18) En inje tant la relation u = K h

dans la deuxieme equation de (1.18), on obtient ( h 0 h ) 0 =( G 2K h 2 + K h ) 0 1 K (GhS C f ( K h ) 2 ): (1.19) En posant h = x et h 0

= xy, on peut mettre l'equation (1.19) sous la forme x 0 =xy; y 0 =p(x)y q(x): (1.20)

On va montrerque seules lesroll-waves onstruites par Dressler sontdes so-lutionslimitevisqueuse. Au passage, ondemontre pour pro he de 0, l'exis-ten e de roll-waves ontinues qui onvergent vers les roll-waves de Dressler quand  tend vers 0.

boli ite normale

Dans ette partie, on presente les outils qui permettent d'analyser le systeme (1.20)lorsque !0.

1.2.1 Rappel des theoremes de Feni hel

Pour es rappels, onfait referen e au ours de C. Jones [5℄sur lesoutils geometriquespourlesproblemesdeperturbationssingulieres.Consideronsle systeme dierentiel

_

y=f(x;y;); _

x=g(x;y;);

(1.21) ouf etg sontregulieres,x2R

m

ety2R n

.Enposant  =t,onobtientun nouveau systeme equivalenta (1.21) si6=0

y 0 =f(x;y;); x 0 =g(x;y;); (1.22) oux 0 = dx d

designelanouvellederivation.Lesysteme (1.21) orrespond aune dynamique rapide et le systeme (1.22) a une dynamique lente. Pour  = 0, onobtient deux systemes nonequivalents

_ y=f(x;y;0); _ x=0 (1.23) et 0=f(x;y;0); x 0 =g(x;y;0): (1.24)

Pour le systeme (1.23), x ne varie pas et 'est y qui varie : y est lavariable rapide et x est la variable lente. On note M

0

l'ensemble des points (x;y) telque f(x;y;0)= 0 que l'on peut e rire y = h

0

(x) (au moins lo alement). On voit que les solutions du systeme (1.24) sont sur M

0

et en rempla ant y=h

0

(x)dansladeuxiemeequationde (1.24),on onnaitladynamiquesur ette variete.On a don trivialement un resultat de redu tion a une variete invariante et une forme reduite du systeme dierentiel. Les theoremes de Feni hel relient ette situation simpliee au systeme omplet pour  pro he de 0.LavarieteM

0

est appelee lavarietelente. On serestreintau as ouM 0 estungraphe.Dans esystemede oordonnees,ons'interesseala oordonnee normaleaM

0

i.e. y.Enfaisantle hangement de variablesy=h 0

(x)+z, on obtient pour la deuxieme equation de (1.22)

z 0 =D y f(x;h 0 (x);)z+N(y;z;) ,

(x;z) Denition 4 LavarieteM

0

estditenormalementhyperboliquesiD y

f(x;y;0) n'a quedes valeurs propres non imaginaires pures pour tout (x ;y)2M

0 . SilavarieteM

0

est ompa te (on travailleave des varietesabord en parti- ulier des restri tions de graphes a un ompa t) et verie l'hypothese d'hy-perboli itenormale,ona lestheoremes suivants.

Theoreme (Feni hel) 1 Pour  > 0 et assez pro he de 0, il existe une varieteM



lo alementinvariantesousle ot asso ie ausysteme(1.22)et qui setrouvedansunvoisinageO()deM

0

.Deplus,ilexisteundieomorphisme entre M

0 et M

 .

Remarque :dans le as ouM 0

est un graphe, onpeut montrer queM 

est aussi un graphe. Dans e as on a M

 =f(x;y)=y =h  (x)=h 0 (x)+O()g. Enrempla ant y=h 

(x)dans la deuxieme equation de (1.22), onobtient le systeme reduit sur ette variete.

Ce premiertheoreme nousdonnel'existen e d'unevarieteinvarianteetle omportement du systeme sur elle- imais on desire onna^tre le omporte-mentau voisinage de elle i. On a leresultat suivant.

Theoreme (Feni hel) 2 Pour  > 0 et assez pro he de 0, il existe une variete W

s (M



) et une variete W u

(M 

) respe tivement positivement et n e-gativement lo alement invariantes sous le ot asso ie au systeme (1.21) et qui sont dans un voisinage d'ordre O() de W

s (M 0 ) et W u (M 0 ) et il existe un dieomorphisme entre W

s (M  ) et W s (M 0

) d'une part et entre W u (M  ) et W u (M 0 ) d'autre part.

