ANNEE UNIVERSITAIRE 2014/2015 DEVOIR MAISON 1
Licence de Math´ematiques
G´eom´etrie et Topologie (N1MA6014) A rendre le 02/03/2015
Probl`eme. On note`2(R) l’espace de Hilbert des suites r´eelles (xn) de carr´e sommable, muni du produit scalairehx, yi=P∞
n=0xnyn et de sa distance associ´ee d. On se propose de montrer le r´esultat suivant, version faible du th´eor`eme de plongement de Withney :
Th´eor`eme 1. Soit M une vari´et´e s´epar´ee `a base d´enombrable. Alors il existe un plongement φ:M→`2(R). En particulier M est m´etrisable.
On rappelle qu’on plongement est un hom´eomorphisme M→φ(M) o`u φ(M) est muni de la topologie induite. Un espaceX est m´etrisable si sa topologie provient d’une distance surX.
Pour simplifier on suppose M de dimension fixem ∈N∗. Pour d´emontrer le th´eor`eme, ´etablir les ´etapes suivantes :
(1) Tout point d’une vari´et´e admet une base de voisinages compacts et m´etrisables.
(Rappel : une collection V = (Vi) de voisinages de x est une base de voisinages enx si pour tout ouvert U 3x, il existeVi∈ V, x∈Vi ⊂U )
(2) Soit (Un)n∈N une base d’ouverts de M. Alors B ={Un|Un est m´etrisable} est encore une base d’ouverts.
Sous les hypoth`eses du th´eor`eme,Madmet donc une base d´enombrable d’ouverts d’adh´erence m´etrisable, qu’on note encore B = {Un}. Soit dn une distance sur Un compatible avec la topologie.
(3) La fonction φn : M→[0,1], d´efinie par x 7→ min{1, dn(x, ∂Un)} si x ∈ Un, φn(x) = 0 si x /∈Un, est continue surM et non nulle sur Un exactement.
(Rappel : si d est une distance sur X et A ⊂ X non vide, d(x, A) = inf{d(x, y) | y ∈ A}
est continue en la variable x∈X; on convient que d(x,∅) = +∞; on note ∂A=A−
◦
A la fronti`ere de A).
(4) La fonctionφ:M→`2(R),x7→
φn(x) n+1
n∈N
est bien d´efinie et continue.
(5) φest injective (utiliser le fait que M est s´epar´ee).
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(6) φ:M→φ(M) est ferm´ee.
(On pourra ´etablir que si F ⊂ M est ferm´ee, le compl´ementaire de φ(F) dans φ(M) est ouvert, en montrant que d(φ(x), φ(F))>0 six /∈F, o`u d est la distance de`2(R)).
(7) Conclure.
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