Le dernier theoreme donne des renseignements tres pre is sur le omporte-mentdu systeme en dehorsde M



. Enparti ulier, onpeut brerles varietes stables etinstables de M



par des traje toires. Theoreme (Feni hel) 3 Pour tout v

 2 M



, il existe une variete lo ale-ment positivement invariante

W s (v  )W s (M  ) et une variete lo alementnegativement invariante

W u (v  )W u (M  ) qui se trouve a O() de W

s (v 0 ) et W u (v 0

) et il existe un dieomorphisme entre W s (v  ) et W s (v 0

) d'une part et entre W u (v  )et W u (v 0 ) d'autre part. On etudie maintenant un as ou il y a une perte d'hyperboli ite normale qu'on appelleun \ anard" en analyse non standard.

On onsidere lesysteme dierentielbidimensionelsuivant x 0 =y; y 0 =f(x)y g(x); (1.25)

ouf etgsontregulieres,f etgontunzero ommunenx 0 .Depluslafon tion f verie f 0 (x)>0 et f(x) f 0 (x 0 )(x x 0

) pour tout x. Cette derniere hy-pothese est lairementveriee pour lesdeux situationsqu'on etudiepuisque dans e aslafon tionf estalorsstri tement onvexe.Onsupposeegalement que

g f

est minoree par une onstante stri tementpositiveet bornee. Dans e as, le graphe invariant M

0

pour  = 0 est donne par M 0 = f(x;y)=y = g f (x)g. La variete M 0

est normalement hyperbolique si et seule-ment si f(x)6=0. Tant que la variete M

0

verie l'hypothese d'hyperboli ite normale,lestheoremes de Feni hel assurentl'existen e d'un grapheM

 lo a-lement invariant et pro he de M

0

pour  suÆsamment petit et pre isent le omportementdessolutionsde(1.25)auvoisinagedeM



.Mais estheoremes nes'appliquent pasauvoisinagede(x

0 ; g 0 (x 0 ) f 0 (x 0 ) ) arM 0

perdson hyperboli ite normaleen epoint.Cependant, onpeut en oredemontrer lapersistan e de varietesinvariantesM

 



adroiteetagau he de e pointrespe tivement posi-tivementetnegativementinvariantes etdans un voisinaged'ordre O(

p  ) de M

0

. En general, es varietes ne oin ident pas aupointde perte d'hyperbo-li ite sont tres rapidementeje tees de la variete lente de referen e lorsqu'on lesprolongeau dela de la singularite.

En perturbant lesysteme (1.25), on va montrer d'une part qu'on peut faire oin ider es deux varietes et en faire une variete invariante dans un voisi-nage O(

p

) de la variete lente M 0

. D'autre part, on va montrer lorsque les varietes lentes a droite et a gau he ne oin ident pas qu'on peut ontr^oler leureje tion de M

0 .

Persistan e d'une variete invariante On montre le theoreme suivant.

Theoreme 4 Si >0 , mais assezpetit, ilexiste deuxgraphes M    a droite et a gau he de x 0

respe tivement positivement et negativement invariant qui se trouvent dans un voisinage d'ordre O(

p

) de la variete lente M 0

.

Preuve. On va faire la preuve de l'existen e de M + 

, la preuve d'existen e de M



etant analogue. Dans ette demonstration,ondesignerapar K toute onstanteliee auxnormesk:k

1

Supposons x 0

= 0. Partant du systeme (1.25), on fait le hangement de variable y=

g f

(x)+z. Le ouple (x;z) verie le systeme

x 0 = g f (x)+z; z 0 = f(x)  z ( g f ) 0 (x)(z+ g f (x)): (1.26)

On re her he une solutionde (1.26) ave z bornee. On rempla ele probleme (1.26) par leprobleme tronque

x 0 = ( g f (x)+z); z 0 = f(x)  z ( g f ) 0 (x)(z+ g f (x))
: (1.27)

ou designe la fon tion ara teristique de l'intervalle (0;t 0

) et t 0

est a pre iser. On integre (1.27)en utilisantle prin ipe de Duhamel eton obtient

x(t)= Z t 0 (s)(z(s)+ g f (x(s)))ds=T 1 (z)(t); z(t)= Z 1 t exp ( R s t (u)f(x(u))du  ) (s)( g f ) 0 (x(s))(z(s)+ g f (x(s)))ds: (1.28) La premiereequation de (1.28) denit un operateurx=T

1

(z). Eninje tant ette relation dans la deuxieme equation de (1.28), la fon tion z appara^t omme le point xe d'un operateur T dont on va montrer qu'il est ontra -tant.On pre ise les espa es fon tionnels. On re her he x2X

;M ou X ;M =fx2C 0 (0;t 0 )=x(0)=0 et  jx(t)j jtj M;8t2(0;t 0 )g

pour un ertain  > 0 et M > 0 a determiner. On munit et espa e de la norme kxk=sup (0;t 0 ) ( jx(t)j jtj ). On re her he z 2Y ou Y C =fz 2C 0 (0;t 0 )=kzk 1 = sup (0;t 0 ) jz(t)jC p g: Commelafon tion g f

est minoree etbornee, pour  suÆsamment petit, ona T 1 :Y C !X ;M oumin( g 2f )>0 etM 2max( g f ).Ensuite, en utilisant l'hypothese de roissan e sur f, ona

T(z)(t)= Z t 0 t exp ( R s t f(x)  )( g f ) 0 (x)(z+ g f (x)); jT(z)(t)j( Z t 0 t exp ( f 0 (0)  Z s t udu))(KC p +K); jT(z)(t)jK p  (C p +1): (1.29)

Soit C = 2K,si  est petit, on aura bien jT(z)(t)j  2K  et on a alors T :Y

C !Y

C

. Montrons que l'operateur T est ontra tant sur Y C . On note x 1 =T 1 (z 1 ) etx 2 =T 1 (z 2 ). On a lamajoration jx 1 (t) x 2 (t)j Z t 0 jz 1 z 2 j+j g f (x 1 ) g f (x 2 )j; jx 1 (t) x 2 (t)jtkz 1 z 2 k 1 +Kkx 1 x 2 k Z t 0 sds; kx 1 x 2 k2kz 1 z 2 k 1 si t 0  1 K : (1.30)

On va seservir de lamajoration (1.30) pour montrer queT est ontra tant. On rappelleque T(z)(t)= Z t 0 t exp ( R s t f(x(u))du  )( g f ) 0 (x(s))(z(s)+ g f (x(s)))ds (1.31) oux=T 1 (z).On a jTz 1 (t) Tz 2 (t)j Z t0 t exp ( R s t f(x 1 )  )   g f 0 (x 1 )(z 1 + g f (x 1 )) g f 0 (x 2 )(z 2 + g f (x 2 ))   ds+ + Z t 0 t   exp ( R s t f(x 1 )  ) exp ( R s t f(x 2 )  )     ( g f ) 0 (x 2 )(z 2 + g f (x 2 ))   ds: (1.32) SoitA(t)lepremiertermedanslese ondmembre de(1.32)etB(t)lese ond terme,on ales majorations

B(t) Z t0 t K  j Z s t f(x 1 ) f(x 2 )j Z 1 0 exp ( R s t uf(x 1 )+(1 u)f(x 2 )  )duds; B(t) Z t 0 t K 2 (s 2 t 2 )kx 1 x 2 kexp( f 0 (0) 2 (s 2 t 2 ))ds; B(t)Kt 0 kx 1 x 2 k2Kt 0 kz 1 z 2 k 1 : (1.33) Pour t 0

assez petit, onaura B(t) 1 2 kz 1 z 2 k 1

. Pour A(t), ona l'inegalite

A(t) Z t0 t exp ( R s t f(x 1 )  )Kkz 1 z 2 k 1 Sitt  = p  f 0 (0)

alorsen utilisantl'inegalitef(x)>f 0 (0)x pour tout x2R, onobtient f(x(t)) p  et A(t)( Z t0 t exp ( s t p  )ds)Kkz 1 z 2 k 1 ; A(t)K p kz 1 z 2 k 1 : (1.34)

 A(t)( Z t  t exp( R s t f(x 1 )  )ds+ Z t 0 t  exp( R s t f(x 1 )  )ds)Kkz 1 z 2 k 1 ; A(t)Kkz 1 z 2 k 1 (K 1 p + Z t 0 t  exp( R s t f(x 1 )  )exp( R t  t f(x 1 )  )ds);

soitnalement ave la majoration faitepour tt  A(t) K p kz 1 z 2 k 1 :

Don pour  assez petit l'appli ationT est ontra tante. On on lut en ap-pliquantle theoreme du point xe. 2

Remarque : On a demontre l'existen e de varietes lentes M  + et M   a droite et a gau he de x 0

(respe tivement positivement et negativement invariantes) dans un voisinage independant de . En dehors de e point, on peut prolonger es varietes en utilisant le premier theoreme de Feni hel. Generalement, es varietesne oin identpas aupointx

0

etsonttres rapide-menteje tees de lavariete lente de referen e lorsqu'on les prolonge audela de la singularite(voir lagure 1.6).

M  M +  M 0 x 0 x y 0 Fig. 1.6 { Eje tion de M   loinde M 0

On va montrer qu'en modiant legerement la forme du systeme dierentiel (1.25),onpeutfaire oin ider es varietesetmontrerl'existen ed'unevariete invariantepour lesysteme perturbe,quisetrouve dansun voisinaged'ordre O(

p

 ) de M 0

. Ensuite on montrera qu'on a egalement un ontr^ole sur le phenomene d'eje tion loin de la variete de referen e M

0

lorsque les varietes M   ne oin ident pas en x 0 .

Phenomene d'eje tion des varietes M 

loin de la variete lente M 0 Considerons lesysteme perturbe

x 0 =y; y 0 =(f(x)+ )y g(x); (1.35)

ou f et g verient les onditions f(0) = g(0) = 0, f 0

(0) > 0, g 0

(0) > 0 et 2 R. On rappelle qu'on a egalement f

00

> 0, h(x) = g f

(x)   > 0. On va montrer au moyen d'un al ul a la Melnikov, qu'on peut trouver des varietes invariantes pour le systeme (1.35) dont on peut ontr^oler l'eje tion de lavarietelentede referen e. Enparti ulier,on prouvera l'existen e d'une variete invariantequi est dans un voisinage d'ordre O(

p

) de M 0

.

Lafon tion f etant un dieomorphisme lo alau voisinagede 0, ilexiste un pointx



unique tel que

f(x 

)+ =0:

On etudie le omportementdes solutionsauvoisinage de la variete lente

W s =f(x;y)2R 2 =y= g(x) g(x  ) f(x)+ =h  (x)g: (1.36) La variete W s

est dans un voisinage d'ordre O() de la variete lente de referen e M

0

= f(x;y)=y = g(x) f(x)

= h(x)g. En appliquant le theoreme 4, on peut montrer l'existen e d'une variete lente positivement invariante M

+  pour x > x



. On introduit alors le hangement de variables y = h 

(x)+z. On obtient un nouveau systeme

x 0 =h  (x)+z; z 0 =(f(x)+ )z+k  (x;z); (1.37) ouk  (x;z)= g(x  )  dh  dx (x)(z+h 

(x)).Commedanslase tionpre edente, lavarietelenteinvarianteM

+ 

estobtenue parune methode de pointxesur l'equation z + (t)= Z +1 t exp  Z s t f(x())+  d  k  (x(s);z(s))ds: (1.38) Enparti ulier, ona z( ;) + =z + (0) = Z +1 0 exp  Z s 0 f(x())+  d  k  (x(s);z(s))ds: (1.39)

vement invarianteM  pour x<x  .On obtient z( ;) = Z 0 1 exp  Z 0 s f(x())+  d  k  (x(s);z(s))ds: (1.40)

Pour obtenirunevarieteinvariantereguliereauvoisinagede x 

,ondoitavoir z( ;)

+

=z( ;) . On al ule ledeveloppement asymptotique de z( ;)  z( ;)  = p A( )+D p ( ;)D i ( ;) ave A( ) = R +1 0 exp ( g 0 (0) t 2 2 )(h(0)h 0 (0) g 0 (0) f 0 (0) )dt. Les fon tions D p et D i

sont respe tivement les integrales d'une fon tion paire et d'une fon tion impaire.En parti ulier, onpeut montrer que

D i ( ;0) = Z 1 0 exp  g 0 (0) t 2 2   h(0)h 0 (0) g 0 (0) f 0 (0)  1 6 f 0 (0)h 0 (0) 2 t 3 dt + Z 1 0 exp  g 0 (0) t 2 2   h 0 (0) 2 +h(0)h 00 (0) g 0 (0) f 0 (0)  tdt: (1.41) On obtient don z( ;) + = z( ;) si et seulement si D i ( ;) = 0. On voit aisement qu'ilexiste un unique

0 telqueD i ( 0 ;0)=0.De plus ona D i  ( 0 ;0)= 1 6 g 0 (0)h 0 (0) 2 Z +1 0 exp  g 0 (0) t 2 2  t 3 dt 6=0:

On peut don appliquer letheoreme des fon tions impli ites:il existe Æ>0 et une fon tion C tel que C(0) =

0

et pour tout  < Æ, D i

(C();) = 0. Don pour e hoix de =C(),on a montre l'existen e d'une variete lente invariante M  dans un voisinage de W s d'ordre O( p

 ) qui oin ident ave M +  si x>x  et ave M  six<x  .

On examine maintenant le phenomene d'eje tion de M + 

lorsqu'on passe la singularitepour 6=C(). On her he don a prolonger M

+ 

pour des temps t<0.On al uledon z + ( t)= Z +1 t exp ( Z s t f(x())+  d)k  (x(s);z(s))ds; (1.42)

pour t >0. On peut montrer aisementque

z + ( t) = z( ;) + z( ;)
exp  Z 0 t f(x(s))+  ds  + + Z t 1 exp  Z t s f(x())+  d  k  (x(s);z(s))ds (1.43)

 z + ( t)= z( ;) + z( ;)
exp  Z 0 t f(x(s))+  ds  +O( p ): (1.44)

On voitaisement quesionest loinde =C(),onauneje tionde M + 

loin de M

0

pour t = O(). Par ontre pour = C(), la variete M + 

reste dans un voisinage d'ordre O(

p

 ). On a don une situation intermediaire ou on a eje tion pour t=O(1). Pour xer les idees, on hoisit t =1.

z + ( 1)=2D i ( ;)exp  Z 0 1 f(x(s))+  ds  +O( p ): (1.45) On a lairement exp  Z 0 1 f(x(s))+  ds  Cexp ( K  ) La fon tion D i

(:;) etant un dieomorphisme lo al au voisinage du point =C(),on peut trouver =C()+O  exp ( K  )   ; telque z +

( 1)M ou M est un onstante arbitraire. On a ainsi demontrela proposition suivante.

Proposition 1 Soit x 1 <0<x 2 , il existe 1 () et 2

() tel que les systemes perturbes x 0 =y; y 0 =(f(x)+ i ())y g(x); i=1;2: (1.46)

possedent ha un un graphe lent invariant M  i = f(x;y)= y = h  i (x)g et tel que (x i ;0) 2 M  i

. De plus, pour tout Æ > 0, on a h  1 (x) h(x) = O( p ) si x>x 1 Æ et h  2 (x) h(x)=O( p ) si x<x 2 Æ. Enn on a i () C()= O  exp ( K  )   .

Lesdierents as d'eje tiondes varietesM  

loindeM 0

sontpresentessur la gure 1.7.

Remarque : Tant que les varietes M  

sont pro hes de la variete lente de referen e M

0

, le theoreme de bration de Feni hel reste valable et on peut ainside rirele omportementdu systemeperturbeen dehorsde esvarietes.

y W s x  x  M +  x1 W s x y x M  x2 M + 

Fig. 1.7 { Diagrammes d'eje tion quand z( ;) +

< z( ;) et z( ;) < z( ;)

+ .

1.3 Appli ation des te hniques de variete len-te

Dans ette se tion, on va appliquer les resultats obtenus dans la se tion pr edenteauxproblemesdesprolsvisqueuxdanslesequationss alaires hy-perboliques ave termesour eetpour leproblemedes roll-waves. Haerteri h a aussi aborde es problemes soit en s'inspirant des methodes introduites par KrupaetSzmolyan[3℄soiten appliquantdire tement leursresultats[4℄. Ces derniers ont mene une analyse geometrique tres detaillee sur la dyna-mique au voisinage d'un anard dans le plan. En parti ulier, ils mettent en eviden e la transition entre de petites os illations obtenues par bifur ation de Hopf vers des os illationsde relaxationqu'on peut observer par exemple pour l'equation de Van der Pol dans des intervalles exponentiellement pe-tits [6℄, [7℄. Leur appro he est basee sur une transformation "blow up" des equations: ela onsisteessentiellementaregarderlesystemepourdierentes e helles. Le but est de desingulariser le point de perte d'hyperboli ite nor-male et d'appliquer ensuite les outils standards des systemes dynamiques. On propose i i une appro he plus dire te du probleme en l'abordant d'un pointde vueanalytique :les varietesinvariantes sont vues omme lespoints xes d'operateurs fon tionnels. Dans les as etudies i i, les demonstrations proposees sontalors plus simples.

1.3.1 Prols visqueux pour des ondes progressives so-lutions d'equations hyperboliques/paraboliques ave terme sour e.

On rappellequ'on etudieles solutionsd'ondes progressives de

u t +(f(u)) x =g(u)+u xx :